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四川省资阳市安岳县安岳中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（共40分）
1．（2025九上·安岳期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·安岳期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，它的内角和是
B．掷一枚骰子，朝上一面的点数为2
C．抛出的篮球会下落
D．一名运动员每次命中靶心
3．（2025九上·安岳期末）已知，则实数m的范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·安岳期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·安岳期末）如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2025九上·安岳期末）某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·安岳期末）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·安岳期末）如图，在中，E，F是的三等分点，G是的中点，交于点H，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·安岳期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接、、，交于点．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·安岳期末）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（2025九上·安岳期末）若代数式在实数范围内有意义，x应满足的条件是　 　．
12．（2025九上·安岳期末）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是　 　．
13．（2025九上·安岳期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　．
14．（2025九上·安岳期末）已知 ，则 　 　．
15．（2025九上·安岳期末）如图所示，已知等边的边长为4，点D在边上且，点E在边上，，那么的长是　 　．
16．（2025九上·安岳期末）如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是　 　．
三、解答题（共86分）
17．（2025九上·安岳期末）计算：
（1）
（2）
18．（2025九上·安岳期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2025九上·安岳期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请直接写出点A、B的坐标；
（2）请画出关于y轴的对称图形；
（3）求的面积．
20．（2025九上·安岳期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了___________名学生：
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若某校有名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数为________人；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、＂”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
21．（2025九上·安岳期末）每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为万千克，已知每年销量增长率相等．
（1）求销量增长率．
（2）某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大．
22．（2025九上·安岳期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，)
（1）求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)；
（2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间)
23．（2025九上·安岳期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“______倍根方程”；
（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
（4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
24．（2025九上·安岳期末）在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为．
【尝试】
（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，不是最简二次根式；
B．，不是最简二次根式；
C．，不是最简二次根式；
D．是最简二次根式；
故选：D．
【分析】
根据最简二次根式的概念“被开方数没有分母，不存在能开放的因数或因式”逐一进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，它的内角和是180°，不可能是200°，原事件是不可能事件，不符合题意；
B、掷一枚骰子，朝上一面的点数可能为2，原事件是随机事件，不符合题意；
C、抛出的篮球会下落，原事件是必然事件，符合题意；
D、一名运动员不一定每次命中靶心，原事件是随机事件，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】由题意，估算出，并结合不等式的性质即可求解．
4．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】∵点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是，纵坐标是，
∴所得点的坐标是.
故答案为：A.
【分析】点M（a，b）向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（a+1，b-2），据此解答.
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F分别是、的中点
∴是的中位线，
∴，
∴菱形的周长为．
故选：D．
【分析】
本题考查三角形的中位线定理、菱形的四条边相等的性质. 关键是识别出EF是的中位线，利用中位线定理（中位线等于第三边的一半）求出菱形的边长，进而计算周长．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得：
，
故选D．
【分析】本题考查了平均增长率的数学模型、一元二次方程的应用. 先根据平均增长率公式表示出2月、3月的产值，再结合“2月和3月总产值为62万元”的等量关系，列出对应的一元二次方程.
7．【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由在数轴上的位置可知，，且，
，．
故选：D．
【分析】本题主要考查了数轴，借助数轴判断有理数的符号和绝对值大小是解题核心．由数轴得，，且，根据相反数的意义，分别分析-a，-b与a、b的大小关系，逐一排除错误选项．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
∵E，F是的三等分点，G是的中点，
∴，，
∴，即，
∴．
故选D．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质（对边平行且相等）、相似三角形的判定（AA）和性质（面积比等于相似比的平方）．先根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到，，从而证明；再利用E、F是BC的三等分点、G是AD的中点这一条件，求出EF与AG的长度比，即，最后根据“相似三角形面积比等于相似比的平方”，计算出两个三角形的面积比，即．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在菱形中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
∴，
四边形是菱形，
∴，，
为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
【分析】
本题考查了特殊四边形的判定与性质综合、勾股定理的应用. 需先结合菱形对角线互相平分且垂直的性质，证明四边形是平行四边形，再由对角线垂直的条件证其为矩形；接着利用菱形中推出为等边三角形，得到边长与对角线的关系. 最后通过两次勾股定理求出，即，以及的长度．
10．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C
的面积为
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积
；
∴四边形A2A1B1B2的面积=的面积-的面积
…
∴第n个四边形的面积
∴
故答案为C
【分析】本题考查的是图形面积的规律探究，由中位线性质得出每次截取后小三角形面积为前一个的，将所求式子转化为总面积减去最后剩余小三角形的面积，进而推导求和公式.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的求解. 要使代数式在实数范围内有意义，需满足：被开方数不能为负数. 据此列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，
任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果，
小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【分析】
本题考查了简单随机事件概率计算、等可能事件的概率公式. 本题可依据概率的核心定义来求解，先统计所有等可能得开关闭合情况，再找出能让小灯泡发光的闭合方式，最后用“发光情况数总情况数”得到概率．
13．【答案】14
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
，，
解得，，
∴，
故答案为：14．
【分析】根据同类二次根式的定义（最简二次根式的被开方数相同），据此列出方程，解出x、y后，代入计算xy的值.
14．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设
可得：x＝2k，y＝5k，
把x＝2k，y＝5k代入 ，
故答案为：﹣ ．
【分析】根据比例的性质解答即可，设k法求值．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角形的内角和定理，由等边三角形的性质可得，再通过角的代换，利用AA证明，由相似三角形的性质得到对应边成比例，代入边长列比例式计算CE的长度．
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形，是正方形，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
则．
在中，点H是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题综合考查正方形的性质，勾股定理与直角三角形中线性质. 解题思路：先连接，借助正方形对角线平分内角的性质，证明，从而得到是直角三角形；再利用勾股定理分别计算的长度，进而求出斜边的长；最后根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的性质，由H是AF中点直接得出，完成求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，再运算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式展开运算，然后合并解题．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：原式
当 时， 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值，先将分母因式分解，再对括号内的式子通分计算，将除法转化为乘法后约分，得到最简分式，再把a代入求值.
19．【答案】（1）解：，
（2）解： 如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，就是所求作的图形，
（3）解： 由图可知，．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为；
【分析】（1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置直接写出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'，再依次连接，即可画出图形；
（3） 利用方格纸的特点及割补法，由△ABC外接正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，列式计算可得△ABC的面积.
（1）解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为；
（2）如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，就是所求作的图形，
（3）由图可知，．
20．【答案】（1）100
（2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人，∴“短信”组的人数为（人），
∴补全条形统计图，如图所示，
（3）400
（4）解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
∴恰好选用同一种沟通方式的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（2）“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为，∴（人），
即这次统计共抽查了100人，
故答案为：．
（3）样本中用“微信”沟通的人数为人，∴（人），
∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人．
【分析】
本题考查了统计图表的数据分析、样本估计总体的思想、古典概型的概率计算.
（1）利用已知组的人数和百分比求出样本总量；
（2）计算缺失组的人数，补全条形统计图；
（3）用样本中“微信”组的占比估算全校对应人数；
（4）通过列表或树状图列举所有等可能得选择结果，计算出两人选同一种沟通方式的概率．
（1）解：“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为，
∴（人），
即这次统计共抽查了100人，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人，
∴“短信”组的人数为（人），
∴补全条形统计图，如图所示，
（3）解：样本中用“微信”沟通的人数为人，
∴（人），
∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人．
（4）解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
∴恰好选用同一种沟通方式的概率为．
21．【答案】（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得：，
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为
（2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，取最大值2025，
答：当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程增长率问题和二次函数的利润问题.
（1）设销量增长率为x，依据”初始量×（1+增长率）n=最终量“列方程，计算求解即可；
（2）根据利润公式求出W与x的关系式，然后化为顶点式求最大利润及对应售价．
（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得：
，
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为．
（2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，取最大值2025，
答：当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元．
22．【答案】（1）解：过点作交的延长线于点，则，
由题意可知，，，，
，是等腰直角三角形，
，
．
答：菜鸟驿站与超市的距离约为
（2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，，
，
，
．
，
小南上美术网课会迟到
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用(三角函数）以及勾股定理.
（1）过点作南北、东西方向的垂线，构造两个直角三角形，分别用三角函数求出CB和BA的长度；
（2）分别用三角函数求出CB和BA的长度，计算总路程后除以速度得所需时间，与7分子比较．
（1）解：过点作交的延长线于点，则，
由题意可知，，，，
，是等腰直角三角形，
，
．
答：菜鸟驿站与超市的距离约为．
（2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，，
，
，
．
，
小南上美术网课会迟到．
23．【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：∵关于的方程是“倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
∴，
（4）1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”，
故答案为：四；
（4）∵（均为正数），
∴，
∴，
∴的最小值是1，
故答案为：1．
【分析】（1）先利用”因式分解法“解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义得到答案；
（2）根据三倍根方程的定义设，是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并解之即可；
（3）根据倍根方程的定义设与是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并消去即可；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案.
（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
24．【答案】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，且，
∴与始终保持相似关系；
（2）存在，此时，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，，
由（1）可得，与始终保持相似关系，即，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴存在点，使得，此时；
（3）∵，若，
∴，
∵四边形是矩形，折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质可得 ，由同角的余角相等得 ，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ABF∽△DFE；
（2）根据矩形的性质可得，，由相似三角形对应边成比例得，则；根据题意求出，，由折叠的性质可得，在中由勾股定理算出DF、则可求出AF，再根据即可求解；
（3）根据题意可得，由矩形的性质，折叠的性质，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似 可得，根据相似三角形对应边成比例得，设，则，，在中由勾股定理建立方程解得，可得，由此即可求解．
1 / 1四川省资阳市安岳县安岳中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（共40分）
1．（2025九上·安岳期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，不是最简二次根式；
B．，不是最简二次根式；
C．，不是最简二次根式；
D．是最简二次根式；
故选：D．
【分析】
根据最简二次根式的概念“被开方数没有分母，不存在能开放的因数或因式”逐一进行判断即可．
2．（2025九上·安岳期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，它的内角和是
B．掷一枚骰子，朝上一面的点数为2
C．抛出的篮球会下落
D．一名运动员每次命中靶心
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，它的内角和是180°，不可能是200°，原事件是不可能事件，不符合题意；
B、掷一枚骰子，朝上一面的点数可能为2，原事件是随机事件，不符合题意；
C、抛出的篮球会下落，原事件是必然事件，符合题意；
D、一名运动员不一定每次命中靶心，原事件是随机事件，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2025九上·安岳期末）已知，则实数m的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】由题意，估算出，并结合不等式的性质即可求解．
4．（2025九上·安岳期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】∵点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是，纵坐标是，
∴所得点的坐标是.
故答案为：A.
【分析】点M（a，b）向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（a+1，b-2），据此解答.
5．（2025九上·安岳期末）如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F分别是、的中点
∴是的中位线，
∴，
∴菱形的周长为．
故选：D．
【分析】
本题考查三角形的中位线定理、菱形的四条边相等的性质. 关键是识别出EF是的中位线，利用中位线定理（中位线等于第三边的一半）求出菱形的边长，进而计算周长．
6．（2025九上·安岳期末）某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得：
，
故选D．
【分析】本题考查了平均增长率的数学模型、一元二次方程的应用. 先根据平均增长率公式表示出2月、3月的产值，再结合“2月和3月总产值为62万元”的等量关系，列出对应的一元二次方程.
7．（2025九上·安岳期末）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由在数轴上的位置可知，，且，
，．
故选：D．
【分析】本题主要考查了数轴，借助数轴判断有理数的符号和绝对值大小是解题核心．由数轴得，，且，根据相反数的意义，分别分析-a，-b与a、b的大小关系，逐一排除错误选项．
8．（2025九上·安岳期末）如图，在中，E，F是的三等分点，G是的中点，交于点H，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
∵E，F是的三等分点，G是的中点，
∴，，
∴，即，
∴．
故选D．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质（对边平行且相等）、相似三角形的判定（AA）和性质（面积比等于相似比的平方）．先根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到，，从而证明；再利用E、F是BC的三等分点、G是AD的中点这一条件，求出EF与AG的长度比，即，最后根据“相似三角形面积比等于相似比的平方”，计算出两个三角形的面积比，即．
9．（2025九上·安岳期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接、、，交于点．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在菱形中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
∴，
四边形是菱形，
∴，，
为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
【分析】
本题考查了特殊四边形的判定与性质综合、勾股定理的应用. 需先结合菱形对角线互相平分且垂直的性质，证明四边形是平行四边形，再由对角线垂直的条件证其为矩形；接着利用菱形中推出为等边三角形，得到边长与对角线的关系. 最后通过两次勾股定理求出，即，以及的长度．
10．（2025九上·安岳期末）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C
的面积为
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积
；
∴四边形A2A1B1B2的面积=的面积-的面积
…
∴第n个四边形的面积
∴
故答案为C
【分析】本题考查的是图形面积的规律探究，由中位线性质得出每次截取后小三角形面积为前一个的，将所求式子转化为总面积减去最后剩余小三角形的面积，进而推导求和公式.
二、填空题（共24分）
11．（2025九上·安岳期末）若代数式在实数范围内有意义，x应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的求解. 要使代数式在实数范围内有意义，需满足：被开方数不能为负数. 据此列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围.
12．（2025九上·安岳期末）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，
任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果，
小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【分析】
本题考查了简单随机事件概率计算、等可能事件的概率公式. 本题可依据概率的核心定义来求解，先统计所有等可能得开关闭合情况，再找出能让小灯泡发光的闭合方式，最后用“发光情况数总情况数”得到概率．
13．（2025九上·安岳期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　．
【答案】14
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
，，
解得，，
∴，
故答案为：14．
【分析】根据同类二次根式的定义（最简二次根式的被开方数相同），据此列出方程，解出x、y后，代入计算xy的值.
14．（2025九上·安岳期末）已知 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设
可得：x＝2k，y＝5k，
把x＝2k，y＝5k代入 ，
故答案为：﹣ ．
【分析】根据比例的性质解答即可，设k法求值．
15．（2025九上·安岳期末）如图所示，已知等边的边长为4，点D在边上且，点E在边上，，那么的长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角形的内角和定理，由等边三角形的性质可得，再通过角的代换，利用AA证明，由相似三角形的性质得到对应边成比例，代入边长列比例式计算CE的长度．
16．（2025九上·安岳期末）如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形，是正方形，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
则．
在中，点H是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题综合考查正方形的性质，勾股定理与直角三角形中线性质. 解题思路：先连接，借助正方形对角线平分内角的性质，证明，从而得到是直角三角形；再利用勾股定理分别计算的长度，进而求出斜边的长；最后根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的性质，由H是AF中点直接得出，完成求解．
三、解答题（共86分）
17．（2025九上·安岳期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，再运算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式展开运算，然后合并解题．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025九上·安岳期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当 时， 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值，先将分母因式分解，再对括号内的式子通分计算，将除法转化为乘法后约分，得到最简分式，再把a代入求值.
19．（2025九上·安岳期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请直接写出点A、B的坐标；
（2）请画出关于y轴的对称图形；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：，
（2）解： 如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，就是所求作的图形，
（3）解： 由图可知，．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为；
【分析】（1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置直接写出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'，再依次连接，即可画出图形；
（3） 利用方格纸的特点及割补法，由△ABC外接正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，列式计算可得△ABC的面积.
（1）解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为；
（2）如图，点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，就是所求作的图形，
（3）由图可知，．
20．（2025九上·安岳期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了___________名学生：
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若某校有名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数为________人；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、＂”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【答案】（1）100
（2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人，∴“短信”组的人数为（人），
∴补全条形统计图，如图所示，
（3）400
（4）解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
∴恰好选用同一种沟通方式的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（2）“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为，∴（人），
即这次统计共抽查了100人，
故答案为：．
（3）样本中用“微信”沟通的人数为人，∴（人），
∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人．
【分析】
本题考查了统计图表的数据分析、样本估计总体的思想、古典概型的概率计算.
（1）利用已知组的人数和百分比求出样本总量；
（2）计算缺失组的人数，补全条形统计图；
（3）用样本中“微信”组的占比估算全校对应人数；
（4）通过列表或树状图列举所有等可能得选择结果，计算出两人选同一种沟通方式的概率．
（1）解：“电话”组的人数为人，“电话”组的百分比为，
∴（人），
即这次统计共抽查了100人，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，样本容量为，“电话”组的人数为人， “微信”组的人数为人，“”组的人数为人，“其他”组的人数为人，
∴“短信”组的人数为（人），
∴补全条形统计图，如图所示，
（3）解：样本中用“微信”沟通的人数为人，
∴（人），
∴某校有名学生，用“微信”沟通的人数约为人．
（4）解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
∴恰好选用同一种沟通方式的概率为．
21．（2025九上·安岳期末）每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为万千克，已知每年销量增长率相等．
（1）求销量增长率．
（2）某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱．该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大．
【答案】（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得：，
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为
（2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，取最大值2025，
答：当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程增长率问题和二次函数的利润问题.
（1）设销量增长率为x，依据”初始量×（1+增长率）n=最终量“列方程，计算求解即可；
（2）根据利润公式求出W与x的关系式，然后化为顶点式求最大利润及对应售价．
（1）解：由题意，设销量增长率为x，根据题意得：
，
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为．
（2）解：由题意，每周销售脐橙获利W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，取最大值2025，
答：当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元．
22．（2025九上·安岳期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，)
（1）求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)；
（2）若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间)
【答案】（1）解：过点作交的延长线于点，则，
由题意可知，，，，
，是等腰直角三角形，
，
．
答：菜鸟驿站与超市的距离约为
（2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，，
，
，
．
，
小南上美术网课会迟到
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用(三角函数）以及勾股定理.
（1）过点作南北、东西方向的垂线，构造两个直角三角形，分别用三角函数求出CB和BA的长度；
（2）分别用三角函数求出CB和BA的长度，计算总路程后除以速度得所需时间，与7分子比较．
（1）解：过点作交的延长线于点，则，
由题意可知，，，，
，是等腰直角三角形，
，
．
答：菜鸟驿站与超市的距离约为．
（2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，，
，
，
．
，
小南上美术网课会迟到．
23．（2025九上·安岳期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“______倍根方程”；
（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
（4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：∵关于的方程是“倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
∴，
（4）1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”，
故答案为：四；
（4）∵（均为正数），
∴，
∴，
∴的最小值是1，
故答案为：1．
【分析】（1）先利用”因式分解法“解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义得到答案；
（2）根据三倍根方程的定义设，是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并解之即可；
（3）根据倍根方程的定义设与是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并消去即可；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案.
（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
24．（2025九上·安岳期末）在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为．
【尝试】
（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值．
【答案】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，且，
∴与始终保持相似关系；
（2）存在，此时，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，，
由（1）可得，与始终保持相似关系，即，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴存在点，使得，此时；
（3）∵，若，
∴，
∵四边形是矩形，折叠，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质可得 ，由同角的余角相等得 ，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ABF∽△DFE；
（2）根据矩形的性质可得，，由相似三角形对应边成比例得，则；根据题意求出，，由折叠的性质可得，在中由勾股定理算出DF、则可求出AF，再根据即可求解；
（3）根据题意可得，由矩形的性质，折叠的性质，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似 可得，根据相似三角形对应边成比例得，设，则，，在中由勾股定理建立方程解得，可得，由此即可求解．
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