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江苏省南京市2025年中考数学试题
一、选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12 分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．（2025·南京）-2的绝对值是（）
A． B． C．-2 D．2
2．（2025·南京）下列图形中，一定有外接圆的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2025·南京）要使分式 有意义，字母x，y须满足（　　）
A．x≠y B．x≠-y C．x≥y D．x≥-y
4．（2025·南京）10-6的算术平方根是（　　）
A．0.000 1 B．0.001 C．±0.000 1 D．±0.001
5．（2025·南京） 实数-a， a，在数轴上对应点的位置如图所示.下列四个点中，表示1的点可能是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
6．（2025·南京）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y=x+2的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°.其中，能使函数y=2x+4的图像经过一种变换后过点 P(2，2)的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
7．（2025·南京） 已知一组数据8， 10， 12， 9， 11， 这组数据的平均数是　 　
8．（2025·南京）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是　 　(写出一个即可).
9．（2025·南京） 计算( 的结果是　 　.
10．（2025·南京） 已知x=2是方程 的解，则a 的值是　 　.
11．（2025·南京） 设方程 的正根介于整数m与m+1之间， 则m=　 　.
12．（2025·南京）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位： mm)如图，这枚古钱币的半径为　 　 mm.
13．（2025·南京） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， CD是边AB上的高， 则 的值是　 　.
14．（2025·南京）已知反比例函数 则当1≤x≤3时，的最小值是　 　.
15．（2025·南京） 如图， 点 E， F 在矩形 ABCD 内， Rt△ABE≌ Rt△CDF. 若 AB =25， AD =30，AE=15， 则 EF 的长为　 　.
16．（2025·南京）如图，扇形 OAB 的圆心角为260°，若点 P 在该扇形内，则∠APB 的度数的范围是　 　.
三、解答题 (本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025·南京）解不等式组
18．（2025·南京）尺规作图：如图，点P 在直线l外，过点 P 作与直线l平行的直线.
19．（2025·南京）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”(即每买3杯只需付2杯的钱)，B饮料满5杯按8折销售.小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元. A，B两种饮料每杯分别是多少元
20．（2025·南京）已知a21．（2025·南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4.先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球.
（1）取出的3个小球上所写数字没有4 的概率是　 　；
（2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少
22．（2025·南京）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表(单位：m).
　 第 1次测试 第 2 次测试 第 3次测试
甲 × 4.82 5.36 5.56 6.15 x 5.81 x 5.78
乙 4.65 5.76 5.53 5.67 × 5.90 5.30 6.05 5.86
注： ×表示犯规。
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中， 5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图。
（1）补全条形统计图。
（2）你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
23．（2025·南京）如图， O是□ABCD 的对称中心， BC 与⊙O 相切于点 E.
（1）求证：直线 AD 是 ⊙O 的切线。
选择其中一位同学的想法，完成证明。
（2）当 AB 与 ⊙O 相切时， □ABCD 是菱形吗？说明理由。
24．（2025·南京）如图， 在长方形电子屏ABCD中， AB=8m， AD=5m. 一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点 P 从点A 出发沿边AB，BC 以2m/s的速度向点C 运动，随着DP 的移动，画面逐渐展开.
（1）写出展开的画面面积S(单位：m2)关于点 P的运动时间t(单位：s)的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续3. s，求播放结束时展开的画面面积.
25．（2025·南京）如图，码头B位于码头A 的南偏东30°方向，A，B 之间的距离为40km，灯塔P在AB 的中点处.轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行.当甲航行到C 处时，乙航行了相同的距离到达 D 处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.
(参考数据：
26．（2025·南京）（1）将函数 的图像向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　 　.
（2）平移函数. 的图像，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y=kx+2的图像上.设平移后的函数图象的顶点 P 的横坐标为m，与y 轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化.
①若k=2， 当0≤m≤3时， 求n的取值范围.
②设函数y=kx+2的图像与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P 在线段AB上.当k取不同值时，下列关于n 的变化趋势的描述：(a)n随m的增大而增大；(b)n随m 的增大而减小；(c)n随m的增大先增大后减小；(d)n随m的增大先减小后增大.其中，所有可能出现的序号是 (说明：全部填对的得满分，有填错的不得分).
27．（2025·南京）某纸杯的尺寸(单位： cm)如图(1)所示，展开它的侧面得到扇环纸片ABCD(可以看作扇形纸片OAD 剪去扇形纸片OBC 后剩余的部分).
（1）的长为　 　cm， OB =　 　 cm.
（2）记a×b表示两边长分别为a，b(a≤b，单位： cm)的矩形纸片的大小.
①图(2)是可以剪出扇环纸片ABCD 的一张矩形纸片，它的一边与 相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a，b的值.
②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD 吗 说明理由.
③若一张15×b的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路(无需算出最终结果).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值的定义，可直接得出-2的绝对值．
【解答】|-2|=2，
故答案为2．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单．
2．【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：不共线的三点(三角形)确定一个圆，知一定有外接圆的是三角形.
故选：A.
【分析】不共线的三点有且只有一个圆，即可得结果.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：x-y≠0，得x≠y.
故选：A.
【分析】由分母不为零即可得x≠y.
4．【答案】B
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【解答】解：.
故选：B.
【分析】根据将 10-6 化为平方的形式，即可得其算术平方根.
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴上的对应点可知-a故选：C.
【分析】由数轴可知-a6．【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： ① 函数y=2x+4 沿y轴翻折得函数y=-2x+4，令x=2，则y=0，不经过点(2，2)；
②沿函数y=x+2的图像翻折，直线y=2x+4与y轴的交点坐标为(0，4)，点A与点P关于y=x+2，故点P在翻折后的直线上；
③绕原点按顺时针方向旋转45°，OP与y轴成45°角，将OP逆时针旋转45°得(0，2)，不在直线y=2x+4上，故旋转后的直线不过点(2，2)；
④ 绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°，如图，设点P(2，2)绕点A旋转90°后的点为D，过点D、P分别作x轴的垂线，易知△ACD≌△PBA，CD=AB=1，AC=PB=3，得D(-2，0)，在直线y=2x+4上，故旋转后的直线经过点P；
综上所述，②④符合题意.
故选：B.
【分析】根据各类变换，求出变换后的直线表达式或将点P按反方向变换得新的点，再直接判断点是否在直线上，即可得结果.
7．【答案】10
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：.
故填：A.
【分析】直接根据平均数的定义求解即可.
8．【答案】5(答案不唯一)
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得
解得3故填：5.
【分析】设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得，求解不等式可得x的取值范围.
9．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=6-2
=2
故填：2.
【分析】利用分配律分别化简二次根式，即得结果.
10．【答案】-1
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程得，
去分母得-1+2a=a-2，得a=-1，经检验a=-1为方程的解.
故填：-1.
【分析】将x=2代入方程，求解方程可得a的值.
11．【答案】1
【知识点】无理数的估值；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得(x+1)2=10，其根为x1=--1，x2=-1，
，得，故m=1.
故填：1.
【分析】求解方程可得其正根，估算此根的大小，即可得m的值.
12．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接OB，并作OA⊥AB，
AB=5+7=12，OA=5
OB=mm.
故填：13.
【分析】设圆心为O，连接OB，并作OA⊥AB，由勾股定理直接可得半径的长.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD+∠A=90°
∴∠BCD=∠A
∴△ACD~△CBD
∴
设AD=1，则CD=2，BD=4，得AC=
又∵△ACD~△ABC
∴
∴
故填：.
【分析】由垂直产生的互余关系得∠BCD=∠A，有△ACD~△CBD，得CD：BD=1：2，设AD=1，则CD=2，AC=，由△ACD~△ABC可得相似比，即可得面积之比.
14．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，当 1≤x≤3 时，当x=3时，取最小值，.
故填：.
【分析】将代入可得，当x=3时，取最小值，代入即得.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长AE、CF交DF、BE于点G、H，
∵Rt△ABE≌ Rt△CDF
∴∠BAE=∠DCF，BE=DF，AE=CF
∴∠DAG=∠HCB
∵AD=BC
∴△ADG≌△CBH(AAS)
∴AG=CH
∴EG=HF
∴EGFH为矩形
BE=
∵∠BAE+∠DAG=90°，∠ABE+∠ABE=90°
∴∠ABE=∠DAG
∴△ABE~△DAG
∴，即有，得DG=18，AG=24
∴EG=AG-AE=24-15=9，FG=DF-DG=20-18=2
∴EF=
故填：.
【分析】延长AE、CF交DF、BE于点G、H，可得△ADG≌△CBH，结合△ABE~△DAG可得DG、AG的长，由此可得EG、FG的长，即可得EF的长.
16．【答案】50°【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，若点P在圆弧上，则∠APB=∠AOB=50°；
当点P在扇形内部时，则∠APB>50°
故50°故填：50°【分析】分别讨论P在圆弧上时，与点P与A或B重合时的∠APB的度数，由此可得∠APB的范围.
17．【答案】解：
由①得2x>3+1
2x>4
x>2
由②得x-4x<-1-2
-3x<-3
x>1
不等式组的解集为x>2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求解不等式的解集，由此可得不等式组的解集.
18．【答案】解：如下图所示，
【知识点】作图-平行线
【解析】【分析】过点P作直线PA，过点P作与∠1相等的解，即可得平行线.
19．【答案】解：设A饮料x元每杯，B饮料y元每杯，则由题意得
解得
故A饮料每杯12元，B饮料每杯8元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A、B饮料每杯x元、y元，由题意列出关于x、y的方程，求解方程即可得结果.
20．【答案】解：∵a∴a2>b2
∴＜
【知识点】幂的大小比较
【解析】【分析】根据不等式的性质比较即可.
21．【答案】（1）
（2）解：取3个球的的树状图如下所示：
共有6种结果，其中都不相同的结果有124、312、324、314共4种，故各不相同的概率P=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从乙袋中取出2个球的结果有12，14和24共3种结果，不含4的结果有12一种，故取出小球中没有4的概率P=；
【分析】(1)从乙袋中取出的2球有3种结果，不含4的结果有1种，即知概率；
(2)利用树状图知共有6种结果，其中数字各不相同的有4种，相比即知其概率.
22．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：乙同学参加比赛合适.
相较于甲同学，乙同学的犯规数量少，优秀成绩与一般成绩都较多.
【知识点】条形统计图
【解析】【分析】(1)从甲的成绩中可知5.75m以下的成绩有3次，再补全条形统计图即可；
(2)分别比较犯规数量和优秀成绩的数量即可知乙更加适合.
23．【答案】（1）解：过点O作OF⊥AD于点F，连接AC
∵□ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∴∠FAC=∠ECA
∵OF⊥BC
∵⊙O 的切线
∴OF过点E
又∵OA=OC
∴△AOF≌△COE(AAS)
∴OF=OE
∴直线 AD 是 ⊙O 的切线
（2）解：如图，
∵AB与 ⊙O 相切
∴由(1)结论知CD与 ⊙O 相切
∵AD、BC与圆相切
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥BC，OF⊥AD，OG⊥AB，OH⊥CD
∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
∴□ABCD为菱形.
【知识点】菱形的判定；切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)过点O作OF⊥AD于点F，连接AC，由AD||BC知OF⊥AD，再证AOF≌△COE可知OF=OE，即知OF与圆相切；
(2)结合(1)的结论知平行四边形的四边与圆相切，由切线的性质知AC与BD平分对角，即知□ABCD为菱形.
24．【答案】（1）解：设时间为t，则由题意知点P的路径长为2t，
当点P在AB上时，即0当点P在BC上时，即4故.
（2）解：令s=时，得t=2，
t'=2+3=5，令t=5，S=28.
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)分点A在AB和BC上，分别求出画面的面积，即可；
(2)求出矩形ABCD的面积，令S=10，可得时间t=2，令t=5，可得面积.
25．【答案】解：延长AC、DB交于点E，过点B作BF||AE交BC于点F，
∵AB=40，∠A=30°
∴BE=AB=20
∴AE=km
∵P为AB的中点
∴PA=PB
∵BF||AC
∴∠PBF=∠A，∠ACP=∠BFP
∴△ACP≌△BFP(AAS)
∴BF=AC
∵AC=BD
∴BF=BD
∴∠D=45°
∴EC=ED
设AC=x，则BD=BF=x，DE=20+x，CE=20-x
得20+x=20-x，解得x=10-10≈7.3km，
故AC=7.3km.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】延长AC、DB交于点E，过点B作BF||AE交BC于点F，先求出BE和AE的长，由中点与平行可得△ACP≌△BFP，得AC=BF=BD，设AC=x，则可得DE和CE的长，由DE=CE可得x的值.
26．【答案】（1）-2
（2）解：①当k=2，由题意知函数平移后的顶点坐标为(m，2m+2)，函数为，
令x=0，y=n=，
0≤m≤3 时，当m=1时，n取最大值3，当m=3时，n取最小值-1，故-1≤n≤3；
②（a）（b）.
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：(1)向右平移2个单位得函数，
令x=0，y=-2，故平移后函数图象与y轴的交点纵坐标为-2；
(2)② 对一次函数y=kx+2，令x=0，y=2得B(0，2)，令y=0，x=，故A(，0)；
顶点P(m，km+2)，即平移后的函数为，令x=0，y=n=
n为关于m的二次函数，开口向下，且对称轴为直线x=
点P在线段AB上，当k>0时，当k<0时，0故（a）（b）正确.
【分析】(1)求出平移后的二次函数，令x=0即可得y的值，即知与y轴交点的纵坐标；
(2)①求出平移后的二次函数，令x=0可得n关于m的二次函数，，由二次函数的性质和m的范围可得n的范围；
②由①方法求出变换后的二次函数，并求出n=，分类讨论k>0和k<0求出m变化时n的变化情况，即可得正确选项.
27．【答案】（1）9π；18
（2）解：①延长AB、DC交于点O，过点O作OE⊥BC交于点E、F，如下图所示，
OA=9+18=27，，解得∠BOC=60°
∵OB=OC，OE⊥BC
∴∠BOE=30°
∴BE=OB=9
∵GH||OE
∴∠BAH=∠BOE=30°
∴BH=4.5
b=2×(4.5+9)=27
OE=
a=27-9
② 用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由如下：
由题意知∠O=60°，OB=OC=18cm，OA=OD=OE=18+9=27cm，AB=CD=9cm，
∴DE=ODsin60°=，OF=OC=9cm，FC=OCsin60°=9，
∴AF=OA-OF=27-9=18cm
∵18<18.2，23.38<25.7
∴AF用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD.
③设 15×b 的矩形纸片为矩形MNKS，MS=NK=15cm，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P，
则此时b值最小，若求b的范围，则此时MN为b的最小值，延长AB、DC交于点O，连接OP交SK于点H，过点D作DE⊥OP，过点A作AF⊥OP，
由题意知∠AOD=60°，OB=OC=18cm，OP=OA=OD=OE=18+9=27cm，AB=CD=9cm，
∵与边MN相切于点P
∴OP⊥MN
∵DE⊥OP，AF⊥OP，四边形MNKS为矩形
∴四边形PNDE，AFPM，PNKH为矩形
∴PN=DE，MP=AF，PH=NK=15cm
∵b=MN=MP+PN=AF+DE，OH=OP-PH=12cm
∴求出AF、DE的值即可得b的最小值；
∴OA=OD=27cm，解Rt△OAF和Rt△ODE即可求得结论.
【知识点】弧长及其计算；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：(1)由(1)图可知，长为底面圆的周长，即9π，
如下图，△OBE~△OAF，得，即有，解得OB=18；
【分析】(1)由展形弧长与底面圆周长的关系可得弧长，由相似可得OB的长；
(2)①延长AB、DC交于点O，过点O作OE⊥BC交于点E、F，由平行关系可得BH=4.5，由勾股定理得a的值；
②由题意改变扇环的摆放位置，求出FC和DE的长度，与纸片的长宽对比即知可剪出扇环纸片；
③改变摆放位置并根据相切的情形知MN即为最小值，根据特殊角度和线段长，求出AF、DE的长，即可得结论.
1 / 1江苏省南京市2025年中考数学试题
一、选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12 分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．（2025·南京）-2的绝对值是（）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值的定义，可直接得出-2的绝对值．
【解答】|-2|=2，
故答案为2．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单．
2．（2025·南京）下列图形中，一定有外接圆的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：不共线的三点(三角形)确定一个圆，知一定有外接圆的是三角形.
故选：A.
【分析】不共线的三点有且只有一个圆，即可得结果.
3．（2025·南京）要使分式 有意义，字母x，y须满足（　　）
A．x≠y B．x≠-y C．x≥y D．x≥-y
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：x-y≠0，得x≠y.
故选：A.
【分析】由分母不为零即可得x≠y.
4．（2025·南京）10-6的算术平方根是（　　）
A．0.000 1 B．0.001 C．±0.000 1 D．±0.001
【答案】B
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【解答】解：.
故选：B.
【分析】根据将 10-6 化为平方的形式，即可得其算术平方根.
5．（2025·南京） 实数-a， a，在数轴上对应点的位置如图所示.下列四个点中，表示1的点可能是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴上的对应点可知-a故选：C.
【分析】由数轴可知-a6．（2025·南京）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y=x+2的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°.其中，能使函数y=2x+4的图像经过一种变换后过点 P(2，2)的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： ① 函数y=2x+4 沿y轴翻折得函数y=-2x+4，令x=2，则y=0，不经过点(2，2)；
②沿函数y=x+2的图像翻折，直线y=2x+4与y轴的交点坐标为(0，4)，点A与点P关于y=x+2，故点P在翻折后的直线上；
③绕原点按顺时针方向旋转45°，OP与y轴成45°角，将OP逆时针旋转45°得(0，2)，不在直线y=2x+4上，故旋转后的直线不过点(2，2)；
④ 绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°，如图，设点P(2，2)绕点A旋转90°后的点为D，过点D、P分别作x轴的垂线，易知△ACD≌△PBA，CD=AB=1，AC=PB=3，得D(-2，0)，在直线y=2x+4上，故旋转后的直线经过点P；
综上所述，②④符合题意.
故选：B.
【分析】根据各类变换，求出变换后的直线表达式或将点P按反方向变换得新的点，再直接判断点是否在直线上，即可得结果.
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
7．（2025·南京） 已知一组数据8， 10， 12， 9， 11， 这组数据的平均数是　 　
【答案】10
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：.
故填：A.
【分析】直接根据平均数的定义求解即可.
8．（2025·南京）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是　 　(写出一个即可).
【答案】5(答案不唯一)
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得
解得3故填：5.
【分析】设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得，求解不等式可得x的取值范围.
9．（2025·南京） 计算( 的结果是　 　.
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=6-2
=2
故填：2.
【分析】利用分配律分别化简二次根式，即得结果.
10．（2025·南京） 已知x=2是方程 的解，则a 的值是　 　.
【答案】-1
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程得，
去分母得-1+2a=a-2，得a=-1，经检验a=-1为方程的解.
故填：-1.
【分析】将x=2代入方程，求解方程可得a的值.
11．（2025·南京） 设方程 的正根介于整数m与m+1之间， 则m=　 　.
【答案】1
【知识点】无理数的估值；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得(x+1)2=10，其根为x1=--1，x2=-1，
，得，故m=1.
故填：1.
【分析】求解方程可得其正根，估算此根的大小，即可得m的值.
12．（2025·南京）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位： mm)如图，这枚古钱币的半径为　 　 mm.
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接OB，并作OA⊥AB，
AB=5+7=12，OA=5
OB=mm.
故填：13.
【分析】设圆心为O，连接OB，并作OA⊥AB，由勾股定理直接可得半径的长.
13．（2025·南京） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， CD是边AB上的高， 则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD+∠A=90°
∴∠BCD=∠A
∴△ACD~△CBD
∴
设AD=1，则CD=2，BD=4，得AC=
又∵△ACD~△ABC
∴
∴
故填：.
【分析】由垂直产生的互余关系得∠BCD=∠A，有△ACD~△CBD，得CD：BD=1：2，设AD=1，则CD=2，AC=，由△ACD~△ABC可得相似比，即可得面积之比.
14．（2025·南京）已知反比例函数 则当1≤x≤3时，的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，当 1≤x≤3 时，当x=3时，取最小值，.
故填：.
【分析】将代入可得，当x=3时，取最小值，代入即得.
15．（2025·南京） 如图， 点 E， F 在矩形 ABCD 内， Rt△ABE≌ Rt△CDF. 若 AB =25， AD =30，AE=15， 则 EF 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长AE、CF交DF、BE于点G、H，
∵Rt△ABE≌ Rt△CDF
∴∠BAE=∠DCF，BE=DF，AE=CF
∴∠DAG=∠HCB
∵AD=BC
∴△ADG≌△CBH(AAS)
∴AG=CH
∴EG=HF
∴EGFH为矩形
BE=
∵∠BAE+∠DAG=90°，∠ABE+∠ABE=90°
∴∠ABE=∠DAG
∴△ABE~△DAG
∴，即有，得DG=18，AG=24
∴EG=AG-AE=24-15=9，FG=DF-DG=20-18=2
∴EF=
故填：.
【分析】延长AE、CF交DF、BE于点G、H，可得△ADG≌△CBH，结合△ABE~△DAG可得DG、AG的长，由此可得EG、FG的长，即可得EF的长.
16．（2025·南京）如图，扇形 OAB 的圆心角为260°，若点 P 在该扇形内，则∠APB 的度数的范围是　 　.
【答案】50°【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，若点P在圆弧上，则∠APB=∠AOB=50°；
当点P在扇形内部时，则∠APB>50°
故50°故填：50°【分析】分别讨论P在圆弧上时，与点P与A或B重合时的∠APB的度数，由此可得∠APB的范围.
三、解答题 (本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025·南京）解不等式组
【答案】解：
由①得2x>3+1
2x>4
x>2
由②得x-4x<-1-2
-3x<-3
x>1
不等式组的解集为x>2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求解不等式的解集，由此可得不等式组的解集.
18．（2025·南京）尺规作图：如图，点P 在直线l外，过点 P 作与直线l平行的直线.
【答案】解：如下图所示，
【知识点】作图-平行线
【解析】【分析】过点P作直线PA，过点P作与∠1相等的解，即可得平行线.
19．（2025·南京）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”(即每买3杯只需付2杯的钱)，B饮料满5杯按8折销售.小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元. A，B两种饮料每杯分别是多少元
【答案】解：设A饮料x元每杯，B饮料y元每杯，则由题意得
解得
故A饮料每杯12元，B饮料每杯8元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A、B饮料每杯x元、y元，由题意列出关于x、y的方程，求解方程即可得结果.
20．（2025·南京）已知a【答案】解：∵a∴a2>b2
∴＜
【知识点】幂的大小比较
【解析】【分析】根据不等式的性质比较即可.
21．（2025·南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4.先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球.
（1）取出的3个小球上所写数字没有4 的概率是　 　；
（2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少
【答案】（1）
（2）解：取3个球的的树状图如下所示：
共有6种结果，其中都不相同的结果有124、312、324、314共4种，故各不相同的概率P=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从乙袋中取出2个球的结果有12，14和24共3种结果，不含4的结果有12一种，故取出小球中没有4的概率P=；
【分析】(1)从乙袋中取出的2球有3种结果，不含4的结果有1种，即知概率；
(2)利用树状图知共有6种结果，其中数字各不相同的有4种，相比即知其概率.
22．（2025·南京）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表(单位：m).
　 第 1次测试 第 2 次测试 第 3次测试
甲 × 4.82 5.36 5.56 6.15 x 5.81 x 5.78
乙 4.65 5.76 5.53 5.67 × 5.90 5.30 6.05 5.86
注： ×表示犯规。
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中， 5.75m以下为“一般成绩”，5.75m及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图。
（1）补全条形统计图。
（2）你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：乙同学参加比赛合适.
相较于甲同学，乙同学的犯规数量少，优秀成绩与一般成绩都较多.
【知识点】条形统计图
【解析】【分析】(1)从甲的成绩中可知5.75m以下的成绩有3次，再补全条形统计图即可；
(2)分别比较犯规数量和优秀成绩的数量即可知乙更加适合.
23．（2025·南京）如图， O是□ABCD 的对称中心， BC 与⊙O 相切于点 E.
（1）求证：直线 AD 是 ⊙O 的切线。
选择其中一位同学的想法，完成证明。
（2）当 AB 与 ⊙O 相切时， □ABCD 是菱形吗？说明理由。
【答案】（1）解：过点O作OF⊥AD于点F，连接AC
∵□ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∴∠FAC=∠ECA
∵OF⊥BC
∵⊙O 的切线
∴OF过点E
又∵OA=OC
∴△AOF≌△COE(AAS)
∴OF=OE
∴直线 AD 是 ⊙O 的切线
（2）解：如图，
∵AB与 ⊙O 相切
∴由(1)结论知CD与 ⊙O 相切
∵AD、BC与圆相切
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥BC，OF⊥AD，OG⊥AB，OH⊥CD
∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
∴□ABCD为菱形.
【知识点】菱形的判定；切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)过点O作OF⊥AD于点F，连接AC，由AD||BC知OF⊥AD，再证AOF≌△COE可知OF=OE，即知OF与圆相切；
(2)结合(1)的结论知平行四边形的四边与圆相切，由切线的性质知AC与BD平分对角，即知□ABCD为菱形.
24．（2025·南京）如图， 在长方形电子屏ABCD中， AB=8m， AD=5m. 一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点 P 从点A 出发沿边AB，BC 以2m/s的速度向点C 运动，随着DP 的移动，画面逐渐展开.
（1）写出展开的画面面积S(单位：m2)关于点 P的运动时间t(单位：s)的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续3. s，求播放结束时展开的画面面积.
【答案】（1）解：设时间为t，则由题意知点P的路径长为2t，
当点P在AB上时，即0当点P在BC上时，即4故.
（2）解：令s=时，得t=2，
t'=2+3=5，令t=5，S=28.
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)分点A在AB和BC上，分别求出画面的面积，即可；
(2)求出矩形ABCD的面积，令S=10，可得时间t=2，令t=5，可得面积.
25．（2025·南京）如图，码头B位于码头A 的南偏东30°方向，A，B 之间的距离为40km，灯塔P在AB 的中点处.轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行.当甲航行到C 处时，乙航行了相同的距离到达 D 处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.
(参考数据：
【答案】解：延长AC、DB交于点E，过点B作BF||AE交BC于点F，
∵AB=40，∠A=30°
∴BE=AB=20
∴AE=km
∵P为AB的中点
∴PA=PB
∵BF||AC
∴∠PBF=∠A，∠ACP=∠BFP
∴△ACP≌△BFP(AAS)
∴BF=AC
∵AC=BD
∴BF=BD
∴∠D=45°
∴EC=ED
设AC=x，则BD=BF=x，DE=20+x，CE=20-x
得20+x=20-x，解得x=10-10≈7.3km，
故AC=7.3km.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】延长AC、DB交于点E，过点B作BF||AE交BC于点F，先求出BE和AE的长，由中点与平行可得△ACP≌△BFP，得AC=BF=BD，设AC=x，则可得DE和CE的长，由DE=CE可得x的值.
26．（2025·南京）（1）将函数 的图像向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　 　.
（2）平移函数. 的图像，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y=kx+2的图像上.设平移后的函数图象的顶点 P 的横坐标为m，与y 轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化.
①若k=2， 当0≤m≤3时， 求n的取值范围.
②设函数y=kx+2的图像与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P 在线段AB上.当k取不同值时，下列关于n 的变化趋势的描述：(a)n随m的增大而增大；(b)n随m 的增大而减小；(c)n随m的增大先增大后减小；(d)n随m的增大先减小后增大.其中，所有可能出现的序号是 (说明：全部填对的得满分，有填错的不得分).
【答案】（1）-2
（2）解：①当k=2，由题意知函数平移后的顶点坐标为(m，2m+2)，函数为，
令x=0，y=n=，
0≤m≤3 时，当m=1时，n取最大值3，当m=3时，n取最小值-1，故-1≤n≤3；
②（a）（b）.
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：(1)向右平移2个单位得函数，
令x=0，y=-2，故平移后函数图象与y轴的交点纵坐标为-2；
(2)② 对一次函数y=kx+2，令x=0，y=2得B(0，2)，令y=0，x=，故A(，0)；
顶点P(m，km+2)，即平移后的函数为，令x=0，y=n=
n为关于m的二次函数，开口向下，且对称轴为直线x=
点P在线段AB上，当k>0时，当k<0时，0故（a）（b）正确.
【分析】(1)求出平移后的二次函数，令x=0即可得y的值，即知与y轴交点的纵坐标；
(2)①求出平移后的二次函数，令x=0可得n关于m的二次函数，，由二次函数的性质和m的范围可得n的范围；
②由①方法求出变换后的二次函数，并求出n=，分类讨论k>0和k<0求出m变化时n的变化情况，即可得正确选项.
27．（2025·南京）某纸杯的尺寸(单位： cm)如图(1)所示，展开它的侧面得到扇环纸片ABCD(可以看作扇形纸片OAD 剪去扇形纸片OBC 后剩余的部分).
（1）的长为　 　cm， OB =　 　 cm.
（2）记a×b表示两边长分别为a，b(a≤b，单位： cm)的矩形纸片的大小.
①图(2)是可以剪出扇环纸片ABCD 的一张矩形纸片，它的一边与 相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a，b的值.
②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD 吗 说明理由.
③若一张15×b的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路(无需算出最终结果).
【答案】（1）9π；18
（2）解：①延长AB、DC交于点O，过点O作OE⊥BC交于点E、F，如下图所示，
OA=9+18=27，，解得∠BOC=60°
∵OB=OC，OE⊥BC
∴∠BOE=30°
∴BE=OB=9
∵GH||OE
∴∠BAH=∠BOE=30°
∴BH=4.5
b=2×(4.5+9)=27
OE=
a=27-9
② 用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由如下：
由题意知∠O=60°，OB=OC=18cm，OA=OD=OE=18+9=27cm，AB=CD=9cm，
∴DE=ODsin60°=，OF=OC=9cm，FC=OCsin60°=9，
∴AF=OA-OF=27-9=18cm
∵18<18.2，23.38<25.7
∴AF用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD.
③设 15×b 的矩形纸片为矩形MNKS，MS=NK=15cm，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P，
则此时b值最小，若求b的范围，则此时MN为b的最小值，延长AB、DC交于点O，连接OP交SK于点H，过点D作DE⊥OP，过点A作AF⊥OP，
由题意知∠AOD=60°，OB=OC=18cm，OP=OA=OD=OE=18+9=27cm，AB=CD=9cm，
∵与边MN相切于点P
∴OP⊥MN
∵DE⊥OP，AF⊥OP，四边形MNKS为矩形
∴四边形PNDE，AFPM，PNKH为矩形
∴PN=DE，MP=AF，PH=NK=15cm
∵b=MN=MP+PN=AF+DE，OH=OP-PH=12cm
∴求出AF、DE的值即可得b的最小值；
∴OA=OD=27cm，解Rt△OAF和Rt△ODE即可求得结论.
【知识点】弧长及其计算；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：(1)由(1)图可知，长为底面圆的周长，即9π，
如下图，△OBE~△OAF，得，即有，解得OB=18；
【分析】(1)由展形弧长与底面圆周长的关系可得弧长，由相似可得OB的长；
(2)①延长AB、DC交于点O，过点O作OE⊥BC交于点E、F，由平行关系可得BH=4.5，由勾股定理得a的值；
②由题意改变扇环的摆放位置，求出FC和DE的长度，与纸片的长宽对比即知可剪出扇环纸片；
③改变摆放位置并根据相切的情形知MN即为最小值，根据特殊角度和线段长，求出AF、DE的长，即可得结论.
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