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高二下数学 3 月月考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C A C B D BC BCD
题号 11
答案 ABD
1．A【详解】因为 ,
所以 ,
2．B【详解】 是 的中点， ，又
，由
，
.
3．D【详解】由 可得 ，
令 可得 ，即 .
4．C【详解】因为 不能构成空间的一个基底，
所以 共面，
故存在 使得 ，
即 ，
故 ，解得 .
5．A【详解】由题设， ，
∴ ， ，
∵在 内不单调，
∴ ，可得 .
6．C【详解】由 图象可得：在 上 ，在 上 ，
答案第 11页，共 11页
根据原函数图象与导函数图象关系可得： 图象在 上为增函数，在 上为
减函数，可排除 A、D，
且在 x=0处， ，即在 x=0处， 的切线的斜率为 0，可排除 B，
7．B【详解】 为奇函数，则 即 ，
令 ，则 ，
∴ 在 R上单调递减， ，
又 的解集等价于 的解集，
∴ 的解集为 .
8．D【详解】因为 平面 ， ，
所以以 为原点， 所在直线分别为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接 ，则 ， ，设 ，其中 ，
所以 ， ，则点 到直线 的距离：
.
设 ，因为 ，所以 ，则 .
所以点 到直线 的距离的最小值为 .
9．BC【详解】 ，故 A错误；
答案第 11页，共 11页
，故 B正确；
，故 C正确；
，故 D错误．
10．BCD【详解】对于 A，若 ，则 ，所以 ，所以 A说法正确；
对于 B，当 时， 恒成立，而实数 不唯一或不存在，所以 B说法错误；
对于 C，向量 在向量 上的投影向量是 ，所以 C说法错误；
对于 D，点 关于平面 对称的点的坐标是 ，所以 D说法错误.
11．ABD【详解】A：函数 的定义域为 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ 是 的极小值点，即 A正确；
B： ，
∴ ，函数 在 上单调递减，且 ，
∴函数 .有且只有 1个零点，即 B正确；
C：若 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴在 上，函数 单调递增， 上函数 单调递减，
∴ ，∴ ，
∴ 在 上函数单调递减，函数无最小值，
当 时， ，
∴不存在正实数 ，使得 恒成立，即 C不正确；
D.由单调性可知， ， ，
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令 ，则 ， ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递减，则 ，
∴ 时，
令 ，由 ，得 ，
则 ，故 D正确.
12． 【详解】以点 为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系
，
由异面直线夹角的范围为 ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为
13． 【详解】由题意，该方程有解，故 ，
该不等式对任意 恒成立，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
即 的最小值为 .
14． 【详解】令 ， 有三个零点即 与 有三个交点，
， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
的极大值为 ，极小值为 .
答案第 11页，共 11页
结合图象 与 有三个交点，即 ，∴ .
故答案为：
15．(1) (2)
【详解】（1） 平面 平面
是底面的一条直径,
又 平面 平面
所以 平面
是直线 与平面 所成角,
因为 ,所以
所以
（2）
过 作 ,垂足为 ，
由(1)得 平面 平面
所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ,
答案第 11页，共 11页
平面 , ,
所以 平面 ，
根据等面积法 ,
即 到平面 的距离等于 .
16．（1） ；（2）单调递减区间为 ， 的最大值为 ，最小值为 .
【详解】（1）因为 ，则 ，
由题意得 ，即 ；
（2）当 时， ，则 ，
列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，当 时，函数 的减区间为 ，
函数 的极大值为 ，极小值为 .
又因为 ， ，
因此，函数 ， .
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17．(1)单调递增区间为： 和 ，单调递减区间为：
(2) 或
【详解】（1）当 时， ，定义域为
令 ，得 或 ，
所以 的单调递增区间为： 和 ，单调递减区间为：
（2）
①当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 只有一个极小值点 ，与条件矛盾，故舍去．
②当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 有两个极值点 a和 ，与条件相符．
③当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 有两个极值点 a和 ，与条件相符．
④当 时， ，
故 在 上单调递增，无极值点，舍去．
⑤当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 只有一个极大值点 ，与条件矛盾，故舍去．
综上可得： 或
18．（1）证明见解析；（2） .
【详解】（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 ．
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连结 ．
因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ，由 知 ．
由 知， 平面 ．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系
．
由已知得
取平面 的法向量 ．
设 ，则 ．
设平面 的法向量为 ．
由 得 ，可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得 (舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
［方法二］：三垂线＋等积法
由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图 5，在平面 内作
，垂足为N，则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为 F，
联结 ，则 ，故 为二面角 的平面角，即 ．
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设 ，则 ，在 中， ．在 中，由
，得 ，则 ．设点 C到平面 的距离为 h，由
，得 ，解得 ，则 与平面 所成角的
正弦值为 ．
［方法三］：三垂线＋线面角定义法
由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图 6，在平面 内
作 ，垂足为 N，则 平面 ．在平面 内作 ，垂足
为 F，联结 ，则 ，故 为二面角 的平面角，即
．同解法 1可得 ．
在 中，过 N作 ，在 中，过 N作 ，垂足为 G，联结 ．在
中， ．因为 ，所以 ．
由 平面 ，可得平面 平面 ，交线为 ．在平面 内，由
，可得 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角．
设 ，则 ，又 ，所以直线 与平面 所成角
的正弦值为 ．
［方法四］：【最优解】定义法
如图 7，取 的中点 H，联结 ，则 ．过 C作平面 的垂线，
垂足记为 T（垂足 T在平面 内）．联结 ，则 即为二面角
的平面角，即 ，得 ．
联结 ，则 为直线 与平面 所成的角．在 中， ，
所以
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19．（1）增区间是 和 ；减区间是 .（2）证明详见解析.
【详解】（1）当 时， ， ，
因为 ，所以由 得 或 ；由 得 ，
所以， 的增区间是 和 ；减区间是 .
（2） ，
设 在区间 上存在零点为 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
设 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，所以 单调递减，
又 ，故 在 上恒成立，故 单调递减.
所以 ，故当 时， .
答案第 11页，共 11页2025-2026 学年度第二学期第一次月考
高二数学试题
（考试时间：120 分钟；总分：150 分）
一、单选题 : 本大题共 8个小题 , 每小题 5 分 , 共 40分. 在每个小题给出的四个选项
中 , 只有一项 是符合题目要求的.
1．已知函数 可导，且满足 ，则函数 在 处的
导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如图，在三棱锥 中，是 的中点 ，点 在 上， ，
记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ，若 不能构成空间的一个基底，则
实数 m的值为（ ）．
A． B．0 C．5 D．
5．函数 在 内不单调，则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
6．若函数 图象如图所示，则 图象可能是（ ）
A． B．
试卷第 1页，共 3页
C． D．
7．定义在 上的函数 的导函数为 .若对任意实数 ，有 ，且
为奇函数，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点
是棱 的中点，点 在棱 上运动，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题 : 本大题共 3个小题 , 每小题 6 分 , 共 18分. 在每个小题给出的四个选项
中 , 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分 , 部分选对的按比例得分 , 有错选的
得 0 分.
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．给出下列命题，其中错误的是（ ）
A．若空间向量 ，且 ，则实数
B．若 ，则存在唯一的实数 ，使得
C．若空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是
D．点 关于平面 对称的点的坐标是
11．关于函数 ，下列判断正确的是（ ）
A． 是 的极小值点
B．函数 有且只有 1个零点
C．存在正实数 ，使得 恒成立
试卷第 1页，共 3页
D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 则
三、填空题 : 本大题共 3个小题 , 每小题 5 分 , 共 15 分.
12．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为
13．已知 ，对任意 ，关于 的方程 有实数解，则 的最小值为
______.
14．已知函数 有三个零点，则实数 a的取值范围是______________
四、解答题 : 本大题共 5个小题 , 共 77分.
15．(本小题满分 13分)如图， 是圆柱 的一条母线， 是底面的一条直径， 是
圆 上一点，且 ， .
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求点 到平面 的距离.
16．(本小题满分 15分)．设函数 ，曲线 在点 处
的切线方程为 .
（1）求 、 的值；
（2）当 ， 时，求函数 单调减区间和最值.
17．(本小题满分 15分)已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 内存在两个极值点，求实数 a的取值范围．
试卷第 1页，共 3页
18．(本小题满分 17分)在三棱锥 中， ， ，
为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值
19．(本小题满分 17分)已知函数 ，其中 .
（1）当 时，函数 的单调性；
（2）若函数 的导函数 在区间 上存在零点，证明：当 时 .
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