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四川省攀枝花市盐边县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（每题5分，共60分）
1．（2025九上·盐边期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·盐边期末）已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·盐边期末）下列各式中，一定能成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·盐边期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
5．（2025九上·盐边期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　）
A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④
6．（2025九上·盐边期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·盐边期末）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8．（2025九上·盐边期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·盐边期末）如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
10．（2025九上·盐边期末）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·盐边期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
12．（2025九上·盐边期末）如图，二次函数的图象与x 轴交于和，且，与y轴的交点在上方，有以下结论：①； ②；③；④； ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（2025九上·盐边期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　．
14．（2025九上·盐边期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为　 　．
15．（2025九上·盐边期末）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于　 　．
16．（2025九上·盐边期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB＝OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，交AC于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF．若AB＝，则线段DF的长为　 　．
三、解答题
17．（2025九上·盐边期末）计算：
18．（2025九上·盐边期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2025九上·盐边期末）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
20．（2025九上·盐边期末）“道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个．
（1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
（2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元
21．（2025九上·盐边期末）如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．
（1）求证：．
（2）已知，求的长．
22．（2025九上·盐边期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．
（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
23．（2025九上·盐边期末）如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
24．（2025九上·盐边期末）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故本选项错误；
B、，能与合并，故本选项正确；
C、，不能与合并，故本选项错误；
D、，不能与合并，故本选项错误；
故选：B．
【分析】
本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的识别. 先将每个选项的二次根式化为最简形式，再根据“同类二次根式要求被开方数完全相同”这一规则，筛选出能与合并的选项.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个非零根，
∴，
∴，
∴，
∴b=0或b-a+1=0，
∴b-a=-1，
∴a-b=1，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根求出，再求出b=0或b-a+1=0，最后计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.，选项正确，符合题意；
B.，选项错误，不符合题意；
C.，选项错误，不符合题意；
D.当时，原式，选项错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】
本题考查了二次根式的性质、、二次根式乘法法则，二次根式的化简与等式成立的条件判断. 本题需逐一分析选项，结合二次根式的性质与成立条件，判断等式两边是否恒等；重点关注被开方数的非负性要求，以及绝对值在化简中的作用，从而选出一定成立的选项.
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质；求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
由正方形的性质可得：，，，
∴，
故选D.
【分析】
本题考查了正方形网格的性质、勾股定理、对顶角相等、正切函数的定义. 通过连接构造直角三角形，借助正方形网格的边长关系，用勾股定理算出OC与BC的长度，即：，，，再利用与是对顶角（度数相等），将求的问题转化为，最后根据正切函数定义计算结果.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：图形①的三边为：；
图形②的三边为：；
图形③的三边为：；
图形④的三边为：；
∵，
∴①与③相似，
故选：A．
【分析】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似）. 先借助勾股定理算出每个三角形的三边长度，再依据“三边对应成比例则两三角形相似”的判定规则，逐一比对各组三角形的边长比例，从而确定相似的三角形组合.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．
故选：B．
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．根据一次函数和二次函数图象的性质，由a、b的符号判断图像的开口方向、斜率以及与y轴交点等特征，逐一验证选项.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的同学有10人．
故答案为：B．
【分析】由题意设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，属于双循环问题列关于x的一元二次方程，解取正值，负值不符题意舍去．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为
故选：B．
【分析】
本题考查了列表法、树状图法求古典概型概率、简单电路的通路分析. 解题核心在于：先通过树状图或列表法，列出随机闭合中两个开关的所有6种等可能结果；再结合电路结构，筛选出能让形成通路的有效情况；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，得到发光的概率.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
每个小正方形的边长都是1，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质求解线段比例，先通过网格特征构造辅助线，判定，推出，结合网格边长求出，，接着判定，根据相似三角形对应边成比例得到．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移3个单位，则
故选：D．
【分析】
本题考查了二次函数图象的平移规律、函数图象的几何变换、平行四边形的面积计算. 本题中曲线段AB扫过的区域可看作平行四边形，其面积等于水平方向的长度乘以上下平移的距离，即，则；通过已知面积求出平移距离后，再根据“上加下减”的二次函数平移规律，写出新函数的表达式．
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴点N在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故选：D
【分析】
本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形判定、垂线段最短、角直角三角形的性质. 先利用等边三角形与旋转的性质构造全等三角形，将转化为，确定点F的运动轨迹为一条与AN成的直线；再根据“垂线段最短原理”，当AF垂直于该直线时AF取得最小值，结合角直角三角形的边长关系，即可求出AB的长度.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向下可得，对称轴在y轴的左侧，因此，而，
，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵二次函数的图象与x轴交于和，且，
∴，即二次函数的对称轴，
∴，故④正确；
∵时，，
当时，，
，
∴，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：B．
【分析】
本题重点考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）、代数式符号判断，函数增减性. 先由抛物线开口方向、对称轴位置，与y轴交点坐标推导a、b、c的符号，再结合与x轴的交点坐标，代入函数式或利用增减性判断结论正误.
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解∶根据题意得
解得且
故答案为∶且
【分析】
本题考查函数自变量取值范围的确定，核心是理解不同类型函数表达式的定义域规则. 解题关键在于：针对含二次根式与分式的复合函数需同时满足两个约束条件（二次根式的被开方数），分式的分母），通过联立不等式组求解出自变量的取值范围.
14．【答案】27
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴=2=．
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故答案为：27．
【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方解题即可.
15．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程有两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，核心是无需解方程，直接通过系数求根的和与积. 先确定方程的系数a=1、b=-6、c=2，根据韦达定理得出、；再将这两个结果代入代数式，完成化简计算即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OB＝OD，
∵AB＝OA，
∴AB＝OA＝OB＝，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵AC＝2AO＝2，
∴AD＝BC＝＝3，
由作图过程可知：
AF是∠BAO的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝30°，
∴BF＝AB tan30°＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，
∴DF＝ ．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定、角平分线的尺规作图和勾股定理.由矩形对角线互相平分且相等结合AB＝OA，可推出△ABO是等边三角形，得到∠BAO=60°，由作图过程可得，AF是∠BAO的平分线，进而得到∠BAF=30°，利用30°角的直角三角形性质求出BF，再结合矩形边长关系得到CF，最后用勾股定理即可求出DF的长．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-1）0=1，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：，
，
把代入得，原式．
【知识点】分式的加减法；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值运算、含二次根式的代入运算、二次根式的分母有理化，分式的通分、约分、混合运算顺序. 先对原式进行通分、约分、因式分解，将复杂的分式化简为最简形式，再把代入，最后通过分母有理化得到最终结果.
19．【答案】（1），3，3
（2）解：（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
∴，
参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为，
故中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
故众数为，
故答案为：25，3，3；
【分析】本题主要考查了统计图表的综合运用，涉及扇形统计图、条形统计图的解读，以及中位数、众数的计算和用样本估计总体的思想.
（1）由扇形统计图占百分比之和为100%，可计算m，通过中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）用总体人数乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解．
（1）解：，
∴，
参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为，
故中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
故众数为，
故答案为：25，3，3；
（2）解：（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人．
20．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为元/个，由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价为元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题、利润问题），利润公式（利润=单件利润销售量），学会从实际问题中抽象出一元二次方程模型、求解并根据实际意义取舍解.
（1）抓住“月平均增长率不变”，设其为x，根据8月销量200个，10月销量288个，建立的增长方程，求解并舍去负值得出增长率.
（2）梳理售价、单件利润、销售量的关系，设实际售价为y元/个，由“售价每涨1元，销量减5个”得销量为，结合单件利润，列出方程，求解后根据“让顾客得实惠”的要求选择较小的售价.
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为元/个，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价为元/个．
21．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵E为的中点，∴，
∴．
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，利用余角的性质可证得，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证，然后利用相似三角形的对应边成比例可证得结论.
（2）利用已知求出BE的长，再利用勾股定理可求出AE的长，由（1）的比例式即可求解．
（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵E为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米 .
（2）解： 如图，延长交于点G，
设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查了坡比（坡度）的定义、仰角的几何意义、锐角三角函数（正切）的实际应用、勾股定理、解直角三角形的实际应用.解题关键是通过作垂直辅助线构造直角三角形，分别利用坡比关系和仰角的正切值建立方程，联立求解得到目标长度与高度.
（1）针对斜坡段，通过作垂直辅助线构造直角三角形，利用坡比的定义求出水平直角边的长度，再结合勾股定理计算斜坡长度：作于点，在直角三角形ADH中，由坡比，得到，结合已知DH=2可算出AH=6，再通过勾股定理，即可求出AD的长度；
（2）针对仰角测量段，通过延长辅助线构建新的直角三角形，利用仰角的正切函数建立高度与水平距离的方程，结合已知的仰角条件联立求解，最终得到大树的高度：延长 交于点G，设．在中，由，可求出；在中，由得米；最后在中，利用列出方程米，联立求解即可得到大树高度．
（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米；
（2）解： 如图，延长交于点G，
设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
23．【答案】证明：（1）∵BE ⊥AC，∴∠AEB=90°，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFN=∠BFM=90°，
∴∠N+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠N，
∴△BFM∽△NFA；
（2）∵△BFM∽△NFA，
∴ ，
∴ ，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠AFD=∠BFM=90°，
∴∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠BAD=90°，
∴∠BDF=∠BAD，
∴△BDF∽△DAF，
∴ ，
∴ ，
∴；
（3）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴FB=2FM， DF=2FB=4FM，
∵，
∴ ，
∵DN＝12，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴FB=2，DF=4，FN=DF+DN=16，
∵∠AFN=∠MEN=90°，∠N=∠N，
∴△MNE∽△ANF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，AB=AF+BF=10，
在 中， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
解得：
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合三角形高、垂直的性质以及等腰的性质和勾股定理.（1）根据垂直和高的定义得到直角相等，再通过角的互余关系得到一对角相等，利用AA即可判定相似；
（2）由（1）相似三角形的性质可得，再根据角角证明△BDF∽△DAF，可得，通过等量代换即可得证；
（3）首先证明△ENM∽△FBM∽△FDB，推出FB=2FM，FD=4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而算出FB，FD，以及FN的长，再利用△MNE∽△ANF，利用三角形相似的性质求出AF，AB的长，结合勾股定理求出BD的长，最终得AC．
24．【答案】(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；
(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k'x+b'，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴，∴，
∴MN(m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴，∴PGNGm，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，
∴S△PONOP GN(﹣m2m+3) m，
当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．
【知识点】二次函数的最值；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题是二次函数综合题，涉及抛物线解析式求解、最短路径问题和线段最值与面积计算.(1)利用顶点式可求得抛物线的表达式；
(2)利用抛物线的对称轴x=1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，求出E'坐标后，联立E'F的解析式 与对称轴x=1即可得到点G坐标；
(3)先求直线AB的解析式，设点P、M、N的坐标，用含参数的代数式表示MN的长度，转化为二次函数求最值，当MN最大时，代入参数计算出面积.
1 / 1四川省攀枝花市盐边县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（每题5分，共60分）
1．（2025九上·盐边期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故本选项错误；
B、，能与合并，故本选项正确；
C、，不能与合并，故本选项错误；
D、，不能与合并，故本选项错误；
故选：B．
【分析】
本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的识别. 先将每个选项的二次根式化为最简形式，再根据“同类二次根式要求被开方数完全相同”这一规则，筛选出能与合并的选项.
2．（2025九上·盐边期末）已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个非零根，
∴，
∴，
∴，
∴b=0或b-a+1=0，
∴b-a=-1，
∴a-b=1，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根求出，再求出b=0或b-a+1=0，最后计算求解即可。
3．（2025九上·盐边期末）下列各式中，一定能成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.，选项正确，符合题意；
B.，选项错误，不符合题意；
C.，选项错误，不符合题意；
D.当时，原式，选项错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】
本题考查了二次根式的性质、、二次根式乘法法则，二次根式的化简与等式成立的条件判断. 本题需逐一分析选项，结合二次根式的性质与成立条件，判断等式两边是否恒等；重点关注被开方数的非负性要求，以及绝对值在化简中的作用，从而选出一定成立的选项.
4．（2025九上·盐边期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】正方形的性质；求正切值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
由正方形的性质可得：，，，
∴，
故选D.
【分析】
本题考查了正方形网格的性质、勾股定理、对顶角相等、正切函数的定义. 通过连接构造直角三角形，借助正方形网格的边长关系，用勾股定理算出OC与BC的长度，即：，，，再利用与是对顶角（度数相等），将求的问题转化为，最后根据正切函数定义计算结果.
5．（2025九上·盐边期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　）
A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④
【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：图形①的三边为：；
图形②的三边为：；
图形③的三边为：；
图形④的三边为：；
∵，
∴①与③相似，
故选：A．
【分析】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似）. 先借助勾股定理算出每个三角形的三边长度，再依据“三边对应成比例则两三角形相似”的判定规则，逐一比对各组三角形的边长比例，从而确定相似的三角形组合.
6．（2025九上·盐边期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．
故选：B．
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．根据一次函数和二次函数图象的性质，由a、b的符号判断图像的开口方向、斜率以及与y轴交点等特征，逐一验证选项.
7．（2025九上·盐边期末）在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的同学有10人．
故答案为：B．
【分析】由题意设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，属于双循环问题列关于x的一元二次方程，解取正值，负值不符题意舍去．
8．（2025九上·盐边期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为
故选：B．
【分析】
本题考查了列表法、树状图法求古典概型概率、简单电路的通路分析. 解题核心在于：先通过树状图或列表法，列出随机闭合中两个开关的所有6种等可能结果；再结合电路结构，筛选出能让形成通路的有效情况；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，得到发光的概率.
9．（2025九上·盐边期末）如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
每个小正方形的边长都是1，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质求解线段比例，先通过网格特征构造辅助线，判定，推出，结合网格边长求出，，接着判定，根据相似三角形对应边成比例得到．
10．（2025九上·盐边期末）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移3个单位，则
故选：D．
【分析】
本题考查了二次函数图象的平移规律、函数图象的几何变换、平行四边形的面积计算. 本题中曲线段AB扫过的区域可看作平行四边形，其面积等于水平方向的长度乘以上下平移的距离，即，则；通过已知面积求出平移距离后，再根据“上加下减”的二次函数平移规律，写出新函数的表达式．
11．（2025九上·盐边期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴点N在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故选：D
【分析】
本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形判定、垂线段最短、角直角三角形的性质. 先利用等边三角形与旋转的性质构造全等三角形，将转化为，确定点F的运动轨迹为一条与AN成的直线；再根据“垂线段最短原理”，当AF垂直于该直线时AF取得最小值，结合角直角三角形的边长关系，即可求出AB的长度.
12．（2025九上·盐边期末）如图，二次函数的图象与x 轴交于和，且，与y轴的交点在上方，有以下结论：①； ②；③；④； ⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向下可得，对称轴在y轴的左侧，因此，而，
，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵二次函数的图象与x轴交于和，且，
∴，即二次函数的对称轴，
∴，故④正确；
∵时，，
当时，，
，
∴，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：B．
【分析】
本题重点考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）、代数式符号判断，函数增减性. 先由抛物线开口方向、对称轴位置，与y轴交点坐标推导a、b、c的符号，再结合与x轴的交点坐标，代入函数式或利用增减性判断结论正误.
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（2025九上·盐边期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解∶根据题意得
解得且
故答案为∶且
【分析】
本题考查函数自变量取值范围的确定，核心是理解不同类型函数表达式的定义域规则. 解题关键在于：针对含二次根式与分式的复合函数需同时满足两个约束条件（二次根式的被开方数），分式的分母），通过联立不等式组求解出自变量的取值范围.
14．（2025九上·盐边期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为　 　．
【答案】27
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴=2=．
∵△ABC的面积为3，
∴△DEF的面积为27，
故答案为：27．
【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方解题即可.
15．（2025九上·盐边期末）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程有两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，核心是无需解方程，直接通过系数求根的和与积. 先确定方程的系数a=1、b=-6、c=2，根据韦达定理得出、；再将这两个结果代入代数式，完成化简计算即可得到答案.
16．（2025九上·盐边期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB＝OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，交AC于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF．若AB＝，则线段DF的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OB＝OD，
∵AB＝OA，
∴AB＝OA＝OB＝，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵AC＝2AO＝2，
∴AD＝BC＝＝3，
由作图过程可知：
AF是∠BAO的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝30°，
∴BF＝AB tan30°＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，
∴DF＝ ．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定、角平分线的尺规作图和勾股定理.由矩形对角线互相平分且相等结合AB＝OA，可推出△ABO是等边三角形，得到∠BAO=60°，由作图过程可得，AF是∠BAO的平分线，进而得到∠BAF=30°，利用30°角的直角三角形性质求出BF，再结合矩形边长关系得到CF，最后用勾股定理即可求出DF的长．
三、解答题
17．（2025九上·盐边期末）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-1）0=1，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．（2025九上·盐边期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
把代入得，原式．
【知识点】分式的加减法；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值运算、含二次根式的代入运算、二次根式的分母有理化，分式的通分、约分、混合运算顺序. 先对原式进行通分、约分、因式分解，将复杂的分式化简为最简形式，再把代入，最后通过分母有理化得到最终结果.
19．（2025九上·盐边期末）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
【答案】（1），3，3
（2）解：（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
∴，
参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为，
故中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
故众数为，
故答案为：25，3，3；
【分析】本题主要考查了统计图表的综合运用，涉及扇形统计图、条形统计图的解读，以及中位数、众数的计算和用样本估计总体的思想.
（1）由扇形统计图占百分比之和为100%，可计算m，通过中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）用总体人数乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解．
（1）解：，
∴，
参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为，
故中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
故众数为，
故答案为：25，3，3；
（2）解：（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人．
20．（2025九上·盐边期末）“道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个．
（1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
（2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为元/个，由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价为元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题、利润问题），利润公式（利润=单件利润销售量），学会从实际问题中抽象出一元二次方程模型、求解并根据实际意义取舍解.
（1）抓住“月平均增长率不变”，设其为x，根据8月销量200个，10月销量288个，建立的增长方程，求解并舍去负值得出增长率.
（2）梳理售价、单件利润、销售量的关系，设实际售价为y元/个，由“售价每涨1元，销量减5个”得销量为，结合单件利润，列出方程，求解后根据“让顾客得实惠”的要求选择较小的售价.
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为元/个，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价为元/个．
21．（2025九上·盐边期末）如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．
（1）求证：．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵E为的中点，∴，
∴．
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，利用余角的性质可证得，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证，然后利用相似三角形的对应边成比例可证得结论.
（2）利用已知求出BE的长，再利用勾股定理可求出AE的长，由（1）的比例式即可求解．
（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵E为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
22．（2025九上·盐边期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．
（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
【答案】（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米 .
（2）解： 如图，延长交于点G，
设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查了坡比（坡度）的定义、仰角的几何意义、锐角三角函数（正切）的实际应用、勾股定理、解直角三角形的实际应用.解题关键是通过作垂直辅助线构造直角三角形，分别利用坡比关系和仰角的正切值建立方程，联立求解得到目标长度与高度.
（1）针对斜坡段，通过作垂直辅助线构造直角三角形，利用坡比的定义求出水平直角边的长度，再结合勾股定理计算斜坡长度：作于点，在直角三角形ADH中，由坡比，得到，结合已知DH=2可算出AH=6，再通过勾股定理，即可求出AD的长度；
（2）针对仰角测量段，通过延长辅助线构建新的直角三角形，利用仰角的正切函数建立高度与水平距离的方程，结合已知的仰角条件联立求解，最终得到大树的高度：延长 交于点G，设．在中，由，可求出；在中，由得米；最后在中，利用列出方程米，联立求解即可得到大树高度．
（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米；
（2）解： 如图，延长交于点G，
设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
23．（2025九上·盐边期末）如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
【答案】证明：（1）∵BE ⊥AC，∴∠AEB=90°，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFN=∠BFM=90°，
∴∠N+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠N，
∴△BFM∽△NFA；
（2）∵△BFM∽△NFA，
∴ ，
∴ ，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠AFD=∠BFM=90°，
∴∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠BAD=90°，
∴∠BDF=∠BAD，
∴△BDF∽△DAF，
∴ ，
∴ ，
∴；
（3）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴FB=2FM， DF=2FB=4FM，
∵，
∴ ，
∵DN＝12，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴FB=2，DF=4，FN=DF+DN=16，
∵∠AFN=∠MEN=90°，∠N=∠N，
∴△MNE∽△ANF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，AB=AF+BF=10，
在 中， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
解得：
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合三角形高、垂直的性质以及等腰的性质和勾股定理.（1）根据垂直和高的定义得到直角相等，再通过角的互余关系得到一对角相等，利用AA即可判定相似；
（2）由（1）相似三角形的性质可得，再根据角角证明△BDF∽△DAF，可得，通过等量代换即可得证；
（3）首先证明△ENM∽△FBM∽△FDB，推出FB=2FM，FD=4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而算出FB，FD，以及FN的长，再利用△MNE∽△ANF，利用三角形相似的性质求出AF，AB的长，结合勾股定理求出BD的长，最终得AC．
24．（2025九上·盐边期末）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
【答案】(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；
(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k'x+b'，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴，∴，
∴MN(m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴，∴PGNGm，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，
∴S△PONOP GN(﹣m2m+3) m，
当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．
【知识点】二次函数的最值；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题是二次函数综合题，涉及抛物线解析式求解、最短路径问题和线段最值与面积计算.(1)利用顶点式可求得抛物线的表达式；
(2)利用抛物线的对称轴x=1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，求出E'坐标后，联立E'F的解析式 与对称轴x=1即可得到点G坐标；
(3)先求直线AB的解析式，设点P、M、N的坐标，用含参数的代数式表示MN的长度，转化为二次函数求最值，当MN最大时，代入参数计算出面积.
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