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四川省成都市七中育才学校2024-2025学年九年级下学期4月模拟数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2025九下·成都期中）的绝对值是（　　）
A． B．0 C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可．
2．（2025九下·成都期中）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．主视图为矩形，左视图为三角形，所以A选项不符合题意；
B．主视图和左视图都为等腰梯形，所以B选项不符合题意；
C．主视图和左视图都为三角形，所以C选项不符合题意；
D．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以D符合题意；
故答案为：D．
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形；左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，再观察各选项中的几何体，可得到三视图的主视图和左视图都为矩形的选项.
3．（2025九下·成都期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：解： 与 不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
故选项 B不符合题意；
故选项 C不符合题意；
故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式，合并同类项，积的乘方，完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可.
4．（2025九下·成都期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：D.
【分析】根据关于坐标原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求解即可.
5．（2025九下·成都期中）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：38，39，35，37，则这组数据的中位数是（　　）
A．37 B．37.5 C．38 D．39
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，37，38，39，
中位数为．
故答案为：B．
【分析】求中位数的方法是：把已知数据先按从小到大或从大到小的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此可求出这组数据的中位数
6．（2025九下·成都期中）《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设客人为x人，银有y两，
根据题意，得
即
故答案为：B．
【分析】等量关系为：7×客人的数量+4=银的总数量；9×客人的数量-8=银的总数量；据此可得到关于x、y的方程组.
7．（2025九下·成都期中）如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
8．（2025九下·成都期中）如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．是方程的解
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A.根据图象可知，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，，，故该选项错误，不符合题意；
B.由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意；
C. 由图象可知，当时，，故该选项错误，不符合题意；
D. ∵抛物线和直线都经过点，
∴是方程的解，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025九下·成都期中）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式5x，再利用平方差公式进行第二次分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.
10．（2025九下·成都期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【分析】利用一元二次方程的概念可知m≠0，再根据此方程有两个实数根，可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集，可求出m的取值范围.
11．（2025九下·成都期中）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是　 　cm2.
【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
12．（2025九下·成都期中）如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是　 　．
【答案】112.5°
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
， ，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BF平分∠EBD，
，
．
故答案为：．
【分析】正方形的性质“正方形的四个角都是直角；每条对角线平分一组对角”可得，，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”可得BF平分，所以，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠FPC=∠PBC+∠BCP可求解.
13．（2025九下·成都期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 　 　 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段
∵的周长为21，
故答案为：12．
【分析】根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025九下·成都期中）（1）计算：﹣2cos30°+（π﹣1）0+|1﹣|；
（2）解不等式组．
【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：解不等式①，得x≤1；
解不等式②，得x＞-3，
∴不等式组的解集是-3＜x≤1
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1），根据，，，，再计算即可；
（2）先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．
（1）原式=
=
=；
（2）解不等式①，得x≤1；
解不等式②，得x＞-3，
∴不等式组的解集是-3＜x≤1．
15．（2025九下·成都期中）冬季是各类呼吸道传染病的高发季，某市疾控中心对一周内上报的新冠、支原体、甲流、乙流病毒感染者人数做了统计，整理分析绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知一周内统计的感染者总人数为__________人，图中m的值为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）该疾控中心决定进行传染病防治宣传工作，现有工作人员2名男生和2名女生，要求从中随机选取2人，若每个工作人员被选取的可能性相等，求选取的2人中至少有1名男生的概率（画树状图或列表法）
【答案】（1）500，18
（2）解：患甲流的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
　 男 男 女 女
男 / 男男 男女 男女
男 男男 / 男女 男女
女 女男 女男 / 女女
女 女男 女男 女女 /
共有种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有种，
∴选取的2人中至少有1名男生的概率为：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由图可知一周内统计的感染者总人数为：（人）；
，
故答案为：；
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图提供的数据，用患新冠的人数除以其所占的百分比即可算出一周内统计的感染者总人数；进而利用患乙流的人数除以本次调查的总人数即可求出 一周内统计的感染者中患乙流的人数所占的百分比，从而得出m的值；
（2）用 一周内统计的感染者总人数乘以患甲流的人数所占比例即可求出患甲流的人数，从而即可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意用列表格的形式列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有10种，从而根据概率公式计算即可.
（1）解：由图可知一周内统计的感染者总人数为：（人）；
，
故答案为：；
（2）解：患甲流的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
共有种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有种，
∴选取的2人中至少有1名男生的概率为：
16．（2025九下·成都期中）为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图，测得面板长为，为（厚度忽略不计）．当面板绕点转动时，面板与桌面即水平方向的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度增加了多少？（结果精确到，参考数据：，，
【答案】解：如图，过点作，过点作于点，
．
，，
．
当时，；
当时，；
当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，过点作于点，利用直角三角形的函数比求解即可．
17．（2025九下·成都期中）如图，在△中，以为直径作交、于点、，且是的中点，过点作于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴.
∵D是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴是的中位线，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线
（2）解：由（1），得，∴.
∵是直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴.
根据勾股定理，得，
即，
解得，（舍去）.
∴，
所以的半径是；
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
根据勾股定理，得，
∴
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角是直角，可证得，利用圆周角定理的推论可证得，利用ASA可证得△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得AD=CD，由此可推出是的中位线，利用三角形中位线定理可得到DO∥BC，然后证明DO⊥DF，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）由（1）得，由DF∥AE可证得，利用相似三角形的性质可求出AE的长，再利用解直角三角形可证得AB=3BE，利用勾股定理可求出BE的长，可得到AB的长，由此可得到圆的半径长，利用全等三角形的性质可求出BC的长，即可得到CE的长；利用相似三角形的性质可求出CF的长，然后利用勾股定理求出CD的长，即可得到AC的长.
（1）证明：连接，
∵是直径，
∴.
∵D是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴是的中位线，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：由（1），得，
∴.
∵是直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴.
根据勾股定理，得，
即，
解得，（舍去）.
∴，
所以的半径是；
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
根据勾股定理，得，
∴.
18．（2025九下·成都期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点A，，过点的直线与双曲线交于，两点（点在点的右侧）．
（1）求的值及线段的长；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，若，求点C的坐标；
（3）将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点，（点在点左侧），当时，求的值．
【答案】（1）解：把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为
把代入得：，
∴点A的坐标为，
∴
（2）解：如图1所示，
∵，
∴，，
设直线的表达式为，
∴，，
∴，
解得（舍）或，
∴
（3）解：的图象沿着直线翻折后，如图2所示，
当时，有，
∴，
，
设，则，
解得：，
∴
根据折叠可知：M在原反比例函数上的对应点为，
即此点坐标为：
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数解析式求出a的值，可得到一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点A的坐标；然后利用勾股定理求出AB的长.
（2）利用已知可得到CE的长，设直线的表达式为，将点C、D的坐标分别代入函数解析式可求出符合题意的b的值，可得到点C的坐标.
（3）先根据折叠画出图形，利用相似三角形的性质可证得，根据，得出，设，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标，再利用折叠可求出M在原反比例函数上的对应点的坐标，即可求出此点的坐标，利用待定系数法求出k的值.
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为
把代入得：，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：如图1所示，
∵，
∴，，
设直线的表达式为，
∴，，
∴，
解得（舍）或，
∴；
（3）解：的图象沿着直线翻折后，如图2所示，
当时，有，
∴，
，
设，则，
解得：，
∴
根据折叠可知：M在原反比例函数上的对应点为，
即此点坐标为：
∴．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025九下·成都期中）已知非零实数a，b满足，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简；再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
20．（2025九下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：
根据正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，
∴AO=BO，
，
，
是等腰三角形，
过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得
∴
∵反比例函数的图形位于二、四象限
故答案为：．
【分析】首先根据反比例函数的对称性，得出OA=OB，进而得出，过点作于点，根基等腰三角形的性质，可得出。进而根据k的几何意义，以及双曲线所在的象限，即可得出k的值。
21．（2025九下·成都期中）如图所示，长方形纸片，点为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到，连接，，若，，且是以为腰的等腰三角形，则　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当时，如图，过作于，交于点，
四边形是长方形，
，
，
，
是长方形的对称轴，
如图，连接，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得：，
；
②当时，如图，过作，交于，交于，
∵，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
四边形为矩形，
，，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】利用等腰三角形的定义分情况讨论：①当时，如图，过作于，交于点，利用矩形的性质可证得AB∥CD，可证得FN⊥C D，可证得MN是矩形的对称轴；连接，易证△ABF是等边三角形，可证得∠ABF=60°，利用折叠的性质可求出∠ABE的度数，利用解直角三角形求出AE的长；②当时，如图，过作，交于，交于，利用已知可得到BH的长，再利用勾股定理求出FH的长，易证四边形ABGH是矩形，利用矩形的性质可得到GH、AG的长，即可得到FG的长；设，可表示出EF、EG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；综上所述可得到符合题意的AE的长.
22．（2025九下·成都期中）如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 并且使得，连接，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当、、三点共线时，取到最小值，此时，
延长，过点作于点，连接，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】作 并且使得，连接，利用解直角三角形求出AC的长，结合已知条件可证得，利用SAS可证△BEF∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得，由此可证得，当、、三点共线时，取到最小值，此时；延长，过点作于点，连接，利用解直角三角形求出AH的长， 再根据勾股定理可求出AF的长，即可求解.
23．（2025九下·成都期中）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．如图，已知点，，在点，，中，点 　 　是弦的“可及点”，其中　 　；已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，则的取值范围为　 　．
【答案】；45；或
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】 【解答】解：由相对运动，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
∵点，，
∴，
而，
∴，
由对称得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设半径为，
则，故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
∴点是弦的“可及点”，
可知三点共线，
∵，
∴，
由相对运动，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
故点P需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，
∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），
∴，
∴，
由对称得点在的垂直平分线上，
∵的外接圆为，
∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，
∴，
∴，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，
∵，
∴当最大，时，此时为等边三角形，
由上述过程知
∴，
∴当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，
当，当时，，
解得，
∴与x轴交于点，
∴，而
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范围是或．
故答案为：，45，或
【分析】由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，利用点A、B的坐标可证得OA=OB=1，易证△O'BA是等腰直角三角形，可得到点O'的坐标，设圆O的半径为R，可推出在外，不符合题意；求出C2O'的长，可知在上，符合题意；再利用勾股定理求出O'C3的长，可知在外，不符合题意，可证得点是弦的“可及点”，点三点共线，同时可求出 的度数；由相对运动，作出关于的对称圆，利用已知可知点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，可证得点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N）， 利用圆周角定理可求出∠MO''N的度数，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠O''MN的度数，利用三角形外接圆的性质可知点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，利用解直角三角形求出MQ的长，利用垂径定理可求出MN的长；随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，可求出MN的最大值；连接，易证当最大，时，此时为等边三角形，可求出OP的最大值，设，根据OP的长可得到关于t的方程，解方程求出t的值；记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，利用函数解析式求出点T的坐标，利用解直角三角形可证得△OTS是等边三角形，可求出∠TOS的度数，利用解直角三角形去处OL，LS的值，可得到点S的坐标，即可求出t的取值范围.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025九下·成都期中）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元．
（1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克；
（2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？
【答案】（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
，
答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克；
（2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元，
，
解得，
答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，根据两种水果总重量为列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）水蜜桃降价销售的价格为m元，根据这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
25．（2025九下·成都期中）抛物线：与轴交于两点（点在点左侧），抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当时，求抛物线的函数表达式以及顶点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线：经过抛物线的顶点，直线与抛物线有两个公共点，它们的横坐标分别记为，直线与直线的交点的横坐标记为，若当时，总有，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），，∴点，的坐标分别为，
∵点在抛物线上，
∴将点的坐标代入抛物线的函数表达式，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴顶点的坐标为
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（3）解：
由（2）知点的坐标为
当时，解得，
当时，解得
且当时，总有，
如图，则有即，
∵直线与直线的交点横坐标记，
∴，
∴将代入点与
解之：
．
【分析】（1）利用抛物线对称轴的公式进行求解即可；
（2）利用抛物线的对称轴和可得到点A、B的坐标，将点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，可得到抛物线的解析式，将其函数解析式转化为顶点式，可得到点D的坐标.
（3）由（2）知点的坐标，求出当y=-1和y=-2时的x的值，可得到当时，总有，利用图象可推出，利用已知可得到x3的取值范围，将点D的坐标和（4，-2）代入y=kx+b，可得到k的值，即可得到k的取值范围.
（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），，
∴点，的坐标分别为，
∵点在抛物线上，
∴将点的坐标代入抛物线的函数表达式，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴顶点的坐标为；
（3）解：
由（2）知点的坐标为
当时，解得，
当时，解得
且当时，总有，
如图，则有即，
∵直线与直线的交点横坐标记，
∴，
∴将代入点与得
．
26．（2025九下·成都期中）在中，，点D，E分别在边上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点F与点C重合时，求证：；
（2）如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明；
（3）如图3，若点E为中点，，当点F在线段上时，求此时线段的长．
【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
∴
（2）结论：．
在上取点M，使得，取中点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵为直角三角形斜边中线且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，作，交于点H，在中，，
∴.
∵点E是的中点，
∴.
根据勾股定理，得．
∵，
解得.
在，
则，
∴，
∴．
如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，
设，，
∴，
根据勾股定理，得.
同理，在中，令，则，，
∵，
∴．
∵，，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
即，，
解得，．
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先连接，利用旋转的性质可证得DE=CD，利用等边对等角可证得，由此可推出，利用等角对等边可证得，由此可证得结论.
（2）在上取点M，使得，取中点N，连接，利用等边对等角可证得，利用三角形的内角和定理可表示出∠AEM的度数，同时可证得，再利用SAS可证得△AED≌△MEF，利用全等三角形的性质可证得，.，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及平行线的性质可推出NG=FN，∠FNM=2，由此可证得FM=FN=BN=GN，即可证得结论.
（3）作，交于点H，在中，利用解直角三角形去处AC的长，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式可求出EH的长，再利用解直角三角形求出AH的长，可得到BH的长，即可求出tan∠ABE的值；过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，设，可表示出AI的长，同理，在中，令，可表示出DL、DE、DF的长；再证明，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可表示出FJ、DI、BJ的长，根据，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到AD的长.
（1）证明：连接，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：．
在上取点M，使得，取中点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵为直角三角形斜边中线且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交于点H，
在中，，
∴.
∵点E是的中点，
∴.
根据勾股定理，得．
∵，
解得.
在，
则，
∴，
∴．
如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，
设，，
∴，
根据勾股定理，得.
同理，在中，令，则，，
∵，
∴．
∵，，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
即，，
解得，．
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
1 / 1四川省成都市七中育才学校2024-2025学年九年级下学期4月模拟数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2025九下·成都期中）的绝对值是（　　）
A． B．0 C．2025 D．
2．（2025九下·成都期中）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·成都期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·成都期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·成都期中）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：38，39，35，37，则这组数据的中位数是（　　）
A．37 B．37.5 C．38 D．39
6．（2025九下·成都期中）《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·成都期中）如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
8．（2025九下·成都期中）如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．是方程的解
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025九下·成都期中）因式分解：　 　．
10．（2025九下·成都期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是　 　．
11．（2025九下·成都期中）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是　 　cm2.
12．（2025九下·成都期中）如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是　 　．
13．（2025九下·成都期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 　 　 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025九下·成都期中）（1）计算：﹣2cos30°+（π﹣1）0+|1﹣|；
（2）解不等式组．
15．（2025九下·成都期中）冬季是各类呼吸道传染病的高发季，某市疾控中心对一周内上报的新冠、支原体、甲流、乙流病毒感染者人数做了统计，整理分析绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知一周内统计的感染者总人数为__________人，图中m的值为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）该疾控中心决定进行传染病防治宣传工作，现有工作人员2名男生和2名女生，要求从中随机选取2人，若每个工作人员被选取的可能性相等，求选取的2人中至少有1名男生的概率（画树状图或列表法）
16．（2025九下·成都期中）为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图，测得面板长为，为（厚度忽略不计）．当面板绕点转动时，面板与桌面即水平方向的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度增加了多少？（结果精确到，参考数据：，，
17．（2025九下·成都期中）如图，在△中，以为直径作交、于点、，且是的中点，过点作于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径和的长．
18．（2025九下·成都期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点A，，过点的直线与双曲线交于，两点（点在点的右侧）．
（1）求的值及线段的长；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，若，求点C的坐标；
（3）将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点，（点在点左侧），当时，求的值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025九下·成都期中）已知非零实数a，b满足，则　 　．
20．（2025九下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则　 　．
21．（2025九下·成都期中）如图所示，长方形纸片，点为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到，连接，，若，，且是以为腰的等腰三角形，则　 　．
22．（2025九下·成都期中）如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为　 　.
23．（2025九下·成都期中）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．如图，已知点，，在点，，中，点 　 　是弦的“可及点”，其中　 　；已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，则的取值范围为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025九下·成都期中）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元．
（1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克；
（2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？
25．（2025九下·成都期中）抛物线：与轴交于两点（点在点左侧），抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当时，求抛物线的函数表达式以及顶点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线：经过抛物线的顶点，直线与抛物线有两个公共点，它们的横坐标分别记为，直线与直线的交点的横坐标记为，若当时，总有，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．
26．（2025九下·成都期中）在中，，点D，E分别在边上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点F与点C重合时，求证：；
（2）如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明；
（3）如图3，若点E为中点，，当点F在线段上时，求此时线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可．
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．主视图为矩形，左视图为三角形，所以A选项不符合题意；
B．主视图和左视图都为等腰梯形，所以B选项不符合题意；
C．主视图和左视图都为三角形，所以C选项不符合题意；
D．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以D符合题意；
故答案为：D．
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形；左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，再观察各选项中的几何体，可得到三视图的主视图和左视图都为矩形的选项.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：解： 与 不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
故选项 B不符合题意；
故选项 C不符合题意；
故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式，合并同类项，积的乘方，完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可.
4．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：D.
【分析】根据关于坐标原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，37，38，39，
中位数为．
故答案为：B．
【分析】求中位数的方法是：把已知数据先按从小到大或从大到小的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此可求出这组数据的中位数
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设客人为x人，银有y两，
根据题意，得
即
故答案为：B．
【分析】等量关系为：7×客人的数量+4=银的总数量；9×客人的数量-8=银的总数量；据此可得到关于x、y的方程组.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，，
∴，，，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A.根据图象可知，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，，，故该选项错误，不符合题意；
B.由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意；
C. 由图象可知，当时，，故该选项错误，不符合题意；
D. ∵抛物线和直线都经过点，
∴是方程的解，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式5x，再利用平方差公式进行第二次分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.
10．【答案】且
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【分析】利用一元二次方程的概念可知m≠0，再根据此方程有两个实数根，可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集，可求出m的取值范围.
11．【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
12．【答案】112.5°
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
， ，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BF平分∠EBD，
，
．
故答案为：．
【分析】正方形的性质“正方形的四个角都是直角；每条对角线平分一组对角”可得，，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”可得BF平分，所以，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠FPC=∠PBC+∠BCP可求解.
13．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段
∵的周长为21，
故答案为：12．
【分析】根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可
14．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：解不等式①，得x≤1；
解不等式②，得x＞-3，
∴不等式组的解集是-3＜x≤1
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1），根据，，，，再计算即可；
（2）先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．
（1）原式=
=
=；
（2）解不等式①，得x≤1；
解不等式②，得x＞-3，
∴不等式组的解集是-3＜x≤1．
15．【答案】（1）500，18
（2）解：患甲流的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
　 男 男 女 女
男 / 男男 男女 男女
男 男男 / 男女 男女
女 女男 女男 / 女女
女 女男 女男 女女 /
共有种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有种，
∴选取的2人中至少有1名男生的概率为：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由图可知一周内统计的感染者总人数为：（人）；
，
故答案为：；
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图提供的数据，用患新冠的人数除以其所占的百分比即可算出一周内统计的感染者总人数；进而利用患乙流的人数除以本次调查的总人数即可求出 一周内统计的感染者中患乙流的人数所占的百分比，从而得出m的值；
（2）用 一周内统计的感染者总人数乘以患甲流的人数所占比例即可求出患甲流的人数，从而即可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意用列表格的形式列举出所有等可能的情况数，由表可知共有12种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有10种，从而根据概率公式计算即可.
（1）解：由图可知一周内统计的感染者总人数为：（人）；
，
故答案为：；
（2）解：患甲流的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
共有种等可能的结果，选取的2人中至少有1名男生的结果有种，
∴选取的2人中至少有1名男生的概率为：
16．【答案】解：如图，过点作，过点作于点，
．
，，
．
当时，；
当时，；
当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，过点作于点，利用直角三角形的函数比求解即可．
17．【答案】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴.
∵D是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴是的中位线，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线
（2）解：由（1），得，∴.
∵是直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴.
根据勾股定理，得，
即，
解得，（舍去）.
∴，
所以的半径是；
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
根据勾股定理，得，
∴
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角是直角，可证得，利用圆周角定理的推论可证得，利用ASA可证得△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得AD=CD，由此可推出是的中位线，利用三角形中位线定理可得到DO∥BC，然后证明DO⊥DF，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）由（1）得，由DF∥AE可证得，利用相似三角形的性质可求出AE的长，再利用解直角三角形可证得AB=3BE，利用勾股定理可求出BE的长，可得到AB的长，由此可得到圆的半径长，利用全等三角形的性质可求出BC的长，即可得到CE的长；利用相似三角形的性质可求出CF的长，然后利用勾股定理求出CD的长，即可得到AC的长.
（1）证明：连接，
∵是直径，
∴.
∵D是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴是的中位线，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：由（1），得，
∴.
∵是直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴.
根据勾股定理，得，
即，
解得，（舍去）.
∴，
所以的半径是；
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
根据勾股定理，得，
∴.
18．【答案】（1）解：把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为
把代入得：，
∴点A的坐标为，
∴
（2）解：如图1所示，
∵，
∴，，
设直线的表达式为，
∴，，
∴，
解得（舍）或，
∴
（3）解：的图象沿着直线翻折后，如图2所示，
当时，有，
∴，
，
设，则，
解得：，
∴
根据折叠可知：M在原反比例函数上的对应点为，
即此点坐标为：
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数解析式求出a的值，可得到一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点A的坐标；然后利用勾股定理求出AB的长.
（2）利用已知可得到CE的长，设直线的表达式为，将点C、D的坐标分别代入函数解析式可求出符合题意的b的值，可得到点C的坐标.
（3）先根据折叠画出图形，利用相似三角形的性质可证得，根据，得出，设，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标，再利用折叠可求出M在原反比例函数上的对应点的坐标，即可求出此点的坐标，利用待定系数法求出k的值.
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为
把代入得：，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：如图1所示，
∵，
∴，，
设直线的表达式为，
∴，，
∴，
解得（舍）或，
∴；
（3）解：的图象沿着直线翻折后，如图2所示，
当时，有，
∴，
，
设，则，
解得：，
∴
根据折叠可知：M在原反比例函数上的对应点为，
即此点坐标为：
∴．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简；再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
20．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：
根据正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，
∴AO=BO，
，
，
是等腰三角形，
过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得
∴
∵反比例函数的图形位于二、四象限
故答案为：．
【分析】首先根据反比例函数的对称性，得出OA=OB，进而得出，过点作于点，根基等腰三角形的性质，可得出。进而根据k的几何意义，以及双曲线所在的象限，即可得出k的值。
21．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当时，如图，过作于，交于点，
四边形是长方形，
，
，
，
是长方形的对称轴，
如图，连接，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得：，
；
②当时，如图，过作，交于，交于，
∵，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
四边形为矩形，
，，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】利用等腰三角形的定义分情况讨论：①当时，如图，过作于，交于点，利用矩形的性质可证得AB∥CD，可证得FN⊥C D，可证得MN是矩形的对称轴；连接，易证△ABF是等边三角形，可证得∠ABF=60°，利用折叠的性质可求出∠ABE的度数，利用解直角三角形求出AE的长；②当时，如图，过作，交于，交于，利用已知可得到BH的长，再利用勾股定理求出FH的长，易证四边形ABGH是矩形，利用矩形的性质可得到GH、AG的长，即可得到FG的长；设，可表示出EF、EG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；综上所述可得到符合题意的AE的长.
22．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 并且使得，连接，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当、、三点共线时，取到最小值，此时，
延长，过点作于点，连接，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】作 并且使得，连接，利用解直角三角形求出AC的长，结合已知条件可证得，利用SAS可证△BEF∽△ADC，利用相似三角形的性质可证得，由此可证得，当、、三点共线时，取到最小值，此时；延长，过点作于点，连接，利用解直角三角形求出AH的长， 再根据勾股定理可求出AF的长，即可求解.
23．【答案】；45；或
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】 【解答】解：由相对运动，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
∵点，，
∴，
而，
∴，
由对称得：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设半径为，
则，故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
∴点是弦的“可及点”，
可知三点共线，
∵，
∴，
由相对运动，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
故点P需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，
∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），
∴，
∴，
由对称得点在的垂直平分线上，
∵的外接圆为，
∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，
∴，
∴，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，
∵，
∴当最大，时，此时为等边三角形，
由上述过程知
∴，
∴当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，
当，当时，，
解得，
∴与x轴交于点，
∴，而
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范围是或．
故答案为：，45，或
【分析】由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，利用点A、B的坐标可证得OA=OB=1，易证△O'BA是等腰直角三角形，可得到点O'的坐标，设圆O的半径为R，可推出在外，不符合题意；求出C2O'的长，可知在上，符合题意；再利用勾股定理求出O'C3的长，可知在外，不符合题意，可证得点是弦的“可及点”，点三点共线，同时可求出 的度数；由相对运动，作出关于的对称圆，利用已知可知点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，可证得点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N）， 利用圆周角定理可求出∠MO''N的度数，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠O''MN的度数，利用三角形外接圆的性质可知点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，利用解直角三角形求出MQ的长，利用垂径定理可求出MN的长；随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，可求出MN的最大值；连接，易证当最大，时，此时为等边三角形，可求出OP的最大值，设，根据OP的长可得到关于t的方程，解方程求出t的值；记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，利用函数解析式求出点T的坐标，利用解直角三角形可证得△OTS是等边三角形，可求出∠TOS的度数，利用解直角三角形去处OL，LS的值，可得到点S的坐标，即可求出t的取值范围.
24．【答案】（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
，
答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克；
（2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元，
，
解得，
答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，根据两种水果总重量为列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）水蜜桃降价销售的价格为m元，根据这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
25．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），，∴点，的坐标分别为，
∵点在抛物线上，
∴将点的坐标代入抛物线的函数表达式，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴顶点的坐标为
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（3）解：
由（2）知点的坐标为
当时，解得，
当时，解得
且当时，总有，
如图，则有即，
∵直线与直线的交点横坐标记，
∴，
∴将代入点与
解之：
．
【分析】（1）利用抛物线对称轴的公式进行求解即可；
（2）利用抛物线的对称轴和可得到点A、B的坐标，将点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，可得到抛物线的解析式，将其函数解析式转化为顶点式，可得到点D的坐标.
（3）由（2）知点的坐标，求出当y=-1和y=-2时的x的值，可得到当时，总有，利用图象可推出，利用已知可得到x3的取值范围，将点D的坐标和（4，-2）代入y=kx+b，可得到k的值，即可得到k的取值范围.
（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），，
∴点，的坐标分别为，
∵点在抛物线上，
∴将点的坐标代入抛物线的函数表达式，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴顶点的坐标为；
（3）解：
由（2）知点的坐标为
当时，解得，
当时，解得
且当时，总有，
如图，则有即，
∵直线与直线的交点横坐标记，
∴，
∴将代入点与得
．
26．【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
∴
（2）结论：．
在上取点M，使得，取中点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵为直角三角形斜边中线且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，作，交于点H，在中，，
∴.
∵点E是的中点，
∴.
根据勾股定理，得．
∵，
解得.
在，
则，
∴，
∴．
如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，
设，，
∴，
根据勾股定理，得.
同理，在中，令，则，，
∵，
∴．
∵，，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
即，，
解得，．
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先连接，利用旋转的性质可证得DE=CD，利用等边对等角可证得，由此可推出，利用等角对等边可证得，由此可证得结论.
（2）在上取点M，使得，取中点N，连接，利用等边对等角可证得，利用三角形的内角和定理可表示出∠AEM的度数，同时可证得，再利用SAS可证得△AED≌△MEF，利用全等三角形的性质可证得，.，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及平行线的性质可推出NG=FN，∠FNM=2，由此可证得FM=FN=BN=GN，即可证得结论.
（3）作，交于点H，在中，利用解直角三角形去处AC的长，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式可求出EH的长，再利用解直角三角形求出AH的长，可得到BH的长，即可求出tan∠ABE的值；过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，设，可表示出AI的长，同理，在中，令，可表示出DL、DE、DF的长；再证明，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可表示出FJ、DI、BJ的长，根据，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到AD的长.
（1）证明：连接，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：．
在上取点M，使得，取中点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵为直角三角形斜边中线且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作，交于点H，
在中，，
∴.
∵点E是的中点，
∴.
根据勾股定理，得．
∵，
解得.
在，
则，
∴，
∴．
如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，
设，，
∴，
根据勾股定理，得.
同理，在中，令，则，，
∵，
∴．
∵，，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
即，，
解得，．
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
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