资源简介

湖南省长沙市湖南师大附中部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·长沙期中）若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则低于海平面的盆地，在等高线上标注为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·长沙期中）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·长沙期中）今年春节上映的电影《哪吒2》票房持续上涨，截至2025年3月25日，电影《哪吒2》全球票房已达15300000000元，暂列全球票房榜第5．数据“15300000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·长沙期中）长沙市某校的学生在“学雷锋”活动中积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．如表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计：
参与次数 5 4 3 2 1
参与人数 2 3 2 2 1
则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（　　）
A．2，2 B．2，3 C．4，3 D．4，3.5
6．（2025九下·长沙期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·长沙期中）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·长沙期中）如图，是⊙的直径，弦⊥于点，，则(　　)
A． B． C． D．
9．（2025九下·长沙期中）下列说法正确的是（　　）
A．方程有实数根
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．多边形的外角和等于
D．若两名同学五次测试的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定
10．（2025九下·长沙期中）小云在研究一些数式时，发现如下规律：，若（n为正整数），则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·长沙期中）如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1＝75°，则∠2的大小是　 　．
12．（2025九下·长沙期中）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　只A种候鸟．
13．（2025九下·长沙期中）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝　 　.
14．（2025九下·长沙期中）如图，平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为　 　．
15．（2025九下·长沙期中）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画圆弧交边于点E，则的长度为　 　．
16．（2025九下·长沙期中）小青和小云研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论：
小青：这个月有5个星期日；
小云：这个月所有星期五的日期之和不为70；
请根据小青和小云两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期三是　 　号．（填日期）
三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分）
17．（2025九下·长沙期中）计算：．
18．（2025九下·长沙期中）先化简，再求值：，其中．
19．（2025九下·长沙期中）如图，将一长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角；
（1）求的长；
（2）若向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．此时入射光线为在水里发生折射现象，即为折射光线，（直线为法线），测得折射角．求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）
20．（2025九下·长沙期中）某校为了更好地利用15分钟的“大课间”加强体育锻炼，计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子，为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次问卷调查的学生共有_______人；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为_______度；
（3）学校体育老师为了制订训练计划，将从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（2025九下·长沙期中）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2025九下·长沙期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？
23．（2025九下·长沙期中）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点作，，和交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点F，若，，求的长度及的面积．
24．（2025九下·长沙期中）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与都相切于同一点？若存在，求出为的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）将直线向上平移n个单位长度后，与（2）中所求的抛物线为交于两点，求出实数n，使得．
25．（2025九下·长沙期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．类比黄金矩形，我们定义：如果一个直角三角形的两直角边分别为，斜边为c，则我们把的直角三角形叫做“黄金三角形”，把的直角三角形叫做“近黄金三角形”，如图①，为的内接三角形，为的直径，为“近黄金三角形”，且．
（1）求的直径的长度．
（2）点为的上的动点，连接分别交线段于点．
①如图②，当点运动到的中点时，判断为上述定义中的哪种三角形，并求长度．
②的面积记为的面积记为，点在上运动的过程中，能否为“近黄金三角形”或“黄金三角形”，若能，求出，若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果高于海平面的山峰，在等高线上标注为，那么低于海平面应该在等高线上标注为．
故选：D．
【分析】
正负数的应用，根据高于海平面为，可知低于海平面为．
2．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【分析】
把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“15300000000”用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
常用科学记数法将一个绝对值较大的数表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；积的乘方运算；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、合并同类二次根式类似于合并同类项，不是同类二次根式则不能合并；
B、；
C、积的乘方，给积的各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据4出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为4，
第5、6个数据分别为4，3，
所以这组数据的中位数为，
故选：D．
【分析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得x<3，
由②得x≤4，
不等式组的解集为x<3．
在数轴上的正确表示为：
故选：A．
【分析】
先求出不等式组的解集并在同一数轴上表示出来，表示时一是注意空心圆圈与实心圆圈的区别，二是注意不等号方向的选择．
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，
根据题意，得：。
故答案为：B。
【分析】设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，根据相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下，即可得出方程：。
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，cm，
∴cm．∠OEC=90°，
在中，cm，由勾股定理可得，，
∴AE=OA+OE=8cm，
故答案为：A．
【分析】由垂径定理易得=4cm，再根据勾股定理求得OE=3cm，由AE=OA+OE即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；事件的分类；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A、因为，则方程没有实数根，故此选项不符合题意；
B、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意；
C、多边形的外角和等于，故此选项符合题意；
D、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、对于一元二次方程有根的判别式，当时该方程没有实数根；
B、事件的分类，在一定条件下必然会发生的事件叫必然事件，也属于确定事件；
C、任意多边形的外角和都是；
D、方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小数据越稳定．
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，即：，
解得：（负值舍去），
故选：C．
【分析】
由于从1开始的n个连续自然数的和等于，则由题意可得关于n的一元二次方程并求其正数解即可．
11．【答案】105°
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BC，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为105°．
【分析】
先利用两直线平行同位角相等求出，再利用两直线平行同旁内角互补即可得．
12．【答案】800
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，根据题意得
解之：x=800.
故答案为：800.
【分析】设该湿地约有x只A种候鸟，根据题意可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
13．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】由题意可知MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=70°，
∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB=70°，∴∠C=180°-∠CBD-∠CDB=40°，
故答案为40°.
【分析】先由基本尺规作图得MN垂直平分AB，再由线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由等边对等角可得，最后再利用三角形的内角和定理即可.
14．【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：，点的坐标为，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
∴轴，
∴轴，
点的坐标为，
点恰好落在双曲线上，
故答案为：．
【分析】
先由点的坐标可得，再由旋转的性质可得，再结合线段与坐标轴的位置关系可点的坐标，再利用待定系数法求出k即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
由作图知，
∵，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴的长度为：=，
故答案为：．
【分析】
先由矩形的性质及旋转的性质可解直角三角形ADE，则，再由平行线的性质可得的圆心角度数，再利用弧长公式计算即可．
16．【答案】18
【知识点】推理与论证；探究生活中简单的数学规律
【解析】【解答】解：由小青的条件可知，6月有30天，若要包含5个星期日，第一个星期日必须在1日或2日，
当6月1日是星期六时，则2日为星期日，后续星期日为9日、16日、23日、30日（共5个），
结合小云的条件，可知星期五的日期为7日、14日、21日、28日，和为，与条件矛盾，不符合题意；
当6月1日是星期日时，后续星期日为8日、15日、22日、29日（共5个），
结合小云的条件，则星期五的日期为6日、13日、20日、27日，和为，符合条件，符合题意；
当6月1日是星期日时，星期三的日期分别为4号、11号、18号、25号，第三个星期三是18号，
故答案为：18．
【分析】
由于6月共有30天，每周共有7天，若要包含5个周日，则第一个周日不超过2号，再分两种情况，即第一个周日为1号，或为2号，再分别求出每个周五的日期，再结合小云的结论可确定6月1日是星期日，进而确定每星期三的号数．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，可分别化简二次根式和绝对值代数式，同时求负整数指数幂、零指数幂及特殊三角函数值，再进行加减运算即可．
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
整式的化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后将代入化简后的式子进行计算即可．
19．【答案】（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）解直角三角形ABC即可；
（2）先由矩形的判定与性质可得ON＝EC，再分别解和分别求得BN和DN，再利用线段的和差关系即可．
（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）300，
补全条形统计图如下：
（2）126
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次问卷调查的学生共有人，
跳绳的人数为：人，
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）
在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：126；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用踢毽子的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用总人数减去篮球、乒乓球、跑步、踢毽子的学生人数，可得跳绳的人数，即可补全条形统计图；；
（2）用乘以乒乓球人数所占的百分比即可，
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，列表注意对角线栏目是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
（1）解：本次问卷调查的学生共有人，
跳绳的人数为：人，
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：126；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21．【答案】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知AD垂直平分BC，则AC＝AC、DB＝DC，再利用证明即可；
（2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
22．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据相等关系“A型机器人每台每天可分拣快递22万件、B型机器人每台每天可分拣快递18万件 ”列出方程组并求解即可；
（2）设购进A型a台，根据不等关系“ 需要每天分拣快递不少于200万件 ”列不等式并求出最小整数解即可．
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵四边形是矩形
∴，，，
设，
∵，
∴，则，
在中，，即，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的概念可判定四边形ODCE是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直即可；
（2）先由矩形的性质和菱形的性质可得DE等于OC等于AC的一半，再解直角三角形可得AC等于CE的6倍，即DE是CE的3倍，再利用勾股定理可得CE的长，即DE长可求，再利用三角形相似的预备定理可得，由相似比可得CF与DF的比，即与的面积比可得，再利用三角形面积公式求出的面积即可．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵四边形是矩形
∴，，，
设，
∵，
∴，则，
在中，，即，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则．
24．【答案】（1）解：解：由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点，即：只有一个解，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
（2）答：存在，理由如下：
∵与相切，
由题意可得，，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为：，将直线向上平移n个单位长度后，表达式为：
∵与交于两点，设，
∴，整理得：，
∴，，
则
过点，分别作，垂直于轴，垂足为，，则，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，即，
亦即：，整理得：，
∴或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）联立直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程并求解即可；
（2）同上先求出直线与的切点坐标，再利用抛物线上点的坐标特征可得关于a、b、c的三元一次方程组，再用含a的代数式表示出b和c，则抛物线解析式为：，再联立直线与得到关于的一元二次方程，再根据新定义结合根的判别式得关于的一元二次方程并求解即可；
（3）设，，再分别过点M、N作x轴的垂线段MP、NQ，则联立平移后直线和抛物线解析式，由一元二次方程根与系数的关系可得，，由直线上点的坐标特征可得，再由一线三垂直相似模型可证得，由相似比可知，进而可得，即可得关于n的一元二次方程并求解即可．
（1）解：解：由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点，即：只有一个解，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
（2）存在，理由：
∵与相切，
由题意可得，，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）由（2）知，抛物线的表达式为：，
将直线向上平移n个单位长度后，表达式为：
∵与交于两点，设，
∴，整理得：，
∴，，
则
过点，分别作，垂直于轴，垂足为，，则，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，即，
亦即：，整理得：，
∴或．
25．【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵为“近黄金三角形”，，
∴，，
∴，
∵
∴，；
（2）解：①如图所示：
由（1）可得，，
、
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴是“黄金三角形”；
∵AB是的直径
∴
∴
∴
∴
②点在上运动的过程中，能为“近黄金三角形”或“黄金三角形”，
由（1）可得，，
是“近黄金三角形”
（1）如图所示，当为“近黄金三角形”时，连接OC，再过点C作AB的垂线段CG.
是“近黄金三角形”
设，则
（2）如图所示，当为“黄金三角形”且 时.
由（1）知，当点D平分时，
（3）如图所示，当为“黄金三角形”且 时.
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
综上所述，当为“近黄金三角形”时，；当 为“黄金三角形”，或．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）先由圆周角定理的推论可得是直角三角形，再由勾股定理和新定义可分别得AB与BC的二元一次方程组并求解即可；
（2）①由垂径定理结合三角形中位线定理可得OF的长，即DF长可得，再解直角三角形可得，再由圆周角定理可得，即可判定是“黄金三角形”；再由垂径定理、圆周角定理的推论结合同角的余角相等可得，即可判定也是“黄金三角形”，则利用DF的长可得EF的长；
②由（1）知，，即；则当为“近黄金三角形”时有，即平分，连接，过点作于点，可得“近黄金三角形”ACG，则利用勾股定理可求得CG、AG的长，再解直角三角形COG可得的正切值，又由圆周角定理可得，再解直角三角形可得AD、BD、DE的长，即BE可得，再利用同高共底三角形的面积比等于底边比可得；
当为“黄金三角形”且 时，由（1）知此时点D恰好为弧AC的中点，则利用垂径定理结合AC、BC的长可得AF＝CB，再利用圆周角定理可证明，即有AD＝BE，则；
当为“黄金三角形”且 时，由同角的余角相等可得也是黄金三角形，即可得CE、AE的长，再利用勾股定理求出BE，再利用等角正弦值相等可得DE的长，即．
（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵为“近黄金三角形”，，
∴，，
∴，
∵
∴，；
（2）解：①如图所示，连接
由（1）可得，，
当点运动到的中点时，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是“黄金三角形”；
∵
∴
∴
∴
∵
∴
②点在上运动的过程中，能为“近黄金三角形”或“黄金三角形”，
由（1）可得，，
∵为“近黄金三角形”，且
当为“近黄金三角形”时
∴，
∴
∴是的角平分线，
设，则
如图，连接，过点作于点，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
设的面积记为的面积记为，到的距离为，则
∴
当为“黄金三角形”时，当时，
如图，当时，
由①可得，，，
∵
∴是“黄金三角形”
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如图所示，当时，是“黄金三角形”
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
综上所述，当为“近黄金三角形”时，；当 为“黄金三角形”，或．
1 / 1湖南省长沙市湖南师大附中部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·长沙期中）若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则低于海平面的盆地，在等高线上标注为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果高于海平面的山峰，在等高线上标注为，那么低于海平面应该在等高线上标注为．
故选：D．
【分析】
正负数的应用，根据高于海平面为，可知低于海平面为．
2．（2025九下·长沙期中）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【分析】
把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．
3．（2025九下·长沙期中）今年春节上映的电影《哪吒2》票房持续上涨，截至2025年3月25日，电影《哪吒2》全球票房已达15300000000元，暂列全球票房榜第5．数据“15300000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“15300000000”用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
常用科学记数法将一个绝对值较大的数表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．（2025九下·长沙期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；积的乘方运算；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、合并同类二次根式类似于合并同类项，不是同类二次根式则不能合并；
B、；
C、积的乘方，给积的各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
5．（2025九下·长沙期中）长沙市某校的学生在“学雷锋”活动中积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．如表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计：
参与次数 5 4 3 2 1
参与人数 2 3 2 2 1
则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（　　）
A．2，2 B．2，3 C．4，3 D．4，3.5
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据4出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为4，
第5、6个数据分别为4，3，
所以这组数据的中位数为，
故选：D．
【分析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（2025九下·长沙期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得x<3，
由②得x≤4，
不等式组的解集为x<3．
在数轴上的正确表示为：
故选：A．
【分析】
先求出不等式组的解集并在同一数轴上表示出来，表示时一是注意空心圆圈与实心圆圈的区别，二是注意不等号方向的选择．
7．（2025九下·长沙期中）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，
根据题意，得：。
故答案为：B。
【分析】设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，根据相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下，即可得出方程：。
8．（2025九下·长沙期中）如图，是⊙的直径，弦⊥于点，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，cm，
∴cm．∠OEC=90°，
在中，cm，由勾股定理可得，，
∴AE=OA+OE=8cm，
故答案为：A．
【分析】由垂径定理易得=4cm，再根据勾股定理求得OE=3cm，由AE=OA+OE即可得出答案．
9．（2025九下·长沙期中）下列说法正确的是（　　）
A．方程有实数根
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．多边形的外角和等于
D．若两名同学五次测试的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角；事件的分类；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：A、因为，则方程没有实数根，故此选项不符合题意；
B、“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意；
C、多边形的外角和等于，故此选项符合题意；
D、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、对于一元二次方程有根的判别式，当时该方程没有实数根；
B、事件的分类，在一定条件下必然会发生的事件叫必然事件，也属于确定事件；
C、任意多边形的外角和都是；
D、方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小数据越稳定．
10．（2025九下·长沙期中）小云在研究一些数式时，发现如下规律：，若（n为正整数），则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，即：，
解得：（负值舍去），
故选：C．
【分析】
由于从1开始的n个连续自然数的和等于，则由题意可得关于n的一元二次方程并求其正数解即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·长沙期中）如图，一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1＝75°，则∠2的大小是　 　．
【答案】105°
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BC，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为105°．
【分析】
先利用两直线平行同位角相等求出，再利用两直线平行同旁内角互补即可得．
12．（2025九下·长沙期中）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　只A种候鸟．
【答案】800
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，根据题意得
解之：x=800.
故答案为：800.
【分析】设该湿地约有x只A种候鸟，根据题意可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
13．（2025九下·长沙期中）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝　 　.
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】由题意可知MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=70°，
∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB=70°，∴∠C=180°-∠CBD-∠CDB=40°，
故答案为40°.
【分析】先由基本尺规作图得MN垂直平分AB，再由线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由等边对等角可得，最后再利用三角形的内角和定理即可.
14．（2025九下·长沙期中）如图，平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为　 　．
【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：，点的坐标为，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
∴轴，
∴轴，
点的坐标为，
点恰好落在双曲线上，
故答案为：．
【分析】
先由点的坐标可得，再由旋转的性质可得，再结合线段与坐标轴的位置关系可点的坐标，再利用待定系数法求出k即可．
15．（2025九下·长沙期中）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画圆弧交边于点E，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
由作图知，
∵，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴的长度为：=，
故答案为：．
【分析】
先由矩形的性质及旋转的性质可解直角三角形ADE，则，再由平行线的性质可得的圆心角度数，再利用弧长公式计算即可．
16．（2025九下·长沙期中）小青和小云研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论：
小青：这个月有5个星期日；
小云：这个月所有星期五的日期之和不为70；
请根据小青和小云两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期三是　 　号．（填日期）
【答案】18
【知识点】推理与论证；探究生活中简单的数学规律
【解析】【解答】解：由小青的条件可知，6月有30天，若要包含5个星期日，第一个星期日必须在1日或2日，
当6月1日是星期六时，则2日为星期日，后续星期日为9日、16日、23日、30日（共5个），
结合小云的条件，可知星期五的日期为7日、14日、21日、28日，和为，与条件矛盾，不符合题意；
当6月1日是星期日时，后续星期日为8日、15日、22日、29日（共5个），
结合小云的条件，则星期五的日期为6日、13日、20日、27日，和为，符合条件，符合题意；
当6月1日是星期日时，星期三的日期分别为4号、11号、18号、25号，第三个星期三是18号，
故答案为：18．
【分析】
由于6月共有30天，每周共有7天，若要包含5个周日，则第一个周日不超过2号，再分两种情况，即第一个周日为1号，或为2号，再分别求出每个周五的日期，再结合小云的结论可确定6月1日是星期日，进而确定每星期三的号数．
三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分）
17．（2025九下·长沙期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，可分别化简二次根式和绝对值代数式，同时求负整数指数幂、零指数幂及特殊三角函数值，再进行加减运算即可．
18．（2025九下·长沙期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
整式的化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后将代入化简后的式子进行计算即可．
19．（2025九下·长沙期中）如图，将一长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角；
（1）求的长；
（2）若向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．此时入射光线为在水里发生折射现象，即为折射光线，（直线为法线），测得折射角．求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）解直角三角形ABC即可；
（2）先由矩形的判定与性质可得ON＝EC，再分别解和分别求得BN和DN，再利用线段的和差关系即可．
（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．（2025九下·长沙期中）某校为了更好地利用15分钟的“大课间”加强体育锻炼，计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子，为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次问卷调查的学生共有_______人；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为_______度；
（3）学校体育老师为了制订训练计划，将从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）300，
补全条形统计图如下：
（2）126
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次问卷调查的学生共有人，
跳绳的人数为：人，
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）
在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：126；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用踢毽子的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用总人数减去篮球、乒乓球、跑步、踢毽子的学生人数，可得跳绳的人数，即可补全条形统计图；；
（2）用乘以乒乓球人数所占的百分比即可，
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，列表注意对角线栏目是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
（1）解：本次问卷调查的学生共有人，
跳绳的人数为：人，
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：126；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21．（2025九下·长沙期中）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知AD垂直平分BC，则AC＝AC、DB＝DC，再利用证明即可；
（2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
22．（2025九下·长沙期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据相等关系“A型机器人每台每天可分拣快递22万件、B型机器人每台每天可分拣快递18万件 ”列出方程组并求解即可；
（2）设购进A型a台，根据不等关系“ 需要每天分拣快递不少于200万件 ”列不等式并求出最小整数解即可．
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型a台，B型台，
由题意得，，
解得，，
故满足要求的最小整数解为：．
答：至少购进5台A型智能机器人．
23．（2025九下·长沙期中）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点作，，和交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点F，若，，求的长度及的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵四边形是矩形
∴，，，
设，
∵，
∴，则，
在中，，即，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的概念可判定四边形ODCE是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直即可；
（2）先由矩形的性质和菱形的性质可得DE等于OC等于AC的一半，再解直角三角形可得AC等于CE的6倍，即DE是CE的3倍，再利用勾股定理可得CE的长，即DE长可求，再利用三角形相似的预备定理可得，由相似比可得CF与DF的比，即与的面积比可得，再利用三角形面积公式求出的面积即可．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形为菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵四边形是矩形
∴，，，
设，
∵，
∴，则，
在中，，即，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则．
24．（2025九下·长沙期中）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与都相切于同一点？若存在，求出为的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）将直线向上平移n个单位长度后，与（2）中所求的抛物线为交于两点，求出实数n，使得．
【答案】（1）解：解：由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点，即：只有一个解，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
（2）答：存在，理由如下：
∵与相切，
由题意可得，，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为：，将直线向上平移n个单位长度后，表达式为：
∵与交于两点，设，
∴，整理得：，
∴，，
则
过点，分别作，垂直于轴，垂足为，，则，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，即，
亦即：，整理得：，
∴或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）联立直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程并求解即可；
（2）同上先求出直线与的切点坐标，再利用抛物线上点的坐标特征可得关于a、b、c的三元一次方程组，再用含a的代数式表示出b和c，则抛物线解析式为：，再联立直线与得到关于的一元二次方程，再根据新定义结合根的判别式得关于的一元二次方程并求解即可；
（3）设，，再分别过点M、N作x轴的垂线段MP、NQ，则联立平移后直线和抛物线解析式，由一元二次方程根与系数的关系可得，，由直线上点的坐标特征可得，再由一线三垂直相似模型可证得，由相似比可知，进而可得，即可得关于n的一元二次方程并求解即可．
（1）解：解：由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点，即：只有一个解，
整理得：，
解得：，
当时，，
则切点坐标为：．
（2）存在，理由：
∵与相切，
由题意可得，，
整理得：
解得：，
当时，，
则切点为：；
∵直线与，都相切于同一点，
即与的切点在图象上，
将、代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵与相切，
联立，得，
整理得：，
则该一元二次方程有唯一解，即，
整理得：
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（3）由（2）知，抛物线的表达式为：，
将直线向上平移n个单位长度后，表达式为：
∵与交于两点，设，
∴，整理得：，
∴，，
则
过点，分别作，垂直于轴，垂足为，，则，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，即，
亦即：，整理得：，
∴或．
25．（2025九下·长沙期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．类比黄金矩形，我们定义：如果一个直角三角形的两直角边分别为，斜边为c，则我们把的直角三角形叫做“黄金三角形”，把的直角三角形叫做“近黄金三角形”，如图①，为的内接三角形，为的直径，为“近黄金三角形”，且．
（1）求的直径的长度．
（2）点为的上的动点，连接分别交线段于点．
①如图②，当点运动到的中点时，判断为上述定义中的哪种三角形，并求长度．
②的面积记为的面积记为，点在上运动的过程中，能否为“近黄金三角形”或“黄金三角形”，若能，求出，若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵为“近黄金三角形”，，
∴，，
∴，
∵
∴，；
（2）解：①如图所示：
由（1）可得，，
、
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴是“黄金三角形”；
∵AB是的直径
∴
∴
∴
∴
②点在上运动的过程中，能为“近黄金三角形”或“黄金三角形”，
由（1）可得，，
是“近黄金三角形”
（1）如图所示，当为“近黄金三角形”时，连接OC，再过点C作AB的垂线段CG.
是“近黄金三角形”
设，则
（2）如图所示，当为“黄金三角形”且 时.
由（1）知，当点D平分时，
（3）如图所示，当为“黄金三角形”且 时.
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
综上所述，当为“近黄金三角形”时，；当 为“黄金三角形”，或．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）先由圆周角定理的推论可得是直角三角形，再由勾股定理和新定义可分别得AB与BC的二元一次方程组并求解即可；
（2）①由垂径定理结合三角形中位线定理可得OF的长，即DF长可得，再解直角三角形可得，再由圆周角定理可得，即可判定是“黄金三角形”；再由垂径定理、圆周角定理的推论结合同角的余角相等可得，即可判定也是“黄金三角形”，则利用DF的长可得EF的长；
②由（1）知，，即；则当为“近黄金三角形”时有，即平分，连接，过点作于点，可得“近黄金三角形”ACG，则利用勾股定理可求得CG、AG的长，再解直角三角形COG可得的正切值，又由圆周角定理可得，再解直角三角形可得AD、BD、DE的长，即BE可得，再利用同高共底三角形的面积比等于底边比可得；
当为“黄金三角形”且 时，由（1）知此时点D恰好为弧AC的中点，则利用垂径定理结合AC、BC的长可得AF＝CB，再利用圆周角定理可证明，即有AD＝BE，则；
当为“黄金三角形”且 时，由同角的余角相等可得也是黄金三角形，即可得CE、AE的长，再利用勾股定理求出BE，再利用等角正弦值相等可得DE的长，即．
（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵为“近黄金三角形”，，
∴，，
∴，
∵
∴，；
（2）解：①如图所示，连接
由（1）可得，，
当点运动到的中点时，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是“黄金三角形”；
∵
∴
∴
∴
∵
∴
②点在上运动的过程中，能为“近黄金三角形”或“黄金三角形”，
由（1）可得，，
∵为“近黄金三角形”，且
当为“近黄金三角形”时
∴，
∴
∴是的角平分线，
设，则
如图，连接，过点作于点，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
设的面积记为的面积记为，到的距离为，则
∴
当为“黄金三角形”时，当时，
如图，当时，
由①可得，，，
∵
∴是“黄金三角形”
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如图所示，当时，是“黄金三角形”
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
综上所述，当为“近黄金三角形”时，；当 为“黄金三角形”，或．
1 / 1

展开更多......

收起↑