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(共26张PPT)
第一章　整式的乘除
第3课时　幂的乘除(三)—— 积的乘方
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了解整数指数幂的意义和基本性质；能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算．(运算能力)
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1．根据乘方的意义和同底数幂的乘法填空：
(1) (2×3)2＝(2×3)×(2×3)＝(2×2)×(3×3)
　　　　 ＝22×__________；
(2) (3×5)m＝
　　　　　　 ＝__________；
(3) (ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)
　　　 ＝__________．
32
3m5m
a3b3
＝__________；即(ab)n＝__________(n是正整数).
积的乘方等于每一个因式乘方的积．
(ab)n＝
anbn
anbn
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例1　填空：(1)(2a)4＝24a4＝__________；
(2)(－3x)3＝__________＝__________；
(3)(5m2)2＝52(m2)2＝__________；
(4)(－x3)4＝____________＝__________；
(5)(a2b3)3＝____________＝__________；
(6)(2x2y)3＝____________＝__________；
(7)(－2×104)2＝__________________＝____________(结果用科学记数法表示).
积的乘方
16a4
(－3)3x3
－27x3
25m4
(－1)4(x3)4
x12
(a2)3(b3)3
a6b9
23(x2)3y3
8x6y3
(－2)2×(104)2
4×108
训练　1.计算：(1)(3n)2＝__________；
(2)(－6x)2＝__________；
(3)(2y5)m＝__________；
(4)(－x2)3＝__________；
(5)－(pq3)4＝__________；
(6)(－2mn)3＝__________；
(7)(3×104)3＝__________(结果用科学记数法表示).
9n2
36x2
2my5m
－x6
－p4q12
－8m3n3
2.7×1013
1. (－xm)n＝(－1)nxmn；
2．积的乘则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如(abc)n＝anbncn.
例2　计算：(1)(－a3)4·a3；
积的乘方的综合运算
解：原式＝(－1)4(a3)4·a3
＝a12·a3
＝a15.
(2)(4x6)2＋(－2x4)3.
解：原式＝42(x6)2＋(－2)3(x4)3
＝16x12－8x12
＝8x12.
(2)(2x2y)4－(－x4y2)2.
解：原式＝24(x2)4y4－(－1)2(x4)2(y2)2
＝16x8y4－x8y4
＝15x8y4.
积的乘方的逆运用
＝(－1)2 026
＝1.
训练　3.计算：2100×0.5101.
由积的乘方，可得其逆运用：anbn＝(ab)n(n是正整数).
解：原式＝2100×0.5100＋1
＝2100×0.5100×0.5
＝(2×0.5)100×0.5
＝1100×0.5
＝1×0.5
＝0.5.
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1．(2025吉林)计算(2a2)3的结果为(　　)
A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6
D
2．计算：
(1)(3b)2＝__________；
(2)(－4x3)2＝__________；
(3)(xmyn)3＝__________；
(5)－(－2a2b)4＝__________；
(6)(－5×105)3＝______________(结果用科学记数法表示).
9b2
16x6
x3my3n
－16a8b4
－1.25×1017
8.64×1011
4．计算：(1)(2mn3)3·2mn3;
解：原式＝(2mn3)4
＝16m4n12.
(2)(7a3)2－[(－2a)2]3.
解：原式＝72(a3)2－(－2a)6
＝49a6－(－2)6a6
＝49a6－64a6
＝－15a6.
5．计算：(－0.125)99×8100＝__________．
6．(1)若am＝4，bm＝3，求(ab)m的值；
(2)若－a2b3＝4，求a6b9的值．
－8
解：(1)(ab)m＝ambm＝4×3＝12.
(2)因为－a2b3＝4，
所以a2b3＝－4.
所以a6b9＝(a2b3)3＝(－4)3＝－64.
7．已知2n＋3×3n＋3＝36n－1，求n的值．
解：因为2n＋3×3n＋3＝(2×3)n＋3＝6n＋3，
36n－1＝(62)n－1＝62n－2，
所以n＋3＝2n－2.
解得n＝5.
点拨　等号左边底数2和3的指数相同，可逆运用积的乘则将其转为积的乘方的形式，再运用幂的乘则将等号右面转换为与等号左边相同的底数的形式，最后列出等式即可求解．
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1．计算(－a3)2的结果是(　　)
A．a5 B．－a5 C．－a6 D．a6
2．计算(xy2)3的结果是(　　)
A．xy5 B．x3y6 C．xy6 D．x3y5
3．计算：(a·a3)2＝a2·(a3)2＝a2·a6＝a8，其中第一步运算的依据是(　　)
A．积的乘则 B．幂的乘则
C．乘法分配律 D．同底数幂的乘法法则
D
B
A
4．计算：
(2)(－3a5)3＝__________；
(3)(5b3)n＝__________；
(4)－(mn)4＝__________．
－27a15
5nb3n
－m4n4
5．计算：
(1)(－2x4y3)4;
(2)(－x)3x5＋(2x4)2；
解：原式＝(－2)4(x4)4(y3)4
＝16x16y12.
解：原式＝－x8＋4x8
＝3x8.
(3)0.1255×(－8)6.
解：原式＝0.1255×(－8)5×(－8)
＝[0.125×(－8)]5×(－8)
＝(－1)5×(－8)
＝(－1)×(－8)
＝8.(共22张PPT)
第一章　整式的乘除
章末复习
1．(2025湖南)计算a3·a4的结果是(　　)
A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12
2．(2025甘肃改编)下列计算正确的是(　　)
A．2a2＋3a2＝6a2 B．(a2)3＝a5
C．(－3a)2＝9a2 D．4a3·ab2＝4a3b2
B
C
3．(－8)－2的值为(　　)
4．(2025茂名模拟)可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过0.000 085 kg，则数0.000 085用科学记数法表示为(　　)
A．8.5×10－5 B．0.85×10－4
C．8.5×105 D．85×10－6
B
A
5．(2025广元)下列运算正确的是(　　)
A．x2÷x－3＝x5 B．2x2＋3x3＝5x5
C．(xy3)2＝x2y5 D．(x－y)2＝x2－y2
6．若a2－2a－1＝0，那么代数式(a＋2)(a－2)－2a的值为(　　)
A．－1 B．－3
C．1 D．3
A
B
7．下面整式中，不能表示图1中(图中图形均为长方形)阴影部分面积的是(　　)
A．(x＋3)(x＋2)－2x
B．x(x＋3)＋6
C．3(x＋2)＋x2
D．x2＋6
图1
D
9．计算：(1)(m－4n)(m＋4n)＝__________；
(3)(6a4－8a3)÷(－2a2)＝__________．
10．(2025清远期末)计算：124×122－1232＝__________．
11．(2025乐山)已知am＝3，an＝2，则am＋2n＝__________．
12．已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝__________．
0
m2－16n2
x2－6xy
－3a2＋4a
－1
12
29
13．计算：(1)(ab2)3÷(－ab)2；
解：原式＝a3b6÷a2b2
＝ab4.
(2)(3x－4y)(x＋2y)；
解：原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2
＝3x2＋2xy－8y2.
(3)(6m4－8m2n2)÷2m2；
解：原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2
＝3m2－4n2.
(4)4(x＋1)2－(x＋5)(3x－2).
解：原式＝4(x2＋2x＋1)－(3x2＋13x－10)
＝4x2＋8x＋4－3x2－13x＋10
＝x2－5x＋14.
解：原式＝(xy－4x2)＋(4x2－y2)
＝xy－4x2＋4x2－y2
＝xy－y2.
15．计算 的结果是(　　)
A．a5 B．a6 C．aa＋3 D．a3a
16．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2，根据这个定义，代数式(x＋y)☆y可以简为(　　)
A．xy＋y2 B．xy－y2
C．x2＋2xy D．x2
D
C
17．下列运算正确的是(　　)
A．2x2y－3xy2＝－x2y
B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2
D．(x2y3)2＝x4y6
D
19．若3y＋2x－2＝0，则9x×27y的值为__________．
2a3
9
20．【全国视野】(2025内江改编)已知实数a，b满足a＋b＝2，求a2－b2＋4b的值．
解：因为a＋b＝2，
所以 a＝2－b.
所以 a2－b2＋4b
＝(2－b)2－b2＋4b
＝4－4b＋b2－b2＋4b
＝4.
21．如图2，老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式．
(1)求捂住的多项式；
图2
＝6x－2y＋1.
所以捂住的多项式为6x－2y＋1.
所以捂住的多项式的值为4.
图2
22．教材在探究平方差公式与完全平方公式时，利用了数形结合的．
【类比探究】
(1)利用图3①中面积的等量关系可以得到的数学公式为__________(请填序号)．
①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
②(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
③a(a＋b)＝a2＋ab；
④a(a－b)＝a2－ab.
②
图3①
【解决问题】
(2)利用【类比探究】中得到的结论，解决问题：
若(x＋6)x＝7，求(x＋6)2＋x2的值．
解：设a＝x＋6，b＝x，
则a－b＝6，ab＝(x＋6)x＝7.
所以(x＋6)2＋x2＝a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝62＋2×7＝36＋14＝50.
【拓展应用】
(3)如图3②，点E是线段AB上的一点，在线段AB的同侧分别作以AB，BE为边的正方形．已知AE＝6，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分的面积．
图3②
解：设AB的长为x，BE的长为y.
因为两正方形的面积和为50，
所以x2＋y2＝50.
因为AE＝6，
所以AE＝AB－BE＝x－y＝6.
所以(x－y)2＝36.
所以x2＋y2－2xy＝36.
所以50－2xy＝36.
所以xy＝7.
所以图中阴影部分的面积为
图3②(共24张PPT)
第一章　整式的乘除
第11课时　整式的除法
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1．填空：
(1)am·an＝____________，am÷an＝____________；
(2)(am)n＝____________；
(3)(ab)m＝____________．
am＋n
am－n
amn
ambm
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单项式除以单项式
单项式乘单项式 单项式除以单项式
法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
举例 4b·2b＝__________，3mn·2m＝__________ 8b2÷2b＝__________，
6m2n÷2m＝__________
8b2
6m2n
4b
3mn
例1　计算：
(1)8x6÷4x3＝____________；
(2)10a5÷(－5a2)＝____________．
训练　1.计算：
(1)5m4÷m3＝____________；
(2)－2x7÷6x3＝____________．
2x3
－2a3
5m
例2　计算：
(1)28x4y2÷7x2y；
解：原式＝(28÷7)x4－2y2－1
＝4x2y.
＝－5a3bc.
(3)(3mn2)3÷9m2n3.
解：原式＝27m3n6÷9m2n3
＝(27÷9)m3－2n6－3
＝3mn3.
训练　2.计算：
(1)m3n4÷2m；
解：原式＝(1÷2)m3－1n4
(2)－6a2b5c3÷10a2b4c；
解：原式＝(－6÷10)a2－2b5－4c3－1
(3)(x－3y)4÷(x－3y)2.
解：原式＝(x－3y)4－2
＝(x－3y)2
＝x2－6xy＋9y2.
多项式除以单项式
多项式乘单项式 多项式除以单项式
法则 单项式与多项式相乘，就是根据____________用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
举例 (a＋b)·d＝ad＋bd (ad＋bd)÷d＝a＋b
分配律
例3　计算：
(1)(－12mn3＋6n)÷(－3n)；
解：原式＝－12mn3÷(－3n)＋6n÷(－3n)
＝4mn2－2.
(2)(28a3－14a2＋7a)÷7a.
解：原式＝28a3÷7a－14a2÷7a＋7a÷7a
＝4a2－2a＋1.
训练　3.计算：
(1)(15x2y－10xy2)÷5xy；
解：原式＝15x2y÷5xy－10xy2÷5xy
＝3x－2y.
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1．计算(16m3－24m2)÷(－8m2)的结果为(　　)
A．－2m＋3 B．－2m－3
C．2m＋3 D．2m－3
A
－6m2
6b＋5
－x5
－6m2＋4n2
3．若一个长方形的面积为4a3b4，它的长为2a2b2，则它的宽为____________．
2ab2
4．计算：(1)3xy·(－2x3y)2÷(－6x5y3).
解：原式＝3xy·4x6y2÷(－6x5y3)
＝12x7y3÷(－6x5y3)
＝－2x2.
＝10x－6y.
当x＝1，y＝2时，原式＝10×1－6×2＝－2.
6．如图，图1的瓶子(h，H均为偶数)中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要这样的杯子的个数是(　　)
A
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1．计算5m3n÷m3的结果是(　　)
A．n B．5mn C．5m D．5n
2．填空：
(1)(8mn＋10m2)÷2m＝__________；
(2)(－28x2y4)÷(－4x2y3)＝__________；
(3)(18x4－6x3＋9x)÷3x＝____________．
3．已知长方体的体积为9a3 b5 cm3，它的长为3ab2 cm，宽为a2b cm，则这个长方体的高为__________cm.
D
4n＋5m
7y
6x3－2x2＋3
3b2
4．计算：
(1)(6a2b－5a2c2)÷(－3a2);
解：原式＝6a2b÷(－3a2)－5a2c2÷(－3a2)
(2)(2m)3·n4÷32m3n2.
解：原式＝8m3·n4÷32m3n2
＝8m3n4÷32m3n2
5．先简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a＝2，b＝－1.
解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b
＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b
＝(4ab＋2b2)÷2b
＝2a＋b.
当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2＋(－1)＝4－1＝3.(共24张PPT)
第一章　整式的乘除
第7课时　乘法公式(一)—— 平方差公式(1)
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理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，能利用公式进行简单的计算和推理．(抽象能力、运算能力、几何直观)
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1．填空：
(1)(x＋2)(x－2)＝x2－2x＋2x－4＝__________；
(2)(1＋2m)(1－2m)＝1－2m＋2m－4m2＝__________；
(3)(x＋3y)(x－3y)＝x2－3xy＋3xy－9y2＝__________；
【类比】(4)(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝__________．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
x2－4
1－4m2
x2－9y2
a2－b2
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例1　计算：
(1)(m＋3)(m－3)；
平方差公式的直接运用
解：原式＝m2－32
＝m2－9.
(2)(1＋4x)(1－4x)；
解：原式＝12－(4x)2
＝1－16x2.
解：原式＝(5a)2－(3b)2
＝25a2－9b2.
(3)(5a＋3b)(5a－3b).
训练　1.计算：
(1)(4＋a)(4－a)；
解：原式＝42－a2
＝16－a2.
(3)(－m＋2n)(－m－2n).
解：原式＝(－m)2－(2n)2
＝m2－4n2.
例2　计算：
(1)(mn－5)(mn＋5)；
平方差公式的常见变形
解：原式＝(mn)2－52
＝m2n2－25.
(2)(3＋2a)(－3＋2a).
解：原式＝(2a＋3)(2a－3)
＝(2a)2－32
＝4a2－9.
训练　2.计算：
(1)(2x2＋1)(2x2－1)；
解：原式＝(2x2)2－12
＝4x4－1.
(2)(－a－b)(a－b).
解：原式＝(－b－a)(－b＋a)
＝(－b)2－a2
＝b2－a2.
1.平方差公式中的a，b可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示含字母的式子；
2．只有符合平方差公式的结构特征，才可以运用平方差公式．
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1．若(a＋2b)(____)＝a2－4b2，则横线上应填的代数式是(　　)
A．－a－2b B．a＋2b
C．a－2b D．2b－a
C
2．计算：
(1)(2－m)(2＋m)＝__________；
(2)(a＋5b)(a－5b)＝__________；
(4)(4m＋3n)(4m－3n)＝___________．
3．已知m＋n＝3，m－n＝2，则m2－n2＝__________．
4－m2
a2－25b2
16m2－9n2
6
4．计算：
(1)(x＋3y)(3y－x);
(2)(4a＋ab)(4a－ab)；
解：原式＝(3y＋x)(3y－x)
＝(3y)2－x2
＝9y2－x2.
解：原式＝(4a)2－(ab)2
＝16a2－a2b2.
(3)(－2m－5)(2m－5);
(4)(a＋3)(a－3)(a2＋9).
解：原式＝(－5－2m)(－5＋2m)
＝(－5)2－(2m)2
＝25－4m2.
解：原式＝(a2－9)(a2＋9)
＝(a2)2－92
＝a4－81.
5．下列能用平方差公式计算的是(　　)
A．(－x＋5)(x－5) B．(－x＋5)(－x－5)
C．(x＋5)(x＋5) D．(x＋5)(－x－5)
B
6．(RJ八上P118 T8改编)【观察发现】观察下列等式：
(m－1)(m＋1)＝m2－1，
(m－1)(m2＋m＋1)＝m3－1，
(m－1)(m3＋m2＋m＋1)＝m4－1.
(1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式：
________________________________________；
【规律发现】(2)根据上面各式的规律可得(m－1)(mn＋mn－1＋…＋m2＋m＋1)＝__________；(n为正整数，且n≥2)
(m－1)(m5＋m4＋m3＋m2＋m＋1)＝m6－1
mn＋1－1
【规律应用】(3)求22 026＋22 025＋…＋22＋2的值．
解：因为(2－1)(22 026＋22 025＋…＋22＋2＋1)＝22 027－1，
所以22 026＋22 025＋…＋22＋2＋1＝22 027－1.
所以22 026＋22 025＋…＋22＋2＝22 027－2.
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1．计算(a＋5)(a－5)的结果是(　　)
A．a2－10 B．10－a2
C．25－a2 D．a2－25
2．下列各式中，不能利用平方差公式进行计算的是(　　)
A．(x＋1)(x－1) B．(x－1)(－x－1)
C．(x－1)(－x＋1) D．(x＋1)(1－x)
D
C
3．填空：
(1)(4－m)(4＋m)＝__________；
(3)(1＋3a)(1－3a)＝__________；
(4)(2x－5y)(2x＋5y)＝____________．
16－m2
1－9a2
4x2－25y2
4．计算：
(1)(－7x＋2)(7x＋2)；
解：原式＝(2－7x)(2＋7x)
＝22－(7x)2
＝4－49x2.
(2)(－n＋3m)(－3m－n).
解：原式＝(－n＋3m)(－n－3m)
＝(－n)2－(3m)2
＝n2－9m2.(共27张PPT)
第一章　整式的乘除
第1课时　幂的乘除(一)—— 同底数幂的乘法
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了解整数指数幂的意义和基本性质；能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算．(运算能力)
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1．根据乘方的意义填空：
(1)104×102＝(10×10×10×10)×(10×10)
　　　　　＝____________________________
　　　　　＝__________；
(2)a2·a5＝(a·a)·(a·a·a·a·a)
　　　＝____________________________
　　　＝ __________ ；
10×10×10×10×10×10
106
a·a·a·a·a·a·a
a7
am·an＝
__________；即am·an＝__________(m，n都是正整数).
同底数幂相乘，底数__________，指数__________．
am＋n
am＋n
不变
相加
(3)2m×2n＝
　　　　　　＝__________；
2m＋n
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例1　计算：
(1) 52×56＝__________；
(2) (－2)×(－2)4＝______________；
(3) y4·y2＝__________；
(4) －c3·c2＝__________；
(5) xn－3·x3＝__________(n>3)；
(6) m3·m2·m4＝__________．
同底数幂的乘法
58
(－2)5[或－25]
y6
－c5
xn
m9
训练　1.计算：
(1) 105×107＝__________；
(3) a5·a＝__________；
(4) (－n)4·(－n)b＝__________；
(5) y2m·ym＋1＝__________；
(6) (－3)2×(－3)×(－3)3＝____________．
1012
a6
(－n)b＋4
y3m＋1
(－3)6[或36]
1. a＝a1；
2．在计算带有负号的同底数幂的乘法时，注意辨别负号是否属于底数的部分；
3．同底数幂的乘法法则，可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，如：am·an·ap＝am＋n·ap＝am＋n＋p.
例2　(BS七下P3 例2改编)宇宙中的距离通常以光年作为单位，1光年是光在一年内传播的距离，已知光的传播速度约为每秒3×105 km，一年约为3.2×107 s，那么1光年约为多少千米？
同底数幂的乘法的运用
解：3×105×3.2×107＝9.6×1012(km).
答：1光年约为9.6×1012 km.
训练　2.一台电子计算机每秒可做4×109次运算，则它工作5×102 s可做多少次运算？
解：4×109×5×102＝20×1011＝2×1012(次).
答：它工作5×102 s可做2×1012次运算．
例3　若a4·am－2＝a8(m>2)，求m的值．
解：因为a4·am－2＝a4＋m－2＝am＋2＝a8，
所以m＋2＝8.
解得m＝6.
训练　3. 若3×3m×35＝310，求m的值．
解：因为3×3m×35＝31＋m×35＝36＋m＝310，
所以6＋m＝10.
解得m＝4.
例4　【整体思想】已知10m＝4，10n＝5，求10m＋n的值．
同底数幂的乘法的逆运用
解：10m＋n＝10m×10n
　　　　 ＝4×5
　　　　 ＝20.
由同底数幂的乘法，可得其逆运用：am＋n＝am·an(m，n都是正整数).
训练　4. (BS七下P9 T2改编)已知xm＝5，xn＝3，求xm＋n的值．
解：xm＋n＝xm·xn
　　　＝5×3
　　　＝15.
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1．计算：(1)x2·x7＝__________；
(2)10×104＝__________；
(3)－y6·y＝__________；
(4)am＋1·am－2＝__________；
(6)(－m)4·(－m)2·(－m)＝________________．
x9
105
－y7
a2m－1
(－m)7[或－m7]
2．已知x＋y－4＝0，则2x×2y的值为__________．
16
3．计算：
(1)(RJ八上P101 T4)x·x3＋x2·x2；
解：原式＝x1＋3＋x2＋2
＝x4＋x4
＝2x4.
(2)a·a2·a4－a4·a3.
解：原式＝a1＋2＋4－a4＋3
＝a7－a7
＝0.
4．计算：
(1)(m－n)2·(m－n)3；
解：原式＝(m－n)2＋3
＝(m－n)5.
(2)(m－n)2·(n－m)3.
解：原式＝(m－n)2·[－(m－n)3]
＝－(m－n)2·(m－n)3
＝－(m－n)5.
5．(BS七下P10 T14改编)某种细菌每分钟由1个分裂成2个．
(1)经过5 min，1个细菌分裂成__________个；
(2)(1)中分裂出的细菌再继续分裂t min，共分裂成_________个．
25
2t＋5
6．(1)已知3a×3a＋1＝35，则a＝__________；　
(2)已知27×3n＝39，求n的值．
2
解：因为27×3n＝33×3n＝3n＋3＝39，
所以n＋3＝9.
解得n＝6.
7．已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．
解：因为4x＝8，4y＝32，
所以4x×4y＝4x＋y＝8×32＝256＝44.
所以x＋y＝4.
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1．32×37的值是(　　)
A．39 B．314 C．35 D．311
2．计算x4·x4的结果是(　　)
A．x16 B．x8 C．2x4 D．2x8
3．2×25×23的计算结果是(　　)
A．28 B．512 C．215 D．216
4．已知am＝7，an＝5，则am＋n的值为__________．
A
B
B
35
5．计算：
(1)(－b)5·(－b)2;
解：原式＝(－b)5＋2
＝(－b)7
＝－b7.
解：原式＝－a2＋4
＝－a6.
(2)－a2·a4；
(3)4m×42m－3;
解：原式＝4m＋2m－3
＝43m－3.
(4)(a－2)2·(2－a)7.
解：原式＝(2－a)2·(2－a)7
＝(2－a)2＋7
＝(2－a)9.
6．【跨学科、实际应用】1 kg镭完全衰变后，放出的热量大约相当于3.75×105 kg煤燃烧放出的热量，据估计地壳中含1010 kg镭，则这些镭完全衰变后，放出的热量大约相当于多少千克煤燃烧放出的热量？
解：3.75×105×1010＝3.75×1015(kg).
答：放出的热量大约相当于3.75×1015 kg煤燃烧放出的热量．(共35张PPT)
第一章　整式的乘除
第4课时　幂的乘除(四)—— 同底数幂的除法
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了解整数指数幂的意义和基本性质；能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).(运算能力、推理能力、应用意识)
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同底数幂的除法
(3)2m÷2n＝
　　　　＝__________；(m，n都是正整数，且m>n)．
104
a4
2m－n
am÷an＝ ＝__________；
即am÷an＝__________(a≠0，m，n都是正整数，且m>n).
同底数幂相除，底数__________，指数__________．
am－n
am－n
不变
相减
例1　填空：
(1)35÷32＝35－2＝__________；
(2)a6÷a3＝__________＝__________；
(3)(－n)7÷(－n)＝________________＝__________；
(4)(xy)4÷(xy)2＝________________＝__________；
(5)b2x＋3÷b3＝__________＝________(x>0).
33
a6－3
a3
(－n)7－1
n6
(xy)4－2
x2y2
b2x＋3－3
b2x
训练　1.计算：
(1)108÷104＝__________；
(2)(－m)8÷(－m)3＝__________；
(3)a8÷a＝__________；
(4)(ab)6÷ab＝__________；
(5)7n÷7n－1＝__________(n>1).
104
－m5
a7
a5b5
7
2．(1)对于am÷am，按除法计算得am÷am＝1，按同底数幂的除法计算得am÷am＝am－m＝________．
规定：a0＝________．(a≠0，m是正整数)
零指数幂和负整数指数幂
a0
1
例2　计算：(1)(－3)0＝__________；
(2)(π－1)0＝__________；
(5)30×6－2＝__________＝__________．
1
1
(3)10－3＝__________＝__________；
0.001
4
1
(4)1.4×10－4＝__________＝__________．
0.000 14
有了零指数幂和负整数指数幂的运算规定，同底数幂的乘法和除法运算法则中的m，n就可以从正整数扩大到全体整数了，即am·an＝am＋n，am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是整数).
例3　计算：
(1)x－4÷x－9；
解：原式＝x－4－(－9)
＝x5.
(2)3－1÷38.
解：原式＝3－1－8
＝3－9
训练　3.计算：
(1)7－3÷7－5；
解：原式＝7－3－(－5)
＝72
＝49.
最终的运算结果要写成具体的数值或正整数幂的形式．
用科学记数法表示绝对值较小的数
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n是负整数．大于－1的负数也可以用类似的表示，　如－0.000 14＝－1.4×10－4.
4
－4
－3
0.01
2.5×10－2
用科学记数法表示绝对值较小的数：
把一个绝对值较小的数写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是负整数．
例4　用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 005＝______________；
(2)0.000 624＝______________；
(3)0.000 004 03＝______________．
5×10－6
6.24×10－4
4.03×10－6
训练　4.用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 014＝______________；
(2)－0.000 08＝______________；
(3)－0.000 564 7＝______________．
1.4×10－5
－8×10－5
－5.647×10－4
例5　下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)2.35×10－3＝______________；
(2)6.4×10－6＝________________；
(3)－7.01×10－4＝________________．
训练　5.下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)2×10－5＝______________；
(2)5.003×10－3＝______________；
(3)－4.9×10－8＝__________________．
0.002 35
0.000 006 4
－0.000 701
0.000 02
0.005 003
－0.000 000 049
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2．若(x－2)0＝1成立，则x的取值范围是(　　)
A．x＝－2 B．x＝2
C．x≠0 D．x≠2
B
D
3．(2025河南)通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000 074”用科学记数法表示为(　　)
A．0.74×10－4 B．7.4×10－4
C．7.4×10－5 D．74×10－6
C
4．计算：(1)68÷63＝__________；
(3)(bc)5÷(bc)3＝________；
(4)r7÷(－r)4＝________；　
(5)－x6÷x6＝________；　　 　
(6)m3÷m－2＝________．
65
b2c2
r3
－1
m5
5．每年的四月份，许多地方的杨絮如雪花般漫天飞舞．已知杨絮纤维的直径约为1.05×10－6 m，则用科学记数法表示的数1.05×10－6的原数为______________．
6．已知m－n＝2，则3m÷3n＝__________．
0.000 001 05
9
3
(2)(－5)0÷(－5)－3；
解：原式＝(－5)0－(－3)
＝(－5)3
＝－125.
(3)4n÷4n＋3.
解：原式＝4n－(n＋3)
＝4n－n－3
＝4－3
9．科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，已知1纳米等于10－9米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为(　　)
A．7.5×10－7 B．7.5×10－8
C．7.5×10－9 D．7.5×10－10
B
10．计算：(1)a5·a3÷a4；
解：原式＝a5＋3÷a4
＝a8÷a4
＝a8－4
＝a4.
(2)m7÷(m2)3；
解：原式＝m7÷m2×3
＝m7÷m6
＝m7－6
＝m.
(3)y9÷y3＋y2·y4.
解：原式＝y9－3＋y2＋4
＝y6＋y6
＝2y6.
11．从地球起飞的航天器的飞行速度达到第三宇宙速度，即1.67×104 m/s时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．在动画大电影《哪吒》中，调皮的哪吒踢毽子时，毽子的速度大约是3.006×105 m/s，则该毽子的速度约是第三宇宙速度的多少倍？
解：3.006×105÷(1.67×104)＝18.
答：该毽子的速度约是第三宇宙速度的18倍．
12．已知am＝6，an＝2.
(1)求am＋n与am－n的值；
(2)求a2m－3n的值．
解：(1)am＋n＝am·an＝6×2＝12.
am－n＝am÷an＝6÷2＝3.
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1．计算4－2的结果是(　　)
2．计算：(3－π)0＝(　　)
A．1 B．0 C．3－π D．－1
3．数据0.000 7用科学记数法表示为(　　)
A．0.7×103 B．0.7×10－3
C．7×104 D．7×10－4
C
A
D
4．计算：
(1)25÷22＝__________；
(2)m7÷m＝__________；
(3)ym÷ym＝__________；
(4)－b9÷b4＝__________．
5．在某种条件下，空气的密度约为0.001 293 g/cm3.若将0.001 293用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的值为__________．
23(或8)
m6
1
－b5
－3
6．计算：
(1)(mn)6÷(mn)2;
(2)x0÷x－3；
解：原式＝(mn)6－2
＝(mn)4
＝m4n4.
解：原式＝x0－(－3)
＝x3.
(3)(－5)10÷(－5)3;
(4)a7÷a2÷a3.
解：原式＝(－5)10－3
＝(－5)7
＝－57.
解：原式＝a7－2－3
＝a2.(共24张PPT)
第一章　整式的乘除
第10课时　乘法公式(四)—— 乘法公式综合
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1．填空：
(1) (a＋b)(a－b)＝____________；　　
(2) (a＋b)2＝_____________；
(3) (a－b)2＝_____________．
2．去括号：
(1) a＋(b＋c)＝____________；　　
(2) a＋(b－c)＝____________；
(3) a－(b＋c)＝____________；
(4) a－(b－c)＝____________．
a2－b2
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
a＋b＋c
a＋b－c
a－b－c
a－b＋c
3．添括号：
(1)a＋b＋c＝a＋(____________);
(2)a＋b－c＝a＋(____________)；
(3)a－b－c＝a－(____________);
(4)a－b＋c＝a－(____________).
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
b＋c
b－c
b＋c
b－c
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例1　计算：1012.
运用完全平方公式进行简便运算
解：原式＝(100＋1)2
＝1002＋2×100×1＋12
＝10 000＋200＋1
＝10 201.
训练　1.计算：982.
解：原式＝(100－2)2
＝1002－2×100×2＋22
＝10 000－400＋4
＝9 604.
例2　计算：
(1)(3a＋1)2－(2a)2；
与乘法公式有关的复杂运算
解：原式＝9a2＋6a＋1－4a2
＝5a2＋6a＋1.
(2)2(m－n)2－(2m＋n)(m－3n)；
解：原式＝2(m2－2mn＋n2)－(2m2－6mn＋mn－3n2)
＝2m2－4mn＋2n2－2m2＋5mn＋3n2
＝mn＋5n2.
(3)(x＋2y＋1)(x＋2y－1).
解：原式＝[(x＋2y)＋1][(x＋2y)－1]
＝(x＋2y)2－12
＝x2＋4xy＋4y2－1.
训练　2.计算：
(1)(x＋y－z)2；
解：原式＝(x＋y)2－2·(x＋y)·z＋z2
＝x2＋2xy＋y2－2xz－2yz＋z2.
(2)(2x＋3)2－(3－x)(3＋x)；
解：原式＝4x2＋12x＋9－(9－x2)
＝4x2＋12x＋9－9＋x2
＝5x2＋12x.
(3)(a＋b－2)(a－b＋2).
解：原式＝[a＋(b－2)][a－(b－2)]
＝a2－(b－2)2
＝a2－(b2－4b＋4)
＝a2－b2＋4b－4.
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1．利用乘法公式对1 9992进行变形可简运算，下列变形后的式子正确的是(　　)
A．(2 000－1)2 B．(2 000－1)(2 000＋1)
C．(1 999＋1)(1 999－1) D．(1 999＋1)2
2．为了应用平方差公式计算(x＋y＋z)(y－x－z)，下列变形正确的是(　　)
A．[x－(y＋z)]2 B．[x＋(y＋z)][x－(y＋z)]
C．[y＋(x＋z)][y－(x＋z)] D．[z＋(x＋y)][z－(x＋y)]
A
C
3．计算：
(1)[(a＋2)(a－2)]2;
解：原式＝(a2－4)2
＝a4－8a2＋16.
(2)(2m＋n＋1)(2m－n－1).
解：原式＝[2m＋(n＋1)][2m－(n＋1)]
＝(2m)2－(n＋1)2
＝4m2－n2－2n－1.
4．(RJ八上P121 T5)先简，再求值：(x＋2y)2＋(x＋y)(x－y)－y2，其中x＝3，y＝2.
解：原式＝x2＋4xy＋4y2＋x2－y2－y2
＝2x2＋4xy＋2y2.
当x＝3，y＝2时，
原式＝2×32＋4×3×2＋2×22＝18＋24＋8＝50.
5．用乘法公式进行简便计算：70.52.
解：原式＝(70＋0.5)2
＝702＋2×70×0.5＋0.52
＝4 900＋70＋0.25
＝4 970.25.
6．(BS七下P25 T7改编、RJ八上P117 T5)一个正方形纸片的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形纸片的边长是多少？
解：设这个正方形纸片的边长是 x cm.
由题意，得(x＋3)2＝x2＋39.
解得x＝5.
答：这个正方形纸片的边长是5 cm.
7．【应用意识】某农场为了鼓励学生集体到农场参加劳动，许诺学生到农场劳动后，每人将得到与参加劳动人数数量相等的苹果，第一天去农场参加劳动的学生有a人，第二天有b人，第三天有(a＋b)人，则第三天学生得到的苹果数与前两天的总数一样多吗？
解：第一、二天学生得到的苹果数分别为a2，b2，
所以前两天学生得到的苹果的总数为a2＋b2.
第三天学生得到的苹果数为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
因为a2＋2ab＋b2－(a2＋b2)＝2ab>0，
所以第三天学生得到的苹果数与前两天的总数不一样多．
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1．在括号内添上适当的项：
(1)2x＋y－3z＝2x＋(__________)；
(2)x2－5x－1＝x2－(__________)；
(3)3n－2a＋b＝3n－(__________).
2．计算(a＋2)2－(a－1)2的结果是(　　)
A．2a＋1 B．2a－1
C．6a＋3 D．6a－3
y－3z
5x＋1
2a－b
C
3．用完全平方公式计算79.82的值，下列变形最恰当的是(　　)
A．(79＋0.8)2 B．(80－0.2)2
C．(100－20.2)2 D．(70＋9.8)2
B
4．计算：
(1)(x－2)2－2(x＋2)(x－4);
解：原式＝x2－4x＋4－2(x2－2x－8)
＝x2－4x＋4－2x2＋4x＋16
＝－x2＋20.
(2)(a－b＋2)(a－b－2).
解：原式＝[(a－b)＋2][(a－b)－2]
＝(a－b)2－22
＝a2－2ab＋b2－4.
5．先简，再求值：(2x＋3y)2－(2x＋y)(2x－y)，其中x＝－2，y＝1.
解：原式＝(4x2＋12xy＋9y2)－(4x2－y2)
＝4x2＋12xy＋9y2－4x2＋y2
＝10y2＋12xy.
当x＝－2，y＝1时，
原式＝10×12＋12×(－2)×1＝10－24＝－14.(共23张PPT)
第一章　整式的乘除
第2课时　幂的乘除(二)—— 幂的乘方
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了解整数指数幂的意义和基本性质；能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算．(运算能力)
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1．根据乘方的意义和同底数幂的乘法填空：
(1) (22)3＝22×22×22＝22＋2＋2＝22×3＝__________；
(2) (a4)3＝a4·a4·a4＝a4＋4＋4＝a4×3＝__________；
(3) (an)4＝an·an·an·an＝an＋n＋n＋n＝an×4＝__________．
am·an＝ ＝__________；
即(am)n＝__________(m，n都是正整数).
幂的乘方，底数__________，指数__________．
26
a12
a4n
amn
amn
不变
相乘
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例1　计算：
(1) (105)2＝__________；
(2) (b3)3＝__________；
(3) －(m2)4＝__________；
(4) (xm)6＝__________；
(5) [(m2)5]2＝__________．
幂的乘方
1010
b9
－m8
x6m
m20
训练　1.计算：
(1)(32)4＝__________；
(2)(t4)2＝__________；
(4)(x3)2n＝__________；
(5)[(x＋y)4]3＝__________．
(6)[(t3)2]4＝__________．
38
t8
x6n
(x＋y)12
t24
例2　计算：
(1)(y2)6·y4；　　
幂的乘方的综合运算
解：原式＝y2×6·y4
＝y12·y4
＝y12＋4
＝y16.
(2)(a3)4＋(a6)2.
解：原式＝a3×4＋a6×2
＝a12＋a12
＝2a12.
训练　2.计算：
(1)(x3)2·(x2)4；　　
解：原式＝x3×2·x2×4
＝x6·x8
＝x6＋8
＝x14.
(2)(b3)4－b7·b5.
解：原式＝b3×4－b7＋5
＝b12－b12
＝0.
例3　(1)(BS七下P5练习T2改编)若a2＝3，则a6＝(a2)3＝_______；
(2)若am＝3，an＝2，求a2m＋n的值．
幂的乘方的逆运用
27
解：a2m＋n＝a2m·an
　　　　 ＝(am)2·an
　　　　 ＝32×2
　　　　 ＝18.
训练　3. (1)若10x＝2，则103x＝__________；
(2)已知10x＝3，10y＝4，求103x＋2y的值．
由幂的乘方，可得其逆运用：amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数).
8
解：103x＋2y＝103x·102y
＝(10x)3·(10y)2
＝33×42
＝432.
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1．下列运算正确的是(　　)
A. a3＋a3＝a6 B．a3·a2＝a6
C．(a3)2＝a9 D．(a2)3＝a6
2．计算：
(1)(24)4＝__________； (2)(m5)3＝__________；
(3)－(x3)4＝__________； (4)(t2)m＝__________．
D
216
m15
－x12
t2m
3．计算：
(1)(a·a3)5；　　　　　　
(2)y3·(yn)2；　　　　　　
解：原式＝(a4)5
＝a4×5
＝a20.
解：原式＝y3·y2n
＝y3＋2n.
(3)3(x2)6－(x4)3.
解：原式＝3x2×6－x4×3
＝3x12－x12
＝2x12.
4．已知am＝5，an＝2.
(1)求a2m的值；
(2)求a2m＋3n的值．
解：(1)因为am＝5，
所以a2m＝(am)2＝52＝25.
(2)因为am＝5，an＝2，
所以a2m＋3n＝a2m·a3n＝(am)2·(an)3＝52×23＝200.
5．若x3＝a，x5＝b，则x14可表示为(　　)
A．a2b2 B．ab3 C．a3＋b D．a3b
6．(BS七下P11 T15改编)拉面师傅将一根粗面条拉长、两头捏合，再拉长、捏合，将此视为1次操作．重复多次这样的操作，就可以拉成许多根细面条了.3次操作后，这根面条被拉成了__________根面条．
D
64
7．(RJ八上P102 T9改编)解决下面的问题．
(1)已知2x＝3，则8x＝(________)x＝(2x)3＝________；
16x＝________＝(2x)4＝________ ．
(2)【方程思想】若2×8y×16y＝222，求y的值．
点拨　先将式子转为同底数幂，再结合同底数幂的乘法法则和幂的乘则即可求解．
23
27
(24)x
81
解：因为2×8y×16y＝2×(23)y×(24)y
＝2×23y×24y＝21＋3y＋4y＝21＋7y＝222，
所以1＋7y＝22. 解得y＝3.
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1．若k为正整数，则(k2)3表示的是(　　)
A．3个k2相加 B．2个k3相加
C．3个k2相乘 D．5个k相乘
2．下列算式中，结果为a6的是(　　)
A．a2·a3 B．(a3)2
C．a3＋a3 D．(a3)3
C
B
3．计算：
(1)(63)5＝__________；
(2)(x5)4＝__________；
(3)(b6)x＝__________；
(4)－(m4)3＝__________．
4．如果8x＝212，那么x的值为__________．
615
x20
b6x
－m12
4
解：原式＝a·a2×5
＝a·a10
＝a1＋10
＝a11.
5．计算：
(1)a·(a2)5;
(2)(a2)3－2a2·a4.
解：原式＝a2×3－2a2＋4
＝a6－2a6
＝－a6.
6．若10a＝4，10b＝3，求10a＋2b的值．
解：10a＋2b＝10a×102b
＝10a×(10b)2
＝4×32
＝36.(共26张PPT)
第一章　整式的乘除
第1课时　整式的乘法(一)—— 单项式乘单项式
课堂讲练
能进行简单的整式乘法运算．(抽象能力、运算能力、应用意识)
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1．【衔接回顾】数与字母的乘积形式的代数式叫作单项式．
单独一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，如－2a2b3的系数是__________．
2．【衔接回顾】am·an＝__________，
(am)n＝__________，
(ab)n＝__________．
－2
am＋n
amn
anbn
单项式与单项式相乘，把它们的________、______________分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
系数
相同字母的幂
3．运用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质计算下列各式：
(1)　5a2·(－2a4)＝[5×(－2)]·(a2·a4)＝__________；
(2)　3x2·4xy＝(3×4)·(x2·x)·y＝__________．
－10a6
12x3y
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例1　填空：
(1)3x2·4x＝(3×4)·(x2x)＝__________；
(2)－a3·5a2＝____________________＝__________；
(3)－4mn·(－2m3)＝_______________________＝__________；
(4)5x2y3·(－3xy2)＝______________________＝__________．
单项式乘单项式
12x3
(－1×5)·(a3a2)
－5a5
[(－4)×(－2)]·(mm3)·n
8m4n
[5×(－3)]·(x2x)·(y3y2)
－15x3y5
训练　1.计算：
(2)2b4·(－3b)＝__________；
(3)4xy3·y2＝__________；
(4)－7ab·(－2ab2)＝__________；
(5)－xyz·6xy3z＝__________；
(6)3ab4·9b3c＝__________．
a5
－6b5
4xy5
14a2b3
－6x2y4z2
27ab7c
例2　计算：
(1)(－3x)3·2x2；
解：原式＝－27x3·2x2
＝(－27×2)·(x3x2)
＝－54x5.
(2)(3a2b)2·5ab4；
解：原式＝9a4b2·5ab4
＝(9×5)·(a4a)·(b2b4)
＝45a5b6.
＝3x3y5z2.
训练　2.计算：
(1)(2m)2·(－5mn2)；
解：原式＝4m2·(－5mn2)
＝[4×(－5)]·(m2m)·n2
＝－20m3n2.
(2)4x2y·(－xy2)3；
解：原式＝4x2y·(－x3y6)
＝[4×(－1)]·(x2x3)·(yy6)
＝－4x5y7.
(3)(－3ab3c2)·a2bc·(－ab)2.
解：原式＝(－3ab3c2)·a2 bc·a2b2
＝(－3×1×1)·(aa2a2)·(b3bb2)·(c2c)
＝－3a5b6c3.
例3　(RJ八上P111 T9改编)计算图1中阴影部分的面积．
单项式乘单项式的应用
图1
解：1.5a＋2.5a＝4a，
a＋2a＋2a＋2a＋a＝8a.
阴影部分的面积为8a·4a－2.5a·2a×2＝22a2.
答：阴影部分的面积为22a2.
训练　3.(BS七下P16 T5改编)图2是小李家住房的平面示意图，小李打算在卧室和客厅里铺上木地板，则他需要买的木地板的面积至少是多少？
图2
解：由题意，得卧室和客厅的总面积为
　　(4a－2a)·2b＋2a·4b＝12ab(m2).
答：他需要买的木地板的面积至少是12ab m2.
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1．下列运算中正确的是( )
A.2a3·a4＝2a12 B．(a2b)2＝a2b2
C.(a3)4＝a7 D．3x2·5x3＝15x5
D
2．填空：
(1)－4m·2m3＝__________；
(2)3x·6x2y＝__________；
(3)－a2b·(－3ab2)＝__________．
－8m4
18x3y
3a3b3
4．计算：
(1)4a·(3a2b)2；
解：原式＝4a·9a4b2
＝(4×9)·(aa4)·b2
＝36a5b2.
(3)(－3x2y)2(－xy3)2.
解：解法一：原式＝9x4y2·x2y6
＝(9×1)·(x4x2)·(y2y6)
＝9x6y8.
解法二：原式＝[(－3x2y)·(－xy3)]2
＝(3x3y4)2
＝9x6y8.
5．边长分别为2a和a的两个正方形按如图3所示的位置摆放，则图3中的阴影部分的面积为(　　)
A. 2a2
B．2
C. 5a2－3a
D．3a2
图3
A
6．已知－2xmy2与4x2yn－1的积与－x4y3是同类项，求mn的值．
解：因为－2xmy2·4x2yn－1＝(－2×4)·(xmx2)·(y2yn－1)＝－8xm＋2yn＋1，
所以－8xm＋2yn＋1与－x4y3是同类项．
所以m＋2＝4，n＋1＝3.
解得m＝2，n＝2.
所以mn＝2×2＝4.
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1．计算－2a·3b的结果是(　　)
A．6ab B．－6ab C．－5ab D．5ab
2．计算3a4·5a4的结果是(　　)
A．8a16 B．8a8 C．15a16 D．15a8
3．下列运算正确的是(　　)
B
D
B
4．计算：
(1)－7x·(－3x3)＝__________；　
(2)x2y·2y2＝__________；
(3)2m2n·3mn＝__________；
21x4
2x2y3
6m3n2
－2x5y4
5．计算：
(1)(2a)3·3a2；
解：原式＝8a3·3a2
＝(8×3)·(a3a2)
＝24a5.
＝2a5b5.
6．如图，由这两个大小不同的长方形所组成的图形的面积是__________．
5.5xy(共27张PPT)
第一章　整式的乘除
第2课时　整式的乘法(二)
—— 单项式乘多项式、多项式乘多项式
课堂讲练
能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法).(抽象能力、运算能力、几何直观)
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1. 如图1.
(1)大长方形的长为(a＋b＋c)，宽为p，则面积为______________；
(2)将大长方形看成由三个小长方形组成，则面积为______________；
(3)根据(1)(2)中大长方形面积的表示，可得等式：__________________________．
单项式乘多项式
图1
p(a＋b＋c)
pa＋pb＋pc
p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
例1　计算：
(1)3x(2x＋5)＝____________；
(2)(x－3y)·(－6x)＝____________；
(3)4x(2x2－7x)＝____________．
训练　1. 计算：
(1)a(5a－b)＝____________；
(2)－4x2(3x＋1)＝____________；
(3)(4a－b2)·(－2b)＝____________．
6x2＋15x
－6x2＋18xy
8x3－28x2
5a2－ab
－12x3－4x2
－8ab＋2b3
例2　计算：
(2)－2ab2(4a2＋ab－2b).
解：原式＝－2ab2·4a2＋(－2ab2)·ab＋(－2ab2)·(－2b)
＝－8a3b2－2a2b3＋4ab3.
训练　2.计算：
＝－8a3b－12a2b3.
(2)4(2x－xy2－3x2z)·xyz.
解：原式＝(8x－4xy2－12x2z)·xyz
＝8x·xyz＋(－4xy2)·xyz＋(－12x2z)·xyz
＝8x2yz－4x2y3z－12x3yz2.
2. 如图2.
(1)原长方形的长为a，宽为p，若它的长增加b，宽增加q，则扩大后的长方形的长为___________，宽为___________，
面积为______________；
(2)若将扩大后的长方形看作由两个宽为(p＋q)的
长方形组成，则其面积可以表示为________________；
(3)若将扩大后的长方形看作由四个小长方形组成，则其面积可以表示为________________；
多项式乘多项式
图2
a＋b
p＋q
(a＋b)(p＋q)
a(p＋q)＋b(p＋q)
ap＋aq＋bp＋bq
(4)由(1)(2)(3)可得
(a＋b)(p＋q)＝___________________＝__________________．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如
a(p＋q)＋b(p＋q)
ap＋aq＋bp＋bq
例3　计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；
解：原式＝2x·x＋2x·3＋1·x＋1×3
＝2x2＋6x＋x＋3
＝2x2＋7x＋3.
(2)(4a－b)(3a－2b).
解：原式＝4a·3a－4a·2b－b·3a＋b·2b
＝12a2－8ab－3ab＋2b2
＝12a2－11ab＋2b2.
训练　3.计算：
(1)(m＋3)(－m－2)；
解：原式＝m·(－m)－m·2＋3·(－m)－3×2
＝－m2－2m－3m－6
＝－m2－5m－6.
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1．(BS七下P15观察思考改编)图3是一幅边长为a cm的正方形风景画，画面左右两边各留有宽为y cm的长方形空白区域作装饰，则图中中间画面的面积为____________cm2.
图3
(a2－2ay)
2．已知(x－1)(2x＋a)不含x的一次项，则a的值为(　　)
A.－2 B．－1
C．1 D．2
D
＝2xy2＋4x2y4.
(2)(a＋3b)(a－3b)；
解：原式＝a·a－a·3b＋3b·a－3b·3b
＝a2－3ab＋3ab－9b2
＝a2－9b2.
(3)(－3a－2)(4a－5).
解：原式＝－3a·4a＋3a·5－2·4a＋2×5
＝－12a2＋15a－8a＋10
＝－12a2＋7a＋10.
4．【整体思想】已知m＋n＝5，mn＝3，则(m－1)(n－1)的值等于(　　)
A.－1 B．2
C．8 D．7
A
解：原式＝x3＋x2y＋xy2－x2y－xy2－y3－(x3－xy2＋x2y－y3)
＝x3－y3－x3＋xy2－x2y＋y3
＝xy2－x2y.
6．(RJ八上P107练习2改编)【观察发现】计算下列各式：
(1)(x＋2)(x＋3)＝____________；
(2)(x－4)(x＋1)＝____________；
(3)(x＋4)(x－2)＝____________；
(4)(x－5)(x－3)＝____________．
【总结规律】由上面计算的结果找规律，观察图4，填空：
(x＋p)(x＋q)＝(___________)2＋___________x＋___________．
【结论应用】运用总结出的规律，直接写出下列两式的结果：
(1)(a＋10)(a－11)＝____________；
(2)(y－5)(y－8)＝____________．
图4
x2＋5x＋6
x2－3x－4
x2＋2x－8
x2－8x＋15
x
(p＋q)
pq
a2－a－110
y2－13y＋40
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1．计算3y(x－y)的结果是(　　)
A．3xy－3y B．x－3y2
C．3xy－3y2 D．3xy－y
2．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
3．若一个等腰三角形的底边长为2n，底边上的高为2n－1，则此三角形的面积为(　　)
A．4n2＋2n B．4n2－1
C．2n2－n D．2n2－2n
C
C
C
4．填空：
(1)－2xy(2xy2＋3xy)＝________________；
(2)(2x2－1)(x－4)＝________________．
－4x2y3－6x2y2
2x3－8x2－x＋4
5．计算：
(1)(2＋m)(5－m);
解：原式＝2×5－2·m＋m·5－m·m
＝10－2m＋5m－m2
＝10＋3m－m2.
(2)(3n－m)(m＋2n)；
解：原式＝3mn＋6n2－m2－2mn
＝－m2＋mn＋6n2.
(3)－2a2(3b2－5ab3＋1).
解：原式＝－2a2·3b2＋(－2a2)·(－5ab3)＋(－2a2)·1
＝－6a2b2＋10a3b3－2a2.
6．先简，再求值：(2a＋b)(a－b)－2a(a－2b)，其中a＝－2，b＝3.
解：原式＝2a·a－2a·b＋b·a－b·b－2a·a＋2a·2b
＝2a2－2ab＋ab－b2－2a2＋4ab
＝3ab－b2.
当a＝－2，b＝3时，
原式＝3×(－2)×3－32＝－18－9＝－27.(共23张PPT)
第一章　整式的乘除
第8课时　乘法公式(二)—— 平方差公式(2)
课堂讲练
理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．(抽象能力、运算能力、几何直观)
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例1　(BS七下P19改编)(1)如图1①，在边长
为a的正方形中裁去一个边长为b的小正方形，
则图中阴影部分的面积可表示为__________；
(2)小颖将(1)中阴影部分裁开，拼成了一个
长方形(如图1②)，这个长方形的长为________，
宽为________ ，所以其面积可表示为________________；
(3)根据(1)(2)中阴影部分面积的表示，可得等式：______________________．
用几何图形解释平方差公式
图1
a2－b2
a＋b
a－b
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
例2　用简便计算：99×101.
运用平方差公式进行简便运算
解：原式＝(100－1)(100＋1)
＝1002－12
＝10 000－1
＝9 999.
训练　1.用平方差公式计算：60.2×59.8.
解：原式＝(60＋0.2)×(60－0.2)
＝602－0.22
＝3 600－0.04
＝3 599.96.
例3　计算：(x＋2y)(x－2y)－y(3－4y).
与平方差公式有关的复杂运算
解：原式＝x2－(2y)2－(3y－4y2)
＝x2－4y2－3y＋4y2
＝x2－3y.
训练　2.计算：(1－a)(3＋a)－(2－a)(2＋a).
解：原式＝3＋a－3a－a2－(4－a2)
＝3－2a－a2－4＋a2
＝－2a－1.
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1．如图2①，将长为x＋1，宽为x－1的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2②所示的图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是(　　)
A．(x－1)2＝x2－2x＋1
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．x(x＋1)＝x2＋x
D．x(x－1)＝x2－x
图2
B
2．简(2m＋n)(2m－n)－4m2的结果是(　　)
A．n2 B．－n2
C．8m2＋n2 D．8m2－n2
B
3．计算：
(1)1 004×996＋16;
解：原式＝(1 000＋4)×(1 000－4)＋16
＝10 002－42＋16
＝1 000 000－16＋16
＝1 000 000.
(2)x2(x－2y)(x＋2y)－x4.
解：原式＝x2(x2－4y2)－x4
＝x4－4x2y2－x4
＝－4x2y2.
5．【应用意识】为了美城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3 m，东西方向缩短3 m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比(　　)
A．增加了6 m2 B．增加了9 m2
C．减少了9 m2 D．保持不变
C
6.【观察】(2＋3)2－22＝7×3；(4＋3)2－42＝11×3.
嘉嘉发现规律：
比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
【验证】(1)(6＋3)2－62的结果是3的__________倍．
15
(2)设偶数为2n(n为整数)，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除．
解：由题意，得偶数为2n，比该偶数大3的数为2n＋3.
所以(2n＋3)2－(2n)2＝(2n＋3＋2n)(2n＋3－2n)＝3(4n＋3).
因为n为整数，所以4n＋3为整数．
所以3(4n＋3)能被3整除．
所以比2n大3的数与2n的平方差能被3整除．
【延伸】(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由．
解：余数为3.　理由如下：
设任意一个整数为n，比n大3的数为n＋3.
所以(n＋3)2－(n)2＝(n＋3＋n)(n＋3－n)＝6n＋9＝6(n＋1)＋3.
所以6(n＋1)＋3被6除的余数是3.
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1．如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为(　　)
A．a2－b2＝(a－b)2
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
图1
B
2．用平方差公式计算：50.5×49.5.
解：原式＝(50＋0.5)×(50－0.5)
＝502－0.52
＝2 500－0.25
＝2 499.75.
3．(2025湖南)先简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中x＝6.
解：原式＝x2－4＋x－x2
＝x－4.
当x＝6时，原式＝6－4＝2.
4.　如图2，有一个边长为3a(a>2) m的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大2 m，东西方向上减少2 m，从而得到一个长方形池塘．
(1)求改造后的长方形池塘的面积．
解：由题可得，改造后池塘的长为(3a＋2)m，
宽为(3a－2)m，
所以改造后的面积为(3a＋2)(3a－2)＝(9a2－4) m2.
图2
(2)改造后的长方形池塘的面积与原正方形池塘的面积相比变大还是变小了？请通过计算说明．
图2
解：原来的面积为3a·3a＝9a2 (m2 ).
因为9a2－(9a2－4)＝4>0，
所以改造后的长方形池塘的面积与原正方形池塘的面积相比变小了．(共29张PPT)
第一章　整式的乘除
第9课时　乘法公式(三)—— 完全平方公式
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理解乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．(抽象能力、运算能力、几何直观)
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1．填空：(1)(x＋2)2＝(x＋2)(x＋2)
　　　　　　　　　＝x2＋2x＋2x＋4＝_______________；
(2)(3x＋1)2＝(3x＋1)(3x＋1)
　　　　　＝_______________＝_______________；
【类比】(3)(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
　　　　　　　　＝a2＋ab＋ab＋b2＝_______________；
(4)(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝______________，
或(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a·(－b)＋(－b)2＝______________．
x2＋4x＋4
9x2＋3x＋3x＋1
9x2＋6x＋1
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
a2－2ab＋b2
完全平方公式：(a＋b)2＝___________；(a－b)2＝___________．
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或减去)
这两个数的积的2倍．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
2．用几何验证完全平方公式：
(1)图1中正方形ABCD的边长为__________，所以其面积可表示为__________；如果将正方形ABCD看作由两个较小的正方形和两个相同的长、宽分别为a，b的长方形组成，则正方形ABCD的面积可表示为______________．
由正方形ABCD面积的两种不同表示方式可得等
式：______________________．
图1
a＋b
(a＋b)2
a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(2)图2中正方形EFGH的边长为__________，所以其面积可表示为__________；如果将正方形EFGH的面积转为大正方形的面积减去两个相同的长、宽分别为a，b的长方形的面积，再加上多减去的最小的正方形的面积，则正方形EFGH的面积可表示为______________．
由正方形EFGH面积的两种不同表示方式可得等
式：______________________．
图2
a－b
(a－b)2
a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
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例1　计算：(1)(5＋a)2；
完全平方公式的直接运用
(2)(4m－n)2；
解：原式＝52＋2×5·a＋a2
＝a2＋10a＋25.
解：原式＝(4m)2－2·4m·n＋n2
＝16m2－8mn＋n2.
(4)(－ab＋4)2.
解：原式＝(－ab)2＋2·(－ab)·4＋42
＝a2b2－8ab＋16.
训练　1.计算：
(2)(5x＋3)2；
解：原式＝(5x)2＋2·5x·3＋32
＝25x2＋30x＋9.
(3)(4a－3b)2；
(4)(－x－2y)2.
解：原式＝(4a)2－2·4a·3b＋(3b)2
＝16a2－24ab＋9b2.
解：原式＝(－x)2－2·(－x)·2y＋(2y)2
＝x2＋4xy＋4y2.
例2　(RJ八上P118 T7改编)已知a＋b＝5，ab＝3，则：
(1)(a＋b)2＝__________．
(2)①求a2＋b2的值；
完全平方公式的常见变形
25
解：由(1)，得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝25.
因为ab＝3，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25－2×3＝25－6＝19.
解： 由①，得a2＋b2＝19.
因为ab＝3，
所以(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝19－2×3＝19－6＝13.
[或由(1)，得(a＋b)2＝25.
因为ab＝3，
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝25－4×3＝25－12＝13.]
②求(a－b)2的值．
完全平方公式的常见变形：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2).
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1．若(x－3)2＝x2＋ax＋9，则a的值是(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6
D
2．计算：(1)(－2x＋5)2；
解：原式＝(－2x)2＋2·(－2x)·5＋52
＝4x2－20x＋25.
(3)(3mn－4)2.
解：原式＝(3mn)2－2·3mn·4＋42
＝9m2n2－24mn＋16.
解：原式＝2(m2－4m＋4)－(2m2－m－1)
＝2m2－8m＋8－2m2＋m＋1
＝－7m＋9.
4．(BS七下P21随堂练习2改编)已知x－y＝2，则5x2－10xy＋5y2＝
__________．
20
5．完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：已知a－b＝4，ab＝2，求a2＋b2的值．
解：因为a－b＝4，ab＝2，所以(a－b)2＝16，2ab＝4.
所以a2－2ab＋b2＝16. 所以a2－4＋b2＝16.
所以a2＋b2＝16＋4＝20.
根据上面的解题思路与，解决下列问题：
(1)①若x＋y＝4，x2＋y2＝10，则xy＝__________；
3
②若2a＋b＝6，ab＝4，求(2a－b)2的值．
解：因为2a＋b＝6，ab＝4，
所以(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4ab＝36.
所以4a2＋b2＝36－4ab＝36－4×4＝20.
所以(2a－b)2＝4a2＋b2－4ab＝20－4×4＝4.
(2)如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形．已知AB＝8，两正方形的面积和S1＋S2＝44，求△AFC的面积．
图3
解：设AC＝x，BC＝y.
因为AB＝8，所以x＋y＝8，则(x＋y)2＝64，
即x2＋y2＋2xy＝64.
因为S1＋S2＝44，所以x2＋y2＝44.
所以x2＋y2＋2xy＝44＋2xy＝64. 解得xy＝10.
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1．运用乘法公式计算(a－2)2的结果是(　　)
A．a2－4a＋4 B．a2－2a＋4
C．a2－4 D．a2－4a－4
A
2．下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是(　　)
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(ab)2＝a2b2
C
3．运用完全平方公式填空：
(5x＋3y)2＝25x2＋__________＋9y2.
30xy
4．计算：
(2)(－x＋3y)2.
解：原式＝(－x)2＋2·(－x)·3y＋(3y)2
＝x2－6xy＋9y2.
5．已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，求下列各式的值．
(1)ab; 　　　　　　　　(2)(a－b)2.
解：(1)因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝25＋2ab＝49，
所以2ab＝24.
解得ab＝12.
(2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝25－2ab＝25－2×12＝1.

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