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湖南省娄底市新化县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上）
1．（2025八上·新化期末）在下列代数式中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·新化期末）在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣4 B．0.77×10﹣5 C．7.7×10﹣5 D．77×10﹣3
3．（2025八上·新化期末）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
4．（2025八上·新化期末）下列式子中是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·新化期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·新化期末）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·新化期末）若，则的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．15
8．（2025八上·新化期末）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·新化期末）观察下组数据，寻找规律：0、、、3、2、……那么第10个数据是（　　）
A．2 B．3 C．7 D．
10．（2025八上·新化期末）如图，在中，，，点D为BC的中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分，请把答案写在答题卡上）
11．（2025八上·新化期末）49的算术平方根是　 　．
12．（2025八上·新化期末）计算：　 　．
13．（2025八上·新化期末）已知“5与的差是非负数”，用不等式表示为　 　．
14．（2025八上·新化期末）在中，，，则　 　度．
15．（2025八上·新化期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为　 　1.（填“”，“”或“”）
16．（2025八上·新化期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则　 　．
17．（2025八上·新化期末）的三边分别是，如为偶数，则满足所有此条件的数值之和为　 　．
18．（2025八上·新化期末）关于的不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共66分，19，20题各6分；21，22题各8分；23，24题各9分；25，26题各10分，请把解答过程书写在答题卡上）
19．（2025八上·新化期末）计算：．
20．（2025八上·新化期末）先化简，再求值： ，其中 .
21．（2025八上·新化期末）解不等式：1，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．（2025八上·新化期末）如图，一艘船从A处出发，以的速度向正北航行，经过到达B处．分别从A，B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
23．（2025八上·新化期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：
（1）填空： 的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中
24．（2025八上·新化期末）2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学，已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
（1）求两种书籍的单价分别为多少元？
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售．若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
25．（2025八上·新化期末）定义．根据定义，解答下列问题：
（1）________；
（2）计算；
（3）求方程的解．
26．（2025八上·新化期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.
（1）用含有t的代数式表示，则________；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：由题意知，，，是单项式，均为整式，故A、B、C不符合要求；
是分式，故D符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据分式的定义，看分母中是否含有字母，逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4．
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无理数．
故选：C．
【分析】本题考查的是无理数的定义（无限不循环小数），区分有理数与无理数即可.
4．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：是一元一次不等式，故A符合题意；
变形得：，不是一元一次不等式，故B不符合题意；
是等式，不是一元一次不等式，故C不符合题意；
，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：C
【分析】
本题考查了二次根式的加减、乘方、乘法以及分母有理化运算，注意区分“同类二次根式”与“不同类二次根式”，牢记二次根式相关运算法则，分母有理化时要保证分母不含根号．
6．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵直径为单位1的圆的周长为π，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
即，
∴A点表示的数是-π．
故选：D．
【分析】先求出圆的周长π，结合题意可得，即可得出A点表示的数是-π．
7．【答案】A
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：A.
【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，利用公式将，再代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：A.，两边都除以－2，得，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
B.，两边都除以2，得，不等号的方向未改变，故此选项不符合题意；
C.，两边都除以－2，得，故此选项符合题意；
D.，两边都除以－2，得，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与性质，根据不等式两边同时除以负数，需变号，匹配正确选项即可.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
通过数据找规律可知，第n个数为，
那么第10个数据为：.
故选B.
【分析】本题考查二次根式的变形、数字规律的归纳与应用.将已知数据统一写成二次根式的形式，拆分数字，分析数字与序号的对应关系，得到第n个数为，最后代入求值即可.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵△BDE≌△ADF
∴
∴
故③正确；
∵BE+CF=AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故选：C.
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化.利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，得DE=DF且∠EDF=90°，判断出①正确；由全等得BE=AF，结合AB=AC得AE=CF，判断出②正确；由全等得，故，判断出③正确；根据BE+CF=AF+AE，由三角形三边关系可得BE+CF＞EF，判断出④错误．
11．【答案】7
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵72=49，
∴49的算术平方根是7．
故答案为：7．
【分析】根据算术平方根的意义可求．
12．【答案】
【知识点】分式的约分；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：．
【分析】商的乘方法则可得。
13．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为： ．
【分析】本题考查了列一元一次不等式，关键是拆解文字描述，将“差、和、非负、不大于”等关键词转化为对应的数学符号.本题先将5与x的差表示为，非负数即是大于等于0的数，再用不等号连接起来即可．
14．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴180°-60°-20°=100°，
故答案是：100．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理（三角形内角和等于180°），本题已知三角形两个内角，求第三个内角，直接套用“内角和为180°”计算．
15．【答案】＞
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
【分析】
本题考察线段垂直平分线的尺规作图方法. 解题核心是理解作图原理：只有当画弧半径大于线段AB长度的一半时，两弧才能相交于两点，从而确定垂直平分线. 作图方法是：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，进而确定垂直平分线的位置.
16．【答案】16
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵的整数部分是，小数部分是，
∴，，
∴
．
故答案为：16．
【分析】本题考查了无理数的估算以及实数的加减运算，估算无理数的整数部分，先找其相邻的两个完全平方数，确定整数部分后，用无理数减去整数部分得小数部分，再代入代数式运算.
17．【答案】24
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵的三边分别是，
∴，即，
∵为偶数，
∴或或，
∴，
故答案为：24 ．
【分析】
本题考查了三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）.先利用三边关系求出第三边的取值范围，再结合“为偶数”的条件筛选出符合要求的数值，最后求和得到最终结果.
18．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，由①得，，
由②得，，
∵解集中有且仅有3个整数解，
∴整数解为2，3，4，
∴，
故答案为：．
【分析】先将m作为字母系数解不等式组中的每一个不等式，用m的代数式表示，再由 不等式组有且仅有3个整数解，写出该不等式组的整数解，从而即可即可求得字母m的取值范围.
19．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了绝对值的化简，算术平方根与立方根的计算.先分别化简绝对值、根式、乘方等，再按“先乘除、后加减”顺序计算.
20．【答案】解：原式
.
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
21．【答案】解：去分母，得：x+6＞2（x+2），
去括号，得：x+6＞2x+4，
移项，得：x﹣2x＞4﹣6，
合并同类项，得：﹣x＞﹣2，
系数化为1，得：x＜2，

【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式并在数轴上表示解决.先根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式．在数轴上表示时，需注意含等号用实心点，不含等号用空心点，大于向右画，小于向左画.
22．【答案】解：根据题意得：AB＝18×10＝，∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC ∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝．
即从B处到灯塔C的距离是
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形判定（等角对等边）以及路程公式的应用.先由“路程=速度×时间”求出AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，结合外角的性质算出∠C，可得∠C＝∠NAC，证得BC＝AB，则可得从从B处到灯塔C的距离．
23．【答案】（1）解：小明
（2）解：
，
当时，，
∴原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
解：（1）∵当时，，∴，
∴小明的计算错误，小颖的计算正确，
故答案为：小明.
【分析】
本题重点考查二次根式性质、绝对值的化简规则，熟练掌握二次根式的化简运算、含绝对值的代数式求值是解题关键．
（1）需先将配方为，再结合的具体取值判断的正负，进而化简绝对值，以此辨析两位同学解法的正误；
（2）需先将配方为，再根据判断的正负，完成绝对值化简后代入计算，最终得到代数式的值.
24．【答案】（1）解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，
由题意得：．
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元．
（2）解： 设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，
由题意得：，
解得：．
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出方程，计算求解并检验即可解答；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，根据题意，列出不等式，计算求解即可解答．
25．【答案】（1）3
（2）
.
（3）由题意得，
解得
经检验，是分式方程的解
原方程的解为．
【知识点】分式的加减法；解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
解：（1）
，
故答案为：3.
【分析】
本题考查自定义运算规则、有理数混合运算、分式的通分与约分、分式方程的解法．以自定义运算为载体，分三个层次考察运算能力.
（1）直接代入有理数，按定义完成基础运算；
（2）代入分式，结合通分、约分完成复杂运算；
（3）代入方程，转化为分式方程求解并检验，层层递进考查对自定义规则的应用能力．
26．【答案】（1）
（2）解：不全等，理由如下：
由题意知，经过1秒后，，，，
，点D为的中点，
，
可知和中，，，，
与不全等
（3）解：∵，∴，
又∵，，
∴，，
∴点P点Q运动的时间，
∴，
即当点Q的运动速度为时，能够使与全等
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意知，则，
故答案为：；
【分析】本题考查动点问题的代数式表示以及全等三角形的判定（SAS）.
（1）结合点p运动的速度和时间，求出，即可求出答案；
（2）结合题目条件表示出，根据全等三角形的判定可推出不全等；
（3）根据全等应满足的条件得到对应的边相等，根据路程、时间、速度之间的关系，先求出点P运动的时间，再求点Q的运动速度．
（1）解：由题意知，则，
故答案为：；
（2）解：不全等，理由如下：
由题意知，经过1秒后，，，，
，点D为的中点，
，
可知和中，，，，
与不全等；
（3）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴点P点Q运动的时间，
∴，
即当点Q的运动速度为时，能够使与全等．
1 / 1湖南省娄底市新化县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上）
1．（2025八上·新化期末）在下列代数式中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：由题意知，，，是单项式，均为整式，故A、B、C不符合要求；
是分式，故D符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据分式的定义，看分母中是否含有字母，逐一判断即可．
2．（2025八上·新化期末）在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣4 B．0.77×10﹣5 C．7.7×10﹣5 D．77×10﹣3
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4．
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．（2025八上·新化期末）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无理数．
故选：C．
【分析】本题考查的是无理数的定义（无限不循环小数），区分有理数与无理数即可.
4．（2025八上·新化期末）下列式子中是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：是一元一次不等式，故A符合题意；
变形得：，不是一元一次不等式，故B不符合题意；
是等式，不是一元一次不等式，故C不符合题意；
，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐一判断即可．
5．（2025八上·新化期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：C
【分析】
本题考查了二次根式的加减、乘方、乘法以及分母有理化运算，注意区分“同类二次根式”与“不同类二次根式”，牢记二次根式相关运算法则，分母有理化时要保证分母不含根号．
6．（2025八上·新化期末）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵直径为单位1的圆的周长为π，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
即，
∴A点表示的数是-π．
故选：D．
【分析】先求出圆的周长π，结合题意可得，即可得出A点表示的数是-π．
7．（2025八上·新化期末）若，则的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．15
【答案】A
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：A.
【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，利用公式将，再代入计算即可.
8．（2025八上·新化期末）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：A.，两边都除以－2，得，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
B.，两边都除以2，得，不等号的方向未改变，故此选项不符合题意；
C.，两边都除以－2，得，故此选项符合题意；
D.，两边都除以－2，得，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与性质，根据不等式两边同时除以负数，需变号，匹配正确选项即可.
9．（2025八上·新化期末）观察下组数据，寻找规律：0、、、3、2、……那么第10个数据是（　　）
A．2 B．3 C．7 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
通过数据找规律可知，第n个数为，
那么第10个数据为：.
故选B.
【分析】本题考查二次根式的变形、数字规律的归纳与应用.将已知数据统一写成二次根式的形式，拆分数字，分析数字与序号的对应关系，得到第n个数为，最后代入求值即可.
10．（2025八上·新化期末）如图，在中，，，点D为BC的中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵△BDE≌△ADF
∴
∴
故③正确；
∵BE+CF=AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故选：C.
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化.利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，得DE=DF且∠EDF=90°，判断出①正确；由全等得BE=AF，结合AB=AC得AE=CF，判断出②正确；由全等得，故，判断出③正确；根据BE+CF=AF+AE，由三角形三边关系可得BE+CF＞EF，判断出④错误．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分，请把答案写在答题卡上）
11．（2025八上·新化期末）49的算术平方根是　 　．
【答案】7
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵72=49，
∴49的算术平方根是7．
故答案为：7．
【分析】根据算术平方根的意义可求．
12．（2025八上·新化期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的约分；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：．
【分析】商的乘方法则可得。
13．（2025八上·新化期末）已知“5与的差是非负数”，用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为： ．
【分析】本题考查了列一元一次不等式，关键是拆解文字描述，将“差、和、非负、不大于”等关键词转化为对应的数学符号.本题先将5与x的差表示为，非负数即是大于等于0的数，再用不等号连接起来即可．
14．（2025八上·新化期末）在中，，，则　 　度．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴180°-60°-20°=100°，
故答案是：100．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理（三角形内角和等于180°），本题已知三角形两个内角，求第三个内角，直接套用“内角和为180°”计算．
15．（2025八上·新化期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为　 　1.（填“”，“”或“”）
【答案】＞
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
【分析】
本题考察线段垂直平分线的尺规作图方法. 解题核心是理解作图原理：只有当画弧半径大于线段AB长度的一半时，两弧才能相交于两点，从而确定垂直平分线. 作图方法是：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，进而确定垂直平分线的位置.
16．（2025八上·新化期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则　 　．
【答案】16
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵的整数部分是，小数部分是，
∴，，
∴
．
故答案为：16．
【分析】本题考查了无理数的估算以及实数的加减运算，估算无理数的整数部分，先找其相邻的两个完全平方数，确定整数部分后，用无理数减去整数部分得小数部分，再代入代数式运算.
17．（2025八上·新化期末）的三边分别是，如为偶数，则满足所有此条件的数值之和为　 　．
【答案】24
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵的三边分别是，
∴，即，
∵为偶数，
∴或或，
∴，
故答案为：24 ．
【分析】
本题考查了三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）.先利用三边关系求出第三边的取值范围，再结合“为偶数”的条件筛选出符合要求的数值，最后求和得到最终结果.
18．（2025八上·新化期末）关于的不等式组有且仅有3个整数解，那么m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，由①得，，
由②得，，
∵解集中有且仅有3个整数解，
∴整数解为2，3，4，
∴，
故答案为：．
【分析】先将m作为字母系数解不等式组中的每一个不等式，用m的代数式表示，再由 不等式组有且仅有3个整数解，写出该不等式组的整数解，从而即可即可求得字母m的取值范围.
三、解答题（本大题共66分，19，20题各6分；21，22题各8分；23，24题各9分；25，26题各10分，请把解答过程书写在答题卡上）
19．（2025八上·新化期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了绝对值的化简，算术平方根与立方根的计算.先分别化简绝对值、根式、乘方等，再按“先乘除、后加减”顺序计算.
20．（2025八上·新化期末）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
.
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
21．（2025八上·新化期末）解不等式：1，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母，得：x+6＞2（x+2），
去括号，得：x+6＞2x+4，
移项，得：x﹣2x＞4﹣6，
合并同类项，得：﹣x＞﹣2，
系数化为1，得：x＜2，

【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式并在数轴上表示解决.先根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式．在数轴上表示时，需注意含等号用实心点，不含等号用空心点，大于向右画，小于向左画.
22．（2025八上·新化期末）如图，一艘船从A处出发，以的速度向正北航行，经过到达B处．分别从A，B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
【答案】解：根据题意得：AB＝18×10＝，∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC ∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝．
即从B处到灯塔C的距离是
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形判定（等角对等边）以及路程公式的应用.先由“路程=速度×时间”求出AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，结合外角的性质算出∠C，可得∠C＝∠NAC，证得BC＝AB，则可得从从B处到灯塔C的距离．
23．（2025八上·新化期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：
（1）填空： 的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中
【答案】（1）解：小明
（2）解：
，
当时，，
∴原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
解：（1）∵当时，，∴，
∴小明的计算错误，小颖的计算正确，
故答案为：小明.
【分析】
本题重点考查二次根式性质、绝对值的化简规则，熟练掌握二次根式的化简运算、含绝对值的代数式求值是解题关键．
（1）需先将配方为，再结合的具体取值判断的正负，进而化简绝对值，以此辨析两位同学解法的正误；
（2）需先将配方为，再根据判断的正负，完成绝对值化简后代入计算，最终得到代数式的值.
24．（2025八上·新化期末）2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学，已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
（1）求两种书籍的单价分别为多少元？
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售．若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
【答案】（1）解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，
由题意得：．
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元．
（2）解： 设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，
由题意得：，
解得：．
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出方程，计算求解并检验即可解答；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，根据题意，列出不等式，计算求解即可解答．
25．（2025八上·新化期末）定义．根据定义，解答下列问题：
（1）________；
（2）计算；
（3）求方程的解．
【答案】（1）3
（2）
.
（3）由题意得，
解得
经检验，是分式方程的解
原方程的解为．
【知识点】分式的加减法；解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
解：（1）
，
故答案为：3.
【分析】
本题考查自定义运算规则、有理数混合运算、分式的通分与约分、分式方程的解法．以自定义运算为载体，分三个层次考察运算能力.
（1）直接代入有理数，按定义完成基础运算；
（2）代入分式，结合通分、约分完成复杂运算；
（3）代入方程，转化为分式方程求解并检验，层层递进考查对自定义规则的应用能力．
26．（2025八上·新化期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.
（1）用含有t的代数式表示，则________；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
【答案】（1）
（2）解：不全等，理由如下：
由题意知，经过1秒后，，，，
，点D为的中点，
，
可知和中，，，，
与不全等
（3）解：∵，∴，
又∵，，
∴，，
∴点P点Q运动的时间，
∴，
即当点Q的运动速度为时，能够使与全等
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意知，则，
故答案为：；
【分析】本题考查动点问题的代数式表示以及全等三角形的判定（SAS）.
（1）结合点p运动的速度和时间，求出，即可求出答案；
（2）结合题目条件表示出，根据全等三角形的判定可推出不全等；
（3）根据全等应满足的条件得到对应的边相等，根据路程、时间、速度之间的关系，先求出点P运动的时间，再求点Q的运动速度．
（1）解：由题意知，则，
故答案为：；
（2）解：不全等，理由如下：
由题意知，经过1秒后，，，，
，点D为的中点，
，
可知和中，，，，
与不全等；
（3）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴点P点Q运动的时间，
∴，
即当点Q的运动速度为时，能够使与全等．
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