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(共24张PPT)
第二章　相交线与平行线
第4课时　探索直线平行的条件(二)—— 内错角、同旁内角
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识别内错角、同旁内角；探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行；能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．(几何直观、推理能力、空间观念)
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内错角、同旁内角的识别
图示 名称 特点 举例 模型
内错角 内错角在被截两直线a，b之间，在截线c的两侧 ∠1与∠3 “Z”型
同旁内角 同旁内角在被截两直线a，b之间，在截线c的同侧 ∠2与∠3 “U”型
例1　如图1，已知直线AB，CD被直线EF所截，则∠1的内错角是__________，同旁内角是__________.
图1
∠3
∠5
训练　1.下列图形中，∠1与∠2是内错角的是(　　)
C
内错角相等(或同旁内角互补)，两直线平行
文字语言 图示 几何语言
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 可简述为：内错角①__________，两直线平行 因为
②__________，所以a∥b
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 可简述为：同旁内角③__________，两直线平行 因为④______________，
所以a∥b
相等
∠1＝∠2
互补
∠1＋∠2＝180°
例2　(RJ七下P35 T2改编)如图2，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，则管道AB与CD之间的位置关系是__________．
图2
平行
训练　2. (BS七下P46 T1改编)
(1)如图3，当∠1＝∠2时，直线________∥________；
(2)如图3，当∠1＋∠3＝180°时，直线________∥________．
图3
a
b
m
n
例3　如图4，直线AB，CD被直线EF所截，∠2＝60°，∠1＝120°. 求证：AB∥CD.
图4
思考：还有其他证明吗？
证明：如答图1，将∠2的对顶角记作∠3.
因为∠2＝60°，所以∠3＝∠2＝60°.
因为∠1＝120°，所以∠1＋∠3＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
(证明不唯一)
答图1
训练　3.如图5，AC平分∠DAB，∠1＝∠2.求证：AB∥CD.
图5
证明：因为AC平分∠DAB，
所以∠1＝∠CAB.
因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠CAB.
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
(1)用尺规过直线外一点作这条直线的平行线的原理：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”．
(2)过直线外一点能且只能作出一条与该直线平行的直线．
用尺规过直线外一点作这条直线的平行线
例4　如图6，点E在直线AB外，请用尺规作直线MN，使直线MN过点E，且MN∥AB.(保留作图痕迹，不写作法)
图6
解：如答图2，直线MN即为所求(作法不唯一).
答图2
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1．如图7，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是(　　)
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
图7
B
2．如图8，下列说法错误的是(　　)
A．∠1与∠2是对顶角
B．∠2与∠5是内错角
C．∠2与∠4是同旁内角
D．∠3与∠4是同位角
图8
D
3．【开放性】如图9，AB和CD相交于点O，E是DB的延长线上一点，要使AC∥DE，需要添加一个条件为_____________________．
(填一个即可)
图9
∠C＝∠D(答案不唯一)
4．如图10，直线AB，CD被第三条直线MN所截，且∠1＝∠2.
(1)由“对顶角相等”，可得
∠3＝∠__________，
∠4＝∠__________；
(2)根据“内错角相等，两直线平行”可知，
因为∠__________＝∠__________，
所以AB∥CD.
图10
1
2
3
4
5．如图11，下列条件中，不能用于判定AB∥DF的是(　　)
A．∠A＝∠3
B．∠A＋∠2＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠1＝∠A
图11
D
6．(RJ七下P14 T1改编)如图12，已知∠D＝∠DCG，∠D＋∠DFE＝180°.求证：EF∥BC. (要求：写出证明过程中每一步的依据)
图12
证明：因为∠D＝∠DCG(已知)，
所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
因为∠D＋∠DFE＝180°(已知)，
所以AD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
所以EF∥BC(平行于同一条直线的两条直线平行)．
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1．如图1，∠B的内错角是(　　)
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
图1
B
2．如图2，下列条件中，能判定AD∥BC的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
图2
C
3．如图3，直线AB，CD被直线EF，GH所截．
(1)如果∠1＝∠4，那么________∥________，
理由是________________________________；
(2)如果∠4＝∠6，那么________∥________，
理由是________________________________；
(3)如果∠2＋∠3＝180°，那么________∥________，
理由是________________________________．
图3
GH
EF
同位角相等，两直线平行
CD
AB
内错角相等，两直线平行
GH
EF
同旁内角互补，两直线平行
4．如图4，已知三角形ABC的顶点C在直线MN上，∠B＝60°，且AC⊥BC. 当∠1＝30°时，求证：直线AB∥MN.
图4
证明：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
又∠1＝30°，所以∠BCN＝60°.
又∠B＝60°，所以∠B＝∠BCN.
所以AB∥MN.(共23张PPT)
第二章　相交线与平行线
第6课时　平行线的判定与性质综合
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图示 平行线的判定与性质
文字语言 几何语言
判定：同位角①________， 　　　两直线平行 判定：因为②________，
　　　所以a∥b
性质：两直线平行， 　　　同位角③________ 性质：因为a∥b，
　　　所以④________
判定：内错角⑤________， 　　　两直线平行 判定：因为⑥________，
　　　所以a∥b
性质：两直线平行， 　　　内错角⑦________ 性质：因为a∥b，
　　　所以⑧________
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
相等
∠1＝∠2
图示 平行线的判定与性质
文字语言 几何语言
判定：同旁内角⑨________， 　　　两直线平行 判定：因为⑩_____________，
　　　所以a∥b
性质：两直线平行， 　　　同旁内角 ________ 性质：因为a∥b，
　　　所以 _____________
互补
∠1＋∠2＝180°
互补
∠1＋∠2＝180°
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例1　(先判定后性质)如图1，已知∠1＝∠2，∠3＝55°，求∠4的度数．
图1
解：因为∠1＝∠2，
所以l1∥l2(同位角相等，两直线平行).
所以∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等).
因为∠3＝55°，所以∠4＝55°.
训练　1.(RJ七下P17 T2改编)如图2，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠DEC＝140°，求∠C的度数．
图2
解：因为∠ADE＝60°，∠B＝60°，
所以∠ADE＝∠B.
所以DE∥BC(同位角相等，两直线平行).
所以∠DEC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠DEC＝140°，
所以∠C＝180°－∠DEC＝180°－140°＝40°.
例2　(先性质后判定)如图3，已知AD∥EF，∠1＝∠2. 求证：DG∥AC.
图3
证明：因为AD∥EF，
所以∠1＝∠DAC(两直线平行，同位角相等).
因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠DAC.
所以DG∥AC(内错角相等，两直线平行).
训练　2. (RJ七下P24 T2改编)如图4，AB∥EF，∠1＝∠B. 求证：DE∥BC.
图4
证明：因为AB∥EF，
所以∠1＝∠ADE(两直线平行，内错角相等).
因为∠1＝∠B，
所以∠ADE＝∠B.
所以DE∥BC(同位角相等，两直线平行).
例3　(性质和判定的综合运用)如图5，∠BDC的平分线DE交AB于点E，∠A＋∠C＝180°，∠1＝72°，求∠2的度数．
图5
解：因为∠A＋∠C＝180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
所以∠BDC＝∠1＝72°(两直线平行，同位角相等)，
∠2＝∠CDE(两直线平行，内错角相等).
因为DE平分∠BDC，
所以∠2＝∠CDE＝36°.
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1．如图6，∠1＝∠B，∠2＝51°，则∠D的度数是(　　)
A．39°
B．49°
C．45°
D．51°
图6
D
2．如图7，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论一定正确的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
图7
D
3．如图8，直线a，b被直线c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝57°，则∠2的度数是(　　)
A．120°
B．123°
C．130°
D．147°
图8
B
4．(BS七下P51 例2改编)如图9，∠A＋∠D＝180°，CD∥EF.若∠CFE＝75°，求∠B的度数．
图9
解：因为∠A＋∠D＝180°，
所以CD∥AB(同旁内角互补，两直线平行).
又CD∥EF，
所以EF∥AB(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠B＝∠CFE＝75°(两直线平行，同位角相等).
5．如图10，点E在直线DF上，点B在直线AC上．若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D ．试说明：∠A＝∠F.
请补充下面的解答过程，并在括号内写上每一步的依据．
解：因为∠AGB＝∠DGF(____________)，∠AGB＝∠EHF(已知)，
所以∠DGF＝∠EHF(等量代换).
所以BD∥_______(_______________________).
所以∠D＝_______(_______________________).
图10
对顶角相等
CE
同位角相等，两直线平行
∠FEC
两直线平行，同位角相等
因为∠D＝∠C(已知)，
所以__________＝∠C(等量代换).
所以DF∥AC(________________________).
所以∠A＝∠F(________________________).
图10
∠FEC
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
6．(BS七下P54 T9改编)如图11，某生态园要修建一条灌溉水渠，水渠从A区沿北偏西55°方向到B区，从B区沿北偏东25°方向到C区，从C区到E区修建时，要想让水渠CE与AB的方向保持一致，则∠BCE的度数应为(　　)
A．55°
B．80°
C．100°
D．120°
图11
C
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1．如图1，∠D＋∠BCD＝180°.若∠1＝42°，则∠2的度数是(　　)
A．42°
B．48°
C．58°
D．132°
图1
A
2．如图2，已知∠D＝∠DCG，AD∥EF，则下列结论中，不正确的是(　　)
A．AD∥BC
B．∠A＋∠D＝180°
C．∠A＝∠BEF
D．∠BCF＋∠EFC＝180°
图2
B
3．如图3，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4的度数是__________．
图3
70°
4．如图4，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD. 求证：BE∥CF.
图4
证明：因为BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
因为AB∥CD，所以∠ABC＝∠BCD.
所以∠3＝∠4.
所以BE∥CF.(共22张PPT)
第二章　相交线与平行线
第5课时　平行线的性质
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掌握平行线的性质定理 Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；探索并证明平行线的性质定理 Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补). (几何直观、推理能力、空间观念)
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平行线 的性质 性质1 性质2 性质3
两直线平行， 同位角①________ 两直线平行， ③__________相等 两直线平行，
同旁内角⑤__________
图示
几何 语言 因为a∥b， 所以②__________ 因为④__________， 所以∠1＝∠2 因为⑥__________，
所以⑦_______________
相等
∠1＝∠2
内错角
a∥b
互补
a∥b
∠1＋∠2＝180°
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例1　如图1，已知直线a∥b，直线a，b被直线c所截．若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
平行线的性质
图1
B
训练　1. 如图2，已知直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2的度数是(　　)
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
图2
C
例2　(RJ七下P20 T10改编)如图3，已知AB∥FE，BC∥DE.
(1)若∠B＝60°，则∠BPF＝__________°，
其依据是____________________________；
(2)若∠E＝110°，则∠CPF＝_________°；
(3)求∠E＋∠B的度数．
图3
120
两直线平行，同旁内角互补
70
解：因为AB∥FE，所以∠B＝∠BPE(两直线平行，内错角相等).
因为BC∥DE，
所以∠BPE＋∠E＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
所以∠E＋∠B＝180°.
训练　2. 如图4，直线AB，AC被直线DE所截，BC∥DE，∠B＝55°，∠C＝40°.
(1)∠1＝________°，其依据是____________________________；
(2)求∠2的度数；
(3)∠A＋∠1＋∠C＝__________°.
图4
55
两直线平行，同位角相等
解：(2)因为BC∥DE，
所以∠CQE＝∠C＝40°(两直线平行，
内错角相等).
所以∠2＝180°－∠CQE＝140°.
180
例3　如图5，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝110°，求∠1的度数．
图5
解：因为AB∥CD，
所以∠2＋∠AED＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠2＝110°，
所以∠AED＝180°－∠2＝180°－110°＝70°.
因为∠1与∠AED是对顶角，
所以∠1＝∠AED＝70°.
训练　3.如图6，直线CE∥AD，BC⊥AC.若∠1＝60°，求∠2的度数．
图6
解：因为CE∥AD，
所以∠ACE＝∠1＝60°(两直线平行，内错角相等).
因为BC⊥AC，
所以∠ACB＝90°.
所以∠2＝∠ACB－∠ACE＝90°－60°＝30°.
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1．(2025德阳)如图7，一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角∠CAB＝135°，则第二次拐角∠ABD＝(　　)
A．45°
B．55°
C．105°
D．135°
图7
D
2．如图8，已知AB∥CD，则下列结论一定正确的是(　　)
A．∠1＝∠4
B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠3
D．∠3＝∠4
图8
B
3．如图9，直线l1，l2被直线l所截，直线l1∥l2. 若∠1＝60°，则∠2的度数为__________．
图9
60°
4．如图10，AC∥ED，AB∥FD，∠A＝80°，求∠EDF的度数．
图10
解：因为AC∥ED，
所以∠A＝∠BED(两直线平行，同位角相等).
因为AB∥FD，
所以∠BED＝∠EDF(两直线平行，内错角相等).
所以∠EDF＝∠A.
因为∠A＝80°，所以∠EDF＝80°.
5．如图11，小明将一块直角三角板摆放在直尺上．若∠1＝55°，则∠2的度数为(　　)
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
图11
B
6．如图12，直线l1∥l2∥l3，三角形ABC的顶点B，C分别在直线l2，l3上．若∠ABC＝60°，∠1＝25°，则∠2＝__________°.
7．如图13，已知AB∥CD，CE是∠ACD的平分线，且交AB于点E.若∠AEC＝23°，则∠A的度数为__________．
图12
图13
35
134°
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1．如图1，直线AB∥CD，若∠2＝60°，则∠1的度数是(　　)
A．60°
B．80°
C．100°
D．120°
图1
D
2．如图2，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(　　)
A．120° B．110° C．80° D．70°
3．如图3，将一块含45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的两边上．如果∠1＝15°，那么∠2＝__________°.
图2
图3
B
60
4．如图4，AB∥CD，∠B＝62°，∠D＝35°.
(1)∠1的度数为__________；
(2)∠A的度数为__________．
图4
62°
145°
5．如图5，AB∥CD，BD∥CE，若∠B＝66°，求∠C的度数．
图5
解：因为AB∥CD，
所以∠B＋∠D＝180°.
因为∠B＝66°，
所以∠D＝180°－66°＝114°.
因为BD∥CE，
所以∠C＝∠D＝114°.(共22张PPT)
第二章　相交线与平行线
第2课时　两条直线的位置关系(二)
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理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．(几何直观、推理能力、空间观念)
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1．两条直线相交成四个角，如果有一个角是①__________，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的
②__________，它们的交点叫作③__________．
2．通常用“⊥”表示两条直线互相垂直．如
右图，直线AB与直线CD垂直，记作④__________，
此时∠AOC＝∠BOC＝⑤__________°.
注：垂直是相交的一种特殊情况．
垂线的定义
直角
垂线
垂足
AB⊥CD
90
例1　如图1，已知OC在∠AOB的内部．
(1) 若OA⊥OB，∠AOC＝30°，则∠BOC＝__________°；
(2)若∠BOC＝55°，∠AOC＝35°，则∠AOB＝__________°，OA与OB之间的位置关系是__________．
图1
60
90
垂直
训练　1. 如图2，已知OA在∠BOC的内部．
(1) 若OA⊥OB，∠AOC＝30°，则∠BOC＝__________°；
(2) 若∠BOC＝115°，∠AOC＝25°，则∠AOB＝_______°，OA与OB之间的位置关系是__________．
图2
120
90
垂直
例2　按下列要求画图．
(1)如图3①，过点P画线段AB的垂线 l；
(2)如图3②，过点P画射线AB的垂线，垂足为Q.
过一点画已知直线的垂线
图3
解：(1)如答图1，直线l即为所求.
答图1
答图2
(2)如答图2，直线PQ即为所求．
训练　2.请你只用直尺，在如图4所示的方格纸上画出已知直线的垂线．
图4
解：画出已知直线的垂线如答图3所示．
答图3
1.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．
2．同一平面内，过一点有且只有________直线与已知直线垂直．
一条
垂线段的性质与点到直线的距离
垂线段 的性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 简称：垂线段最短 如图，在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是⑥__________
点到 直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 如图，分别连接直线l外一点P与直线l上A，B，C，D四点，点P到直线l的距离为垂线段⑦__________的长
PC
PC
例3 如图5，小郭同学的家在点P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他应选择路线__________(填序号)，其理由是________________.
图5
③
垂线段最短
训练　3. 如图6，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则：
点A到BC的距离为________，点B到AC的距离为________．
图6
6 cm
8 cm
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1．下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD，三角板的放法正确的是(　　)
C
2．(2025兰州)如图7是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°. 若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是(　　)
A．26°
B．30°
C．36°
D．54
图7
C
3．(RJ七下P9 T6改编)如图8，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，直线l表示起跳线，经测量，PB＝3.3 m，PC＝3.1 m，PD＝3.5 m，则该同学的跳远成绩是__________m.
4．如图9，直线AB与DE相交于点O，CO⊥AB于点O. 若∠COD＝50°，则∠BOE的度数为__________．
图8
图9
3.1
140°
5．如图10，直线AB与CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠BOD＝70°，则∠BON＝__________°.
图10
55
6．如图11，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB于点O.
(1)若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
图11
证明：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°.
所以∠AOC＋∠1＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠AOC＋∠2＝90°，即∠NOC＝90°.
所以ON⊥CD.
(2)若∠BOC＝4∠1，则∠MOD的度数为__________．
150°
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1．已知点P在直线l上，在同一平面内过点P画直线l的垂线，可以画出(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
2．如图1，在一条新修公路旁有一超市，现要在公路边建一个公交站，有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使超市距离公交站最近，则公交站应建在(　　)
A．点A处 B．点B处
C．点C处 D．点D处
图1
A
C
3．如图2，OA⊥OB，OC，OD在∠AOB的内部，且∠1＝∠2＝∠3，则∠1的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．40°
D．45°
图2
B
4．如图3，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D，则点C到AB的距离是(　　)
A．线段AB的长度
B．线段AC的长度
C．线段CD的长度
D．线段BC的长度
图3
C
5．如图4，BO⊥AO于点O，OB平分∠COD. 若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数是(　　)
A．110°
B．120°
C．125°
D．130°
图4
A(共25张PPT)
第二章　相交线与平行线
章末复习
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有(　　)
A．只有相交 C．相交和垂直
B．平行和垂直 D．相交和平行
2．若∠A＝80°，则∠A的补角是(　　)
A．100° B．80°
C．40° D．10°
D
A
3．如图1，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为(　　)
A．30°
B．50°
C．60°
D．80°
图1
B
4．如图2，∠A＝90°，点B到线段AD的距离是指(　　)
A．线段AB的长
B．线段BC的长
C．线段BD的长
D．线段AD的长
图2
A
5．如图3，下列说法不正确的是(　　)
A．∠1与∠3是内错角
B．∠1与∠4是同位角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠3与∠4是同旁内角
图3
A
6．如图4，∠DCE的顶点在直线AB上，且∠DCE＝90°，若∠1＝42°，则∠2的度数为(　　)
A．42°
B．52°
C．48°
D．58°
图4
C
7．如图5，下列条件中，能判断AD∥BE的是(　　)
A．∠1＝∠3
B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE
D．∠B＋∠BAD＝180°
图5
D
8．如图6，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　　)
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
图6
B
9．图7是过直线外一点用尺规作该直线的平行线的示意图，其原理是______________________________．
图7
图8
10．如图8，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通．若∠1＝120°，则∠2的度数是__________．
内错角相等，两直线平行
60°
11．如图9，测得直线l外一点P到l的距离PB的长为5 cm，A是直线l上一点，则线段PA的长可能是________________cm.
图9
12．一个角的余角是40°，则这个角的补角是__________．
13．如图10，直线l分别与直线a，b相交，且a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为__________．
图10
6(答案不唯一)
130°
109°
14．如图11，已知AB∥CD，∠BAO＝120°，∠DCO＝110°，则∠AOC的度数为__________．
图11
130°
15．如图12，已知∠2＝120°，∠1＝60°.求证：FD∥BC.
图12
证明：因为∠2＝120°，
所以∠AED＝180°－∠2＝180°－120°＝60°.
又∠1＝60°，
所以∠1＝∠AED.
所以FD∥BC.
16．(2025佛山期末)将一副直角三角尺按如图13所示的方式放置，点D在BC边上，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝30°.若BC∥EF，则∠CED的度数为(　　)
A．15°
B．10°
C．5°
D．20°
图13
A
17．(2025绥)如图14，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是(　　)
A．16°
B．30°
C．38°
D．76°
图14
C
18．(2025甘肃)如图15，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图②所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转(　　)
A．30°
B．40°
C．60°
D．80°
A
19．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图16所示，则科技馆位于小亮家的(　　)
A．南偏东60°方向
B．北偏西60°方向
C．南偏东50°方向
D．北偏西50°方向
图16
A
20．如图17，把一张长方形纸片ABCD(其中AD∥BC)沿EF折叠后，点D，C分别落在点M，N的位置上，EM与BC相交于点G.若∠EFC＝125°，则∠1＝__________°.
图17
70
21．如图18，直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°.
(1)图中与∠AOC互补的角有__________________________；
(2)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
图18
∠BOC，∠AOD
解：因为∠COE＝90°，
所以∠DOE＝180°－∠COE＝180°－90°＝90°.
因为∠AOC＝36°，
所以∠BOD＝∠AOC＝36°.
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－36°＝54°.
(3)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
图18
解：因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOC＋∠BOD＝180°，
所以5∠BOD＋∠BOD＝180°.
解得∠BOD＝30°.
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－30°＝60°.
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－60°＝120°.
22．如图19，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.
(1)求证：AB∥CD；
图19
证明：因为AD∥BC，所以∠EAD＝∠B.
又∠B＝∠D，所以∠EAD＝∠D.
所以BE∥CD，即AB∥CD.
(2)若∠E＝47°，CE平分∠BCD，求∠B的度数．
图19
解：由(1)可知，BE∥CD.
所以∠DCE＝∠E＝47°，∠B＋∠BCD＝180°.
因为CE平分∠BCD，
所以∠BCD＝2∠DCE＝2×47°＝94°.
所以∠B＝180°－∠BCD＝180°－94°＝86°.(共23张PPT)
第二章　相交线与平行线
第1课时　两条直线的位置关系(一)
课堂讲练
理解平行线的概念；理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质．(几何直观、推理能力、空间观念)
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1．在同一平面内，两条直线的位置关系有①__________和②__________两种．
2．(1)相交线：只有一个公共点的两条直线．
(2)平行线：在同一平面内，不相交的两条直线．
相交线与平行线
相交
平行
例1　观察下列在同一平面内的两条直线，在横线上写出它们之间的位置关系．
__________　 __________ __________
平行
相交
相交
1．定义：如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角．
2．性质：对顶角③__________．如图，
∠1与∠2是对顶角，则∠1④__________∠2.
对顶角的定义与性质
相等
＝
例2　下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)
B
训练　1. (BS七下P36 T1改编)如图1是一个测量角的工具，则∠1＝________°，利用它测量角的原理是__________________．
图1
30
对顶角相等
补角、余角的定义与性质
定义相关 性质
定义 计算 文字语言 几何语言
补角 如果两个角的和是⑤_________，那么称这两个角互为补角 ∠α的补角＝ ⑦_____________ 同角(或等角)的补角⑨_______ 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，
所以∠2 ________∠3
余角 如果两个角的和是⑥________，那么称这两个角互为余角 ∠α的余角＝ ⑧______________ 同角(或等角)的余角⑩_______ 因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，
所以∠2 _________∠3
180°
90°
180°－∠α
90°－∠α
相等
相等
＝
＝
例3　(1)如图2，OC，OD相交于点O，且点O在直线AB上，已知∠BOD＝90°，下列结论错误的是(　　)
A．∠1＋∠2＝90°
B．∠1与∠2互为余角
C．∠1＋∠BOC＝180°
D．∠1与∠BOD互为补角
(2)若∠α＝34°，∠β＝56°，则∠α与∠β互为__________．
图2
D
余角
训练　2. (1)若∠A＝67°，则∠A的补角为________°，∠A的余角为________°，∠A的补角比余角大________°；
(2)若∠B的余角为45°，则∠B为________°，∠B的补角为________°；
(3)若∠A＝168°，∠B＝12°，则∠A与∠B互为________．
113
23
90
45
135
补角
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1．图3①是一把园林剪刀，把它抽象为如图3②所示的数学图形．若剪刀张开的角∠AOB是40°，则∠COD的度数是(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．140°
图3
B
2．如图4，O是直线AB上一点．若∠BOC＝26°，则∠AOC的度数是(　　)
A．154°
B．144°
C．116°
D．64°
图4
3．已知∠1是∠2的对顶角，且∠1＋∠2＝140°，则∠1＝__________°.
A
70
4．如图5，直线AB与CD相交于点O，已知∠BOD＝35°.
(1)∠AOC＝__________°；
(2)若OA平分∠COE，则∠COE＝__________°；
(3)∠COE与∠DOE互为__________，在(2)的条件下，∠DOE的度数为__________．
图5
35
70
补角
110°
5．如图6，O为直线AB上一点，且∠AOE＝∠BOE＝90°，∠COE＝∠DOE.
(1)∠COE的余角是_____________________，∠AOC的补角是_____________________ ；
(2)∠AOC与∠BOD之间的数量关系为
__________，依据是_________________；
(3)∠BOC与∠AOD之间的数量关系为
__________，依据是____________________________．
图6
点拨 互余和互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关．
∠AOC，∠BOD
∠BOC，∠AOD
相等
等角的余角相等
相等
等角的补角相等(或等量代换)
6．已知∠β的补角是它的余角的3倍，则∠β的度数是__________．
45°
7．如图7，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.
(1)∠AOE的余角是______________________，∠AOE的补角是___________________；
(2)若∠BOC＝50°，求∠AOF的度数；
图7
∠BOF，∠DOF
∠BOE，∠COE
解：因为∠AOD与∠BOC是对顶角，∠BOC＝50°，
所以∠AOD＝∠BOC＝50°.
所以∠AOF＝∠AOE＋∠EOF＝25°＋90°＝115°.
(3)若∠DOE∶∠DOF＝2∶3，求∠AOF的度数．
图7
点拨 当题中给出角的和差关系、倍分关系、比例关系时，可以考虑设未知数，找到等量关系，列方程求解．
解：因为∠DOE∶∠DOF＝2∶3，
所以设∠DOE＝2x，∠DOF＝3x.
因为∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝90°，所以2x＋3x＝90°.
解得x＝18°. 所以∠DOE＝2x＝36°.
因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠DOE＝36°.
所以∠AOF＝∠AOE＋∠EOF＝36°＋90°＝126°.
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1．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别为__________和__________．
2．已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝__________°.
3．若∠1＝43°，则∠1的余角的度数为__________．
相交
平行
35
47°
4．如图1，直线AB，CD相交于点O，下面是推导对顶角相等的过程：因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2. 其推理的依据是(　　)
A．同角的余角相等
B．同角的余角互余
C．同角的补角相等
D．同角的补角互余
图1
C
5．如图2，直线a，b相交．若∠1＝130°，则∠2＋∠3＝(　　)
A．50°
B．100°
C．130°
D．180°
图2
B
6．如图3，已知直线AB，CD相交于点O，∠AOE与∠AOC互余．若∠BOD＝30°，求∠AOE的度数．
图3
解：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD＝30°，
所以∠AOC＝∠BOD＝30°.
因为∠AOE与∠AOC互余，
所以∠AOE＋∠AOC＝90°.
所以∠AOE＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°.(共23张PPT)
第二章　相交线与平行线
第3课时　探索直线平行的条件(一)—— 同位角、平行公理
课堂讲练
识别同位角；掌握平行线基本事实 Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；掌握平行线基本事实 Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；了解平行于同一条直线的两条直线平行．(几何直观、推理能力、空间观念)
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同位角的识别
图示 名称 特点 举例 模型
同位角 同位角在被截直线a，b的同侧，在截线c的同侧 ∠1与∠2 “F”型
例1　如图1，∠B的同位角是(　　)
A． ∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
图1
C
训练　1.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是(　　)
A
同位角相等，两直线平行
文字语言 图示 几何语言
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 可简述为：同位角①__________，两直线平行 因为
②__________，
所以a∥b
相等
∠1＝∠2
例2　(BS七下P43 T2改编)如图2，已知∠1＝∠2. 求证：AB∥CD.
请补全下面的解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：因为∠1与∠3是对顶角，
所以∠1________∠3(对顶角相等).
又∠1＝∠2，所以___________(等量代换)．
所以AB∥CD(________角相等，两直线平行).
图2
＝
∠2＝∠3
同位
训练　2.如图3，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°，∠2＝140°. 求证：a∥b.
图3
证明：因为∠1＋∠3＝180°，
所以∠3＝180°－∠1＝180°－40°＝140°.
因为∠2＝140°，所以∠2＝∠3.
所以a∥b(同位角相等，两直线平行).
例3　如图4，请用直尺和三角板过点E作直线b∥a，过点F作直线c∥a.
平行线的传递性
图4
解：作图如答图1所示．
答图1
思考：1.例3中过点E作直线a的平行线，能画出________条；
2.作答中所画的直线b和直线c________(填“平行”或“不平行”)．
1.过直线外一点有且只有________条直线与这条直线平行．
2.平行于同一条直线的两条直线________．
几何语言：因为b∥a，c∥a，所以________．
平行
1
一
平行
b∥c
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1．如图5，直线a，b被直线c所截，下列各组角中属于同位角的是(　　)
A．∠1和∠3
B．∠2和∠3
C．∠1和∠4
D．∠2和∠4
图5
C
2．如图6，如果∠A＝∠BEF，那么(　　)
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．EF∥BC
D．AD∥EF
图6
D
3．如图7，木条a，c固定，∠1＝70°，将木条b绕着点O旋转，在旋转过程中，当∠2＝____________°时，a∥b，依据是________________________________．
图7
70
同位角相等，两直线平行
4．如图8，已知AB⊥BC，DE⊥EF，∠1＝∠2.
(1)∠ABC与∠DEF__________同位角；(填“是”或“不是”)
(2)请直接写出∠3与∠4之间的数量关系；
图8
不是
解：∠3＝∠4.
(3)试说明BC∥EF.
解：因为∠3＝∠4，
所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
5．(RJ七下P14改编)如图9，已知直线a⊥b，a⊥c. 求证：b∥c. (要求：写出证明过程中每一步的依据)
图9
证明：因为直线a⊥b，a⊥c(已知)，
所以∠1＝∠2＝90°(垂直的定义)．
所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．
6．如图10，两直线a，b被第三条直线c所截．
(1)若∠1＝120°，∠2＝60°，则直线a，b之间的位置关系为__________；
(2)若∠1＋∠2＝180°，则直线a，b之间的位置关系为__________．
图10
a∥b
a∥b
7．如图11，已知直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求证：a∥c.
图11
请补充下面的证明过程，并在括号内填写每一步的依据．
证明：因为∠1＝∠2(已知)，
所以____∥____(________________________).
因为∠3＝∠4(已知)，
所以____∥____(________________________).
所以a∥c(__________________________________).
a
b
同位角相等，两直线平行
b
c
同位角相等，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
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1．如图1，直线EF与直线AB，CD相交，下列角中是∠1的同位角的是(　　)
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
图1
C
2．如图2，∠1＝110°，要使a∥b，则∠2的度数应是(　　)
A．60°
B．80°
C．110°
D．120°
3．如果直线a∥b，直线b∥c，那么直线a和直线c的位置关系是_____________，理由是____________________________________．
图2
C
a∥c(或平行)
平行于同一条直线的两条直线平行
4．如图3，两直线a，b被第三条直线c所截，已知∠1＝40°，∠2＝140°．
(1)∠3的度数是__________；
(2)直线a，b的位置关系是_____________．
图3
40°
a∥b(或平行)
5．如图4，DE平分∠BDC，如果∠1＝35°，∠2＝70°，那么AB与CD平行吗？为什么？
图4
解：AB与CD平行．理由如下：
因为DE平分∠BDC，∠1＝35°，
所以∠BDC＝2∠1＝70°.
又∠2＝70°，所以∠BDC＝∠2.
所以AB与CD平行．

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