资源简介

广东省茂名市电白区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题10大题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（2025九下·电白期中）我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（　　）
A．公里 B．公里
C．公里 D．公里
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
2．（2025九下·电白期中） 的倒数是（　　）
A．4 B．-4 C． D．16
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵- ×(-4)=1，
∴ 的倒数是-4.
故答案为：B．
【分析】乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义即可得出答案。
3．（2025九下·电白期中）如图，一个弯曲管道，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补“，然后列式计算即可得出结果．
4．（2025九下·电白期中）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2，
由x+1＜0，得x＜﹣1，
所以不等式组无解，
故答案为：B．
【分析】
先解出各个不等式，然后再数轴上表示出解集即可解答．
5．（2025九下·电白期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴在第一象限y随x的增大而减小，
又∵点和点都在直线上，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据，即可得出在第一象限y随x的增大而减小，进而根据，即可得出．
6．（2025九下·电白期中）如图，菱形中，对角线、交于点O，菱形周长为24，点P是边的中点，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴，点O为的中点，
∵P是的中点，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】首先根据菱形的性质得出，进而再根据三角形中位线定理得出．
7．（2025九下·电白期中）《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设客人为x人，银有y两，
根据题意，得
即
故答案为：B．
【分析】等量关系为：7×客人的数量+4=银的总数量；9×客人的数量-8=银的总数量；据此可得到关于x、y的方程组.
8．（2025九下·电白期中）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（　　）m
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；正切的概念
【解析】【解答】解：在中，
米，为，
（米）．
故答案为：C．
【分析】
在中，米，为，利用三角函数正切的定义，计算即可解答．
9．（2025九下·电白期中）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；余弦的概念
【解析】【解答】解：连接、，
点A是的中点，
，CE=DE
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，，，，，
，
是的直径，
，
故答案为：D．
【分析】
连接、，根据垂径定理得，CE=DE，从而得到，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，再由特殊的三角函数值得出， 从而计算得到然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可解答．
10．（2025九下·电白期中）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：当时，则，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；
二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当时，，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点；
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故答案为：D ．
【分析】
结合题意，按ａ的符号分成两种情况讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判断即可．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025九下·电白期中）因式分解： 　 　.
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分解因式。
12．（2025九下·电白期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不等于，列出关于字母x的不等式组，求解即可.
13．（2025九下·电白期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据零指数幂计算=1，再由负整数指数幂计算=，再进行减法运算解答即可．
14．（2025九下·电白期中）如图，在中，，是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N作直线，分别交于点E，F，连接，若的周长为，则四边形的面积为　 　．
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题可知，是线段的垂直平分线，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形是菱形，
∵ ，
，
∴，
设，则，
∴在中，
即，，
．
故答案为：
【分析】
根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义得到，可由此推导出四边形是菱形，再通过周长关系计算得到CD=4，设，则，利用勾股定理建立方程计算可得x=5，再计算面积即可解答．
15．（2025九下·电白期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【分析】根据题意写出甲烷、乙烷、丙烷的化学式，进而即可得到碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，从而即可求解。
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025九下·电白期中）解方程：
【答案】解：两边同时乘以得，
当时，，
所以原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式方程的解法：两边都乘以化为整式方程求解，然后解一元一次方程得到x=2，再验根即可解答．
17．（2025九下·电白期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再把代入到化简后的结果计算即可.
18．（2025九下·电白期中）如图1所示，西安灞河元朔大桥是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥，其设计理念以“千古一舟”为主题，寓意“舟行古今、跨越时代”．数学实践小组想用所学知识测量元朔大桥中一座桥塔的高度．组员走走设计了如下方案：如图2，点C 是桥面与桥塔的交点，走走在桥面上点D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，桥塔底部A 的俯角（）为，走走沿方向退至点E，测得桥塔顶部B的仰角（）为．经测量得米 ，．请帮走走求桥塔的高度．
（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
【答案】解：在中，，设，则，
又∵，
∴，
在中，，
则，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
答：桥塔的高度约为64米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；已知正弦值求边长
【解析】【分析】在中，，设，则，求出，再根据31的正切得出，再建立方程计算可得x=54，再根据10的正切得出AC=9.72，再根据线段的和差计算可得AB的值，解答即可．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025九下·电白期中）我市某中学为了充分提高学生参与“大课间”活动的积极性，校体育组针对“你愿意参加哪一种‘大课间’活动（从跳绳、呼啦圈、篮球、排球四项中选一项）”进行了抽样调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？
（2）补全频数分布折线统计图．
（3）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
（4）针对该校“大课间”活动，谈谈你的想法和建议．
【答案】（1）解：（名），
答：一共调查了100名学生；
（2）解：喜欢篮球人数为：（人），
喜欢排球人数为（人），
补全频数分布折线统计图如下：
（3）解：，
答：喜欢排球所占的圆心角的度数是；
（4）解：根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场（答案不唯一合理即可）
【知识点】频数（率）分布折线图；扇形统计图
【解析】【分析】
（1）从图1可知喜欢呼啦圈的有20人，从图2知呼啦圈占20%，根据总人数=，计算即可解答；
（2）先求出喜欢篮球人数为：，再计算喜欢排球人数为，再画出折线统计图解答即可；
（3）先求出排球所占的百分比，然后360°×就是圆心角的度数，解答即可；
（4）根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场，答案不唯一合理即可．
（1）（名），
答：一共调查了100名学生；
（2）喜欢篮球人数为：（人），
喜欢排球人数为（人），
补全频数分布折线统计图如下：
（3），
答：喜欢排球所占的圆心角的度数是；
（4）根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场．
20．（2025九下·电白期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元
则
即
∵
∴w随m的增大而增大
又
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时(个).
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题围绕二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数在实际销售盈利问题中的应用展开.
(1)需从题干提取 4件A娃娃与5件B娃娃费用相同，A娃娃进价比B娃娃多2元两个等量关系，设未知数构建方程组求解进价；
(2)先依据资金不超1700元设A娃娃购进数量，列不等式确定取值范围，再构建总利润关于该数量的一次函数，结合函数增减性求最大利润及对应进货方案，核心是将实际问题转化为数学模型(方程组，不等式，函数)求解.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
21．（2025九下·电白期中）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．
【答案】解：（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2），∴m=﹣1．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴，解得
∴直线的表达式为y=﹣2x+1；
（2）当y=﹣2x+1=0时，x=，
∴点C（，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2，
解得：x1=﹣，x2=．
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，可求出m值，从而确定反比例函数解析式。再将点B的坐标代入该反比例函数解析式，求出n值。最后将A、B两点的坐标代入一次函数表达式，即可求得一次函数解析式。
（2）通过一次函数图象上点的坐标特征，先求出点C的坐标。设点P的坐标为(x，0)，根据三角形面积公式及S△ABP=3的条件，可得方程，解这个绝对值方程即可得到x的值。
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025九下·电白期中）如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
【答案】证明：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；扇形的面积；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，可以证明∠BCD等于∠OCA。因为AB是直径，所以∠ACB为90度，因此∠OCA加上∠OCB等于∠BCD加上∠OCB，结果为90度，从而得出CD是⊙O的切线。
（2）设⊙O的半径为r，则AB长度为2r。由于∠D为30度，且∠OCD为90度，可以求出r的值为2，同时∠AOC为120度，BC长度为2。利用勾股定理可得AC的长度为2。分别计算△OAC的面积和扇形OAC的面积，即可求出阴影部分的面积。
23．（2025九下·电白期中）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把代入，得：，．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，
∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，
∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，
∴点A为，
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
联立解析式得：
解得：，
点的坐标为．
（3）又，3，，
，，．
，
．
，，
，．，
．
又，
．
当的坐标为时，．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
∴
．
综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求得点和点的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解即可；
（2）连接AD交BC于点P，点满足到四点距离之和最小，求出直线的解析式，联立两直线解析式，及方程求出点的坐标；
（3）先求出、、的长，然后得到为直角三角形，再分为三种情况画图，根据对应边成比例解题即可．
1 / 1广东省茂名市电白区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题10大题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（2025九下·电白期中）我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（　　）
A．公里 B．公里
C．公里 D．公里
2．（2025九下·电白期中） 的倒数是（　　）
A．4 B．-4 C． D．16
3．（2025九下·电白期中）如图，一个弯曲管道，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·电白期中）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·电白期中）点和点都在直线上，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·电白期中）如图，菱形中，对角线、交于点O，菱形周长为24，点P是边的中点，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
7．（2025九下·电白期中）《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·电白期中）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（　　）m
A． B． C． D．
9．（2025九下·电白期中）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．8
10．（2025九下·电白期中）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025九下·电白期中）因式分解： 　 　.
12．（2025九下·电白期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为　 　．
13．（2025九下·电白期中）计算：　 　．
14．（2025九下·电白期中）如图，在中，，是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N作直线，分别交于点E，F，连接，若的周长为，则四边形的面积为　 　．
15．（2025九下·电白期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为　 　．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025九下·电白期中）解方程：
17．（2025九下·电白期中）先化简，再求值：，其中．
18．（2025九下·电白期中）如图1所示，西安灞河元朔大桥是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥，其设计理念以“千古一舟”为主题，寓意“舟行古今、跨越时代”．数学实践小组想用所学知识测量元朔大桥中一座桥塔的高度．组员走走设计了如下方案：如图2，点C 是桥面与桥塔的交点，走走在桥面上点D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，桥塔底部A 的俯角（）为，走走沿方向退至点E，测得桥塔顶部B的仰角（）为．经测量得米 ，．请帮走走求桥塔的高度．
（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025九下·电白期中）我市某中学为了充分提高学生参与“大课间”活动的积极性，校体育组针对“你愿意参加哪一种‘大课间’活动（从跳绳、呼啦圈、篮球、排球四项中选一项）”进行了抽样调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？
（2）补全频数分布折线统计图．
（3）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
（4）针对该校“大课间”活动，谈谈你的想法和建议．
20．（2025九下·电白期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
21．（2025九下·电白期中）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025九下·电白期中）如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
23．（2025九下·电白期中）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
2．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵- ×(-4)=1，
∴ 的倒数是-4.
故答案为：B．
【分析】乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补“，然后列式计算即可得出结果．
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2，
由x+1＜0，得x＜﹣1，
所以不等式组无解，
故答案为：B．
【分析】
先解出各个不等式，然后再数轴上表示出解集即可解答．
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴在第一象限y随x的增大而减小，
又∵点和点都在直线上，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据，即可得出在第一象限y随x的增大而减小，进而根据，即可得出．
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴，点O为的中点，
∵P是的中点，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】首先根据菱形的性质得出，进而再根据三角形中位线定理得出．
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设客人为x人，银有y两，
根据题意，得
即
故答案为：B．
【分析】等量关系为：7×客人的数量+4=银的总数量；9×客人的数量-8=银的总数量；据此可得到关于x、y的方程组.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系；正切的概念
【解析】【解答】解：在中，
米，为，
（米）．
故答案为：C．
【分析】
在中，米，为，利用三角函数正切的定义，计算即可解答．
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；余弦的概念
【解析】【解答】解：连接、，
点A是的中点，
，CE=DE
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，，，，，
，
是的直径，
，
故答案为：D．
【分析】
连接、，根据垂径定理得，CE=DE，从而得到，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，再由特殊的三角函数值得出， 从而计算得到然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可解答．
10．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：当时，则，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；
二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当时，，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点；
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故答案为：D ．
【分析】
结合题意，按ａ的符号分成两种情况讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判断即可．
11．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不等于，列出关于字母x的不等式组，求解即可.
13．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据零指数幂计算=1，再由负整数指数幂计算=，再进行减法运算解答即可．
14．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题可知，是线段的垂直平分线，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形是菱形，
∵ ，
，
∴，
设，则，
∴在中，
即，，
．
故答案为：
【分析】
根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义得到，可由此推导出四边形是菱形，再通过周长关系计算得到CD=4，设，则，利用勾股定理建立方程计算可得x=5，再计算面积即可解答．
15．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【分析】根据题意写出甲烷、乙烷、丙烷的化学式，进而即可得到碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，从而即可求解。
16．【答案】解：两边同时乘以得，
当时，，
所以原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式方程的解法：两边都乘以化为整式方程求解，然后解一元一次方程得到x=2，再验根即可解答．
17．【答案】解：原式，
，
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再把代入到化简后的结果计算即可.
18．【答案】解：在中，，设，则，
又∵，
∴，
在中，，
则，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
答：桥塔的高度约为64米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；已知正弦值求边长
【解析】【分析】在中，，设，则，求出，再根据31的正切得出，再建立方程计算可得x=54，再根据10的正切得出AC=9.72，再根据线段的和差计算可得AB的值，解答即可．
19．【答案】（1）解：（名），
答：一共调查了100名学生；
（2）解：喜欢篮球人数为：（人），
喜欢排球人数为（人），
补全频数分布折线统计图如下：
（3）解：，
答：喜欢排球所占的圆心角的度数是；
（4）解：根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场（答案不唯一合理即可）
【知识点】频数（率）分布折线图；扇形统计图
【解析】【分析】
（1）从图1可知喜欢呼啦圈的有20人，从图2知呼啦圈占20%，根据总人数=，计算即可解答；
（2）先求出喜欢篮球人数为：，再计算喜欢排球人数为，再画出折线统计图解答即可；
（3）先求出排球所占的百分比，然后360°×就是圆心角的度数，解答即可；
（4）根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场，答案不唯一合理即可．
（1）（名），
答：一共调查了100名学生；
（2）喜欢篮球人数为：（人），
喜欢排球人数为（人），
补全频数分布折线统计图如下：
（3），
答：喜欢排球所占的圆心角的度数是；
（4）根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场．
20．【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元
则
即
∵
∴w随m的增大而增大
又
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时(个).
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题围绕二元一次方程组，一元一次不等式与一次函数在实际销售盈利问题中的应用展开.
(1)需从题干提取 4件A娃娃与5件B娃娃费用相同，A娃娃进价比B娃娃多2元两个等量关系，设未知数构建方程组求解进价；
(2)先依据资金不超1700元设A娃娃购进数量，列不等式确定取值范围，再构建总利润关于该数量的一次函数，结合函数增减性求最大利润及对应进货方案，核心是将实际问题转化为数学模型(方程组，不等式，函数)求解.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
21．【答案】解：（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2），∴m=﹣1．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴，解得
∴直线的表达式为y=﹣2x+1；
（2）当y=﹣2x+1=0时，x=，
∴点C（，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2，
解得：x1=﹣，x2=．
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，可求出m值，从而确定反比例函数解析式。再将点B的坐标代入该反比例函数解析式，求出n值。最后将A、B两点的坐标代入一次函数表达式，即可求得一次函数解析式。
（2）通过一次函数图象上点的坐标特征，先求出点C的坐标。设点P的坐标为(x，0)，根据三角形面积公式及S△ABP=3的条件，可得方程，解这个绝对值方程即可得到x的值。
22．【答案】证明：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
【知识点】三角形的面积；切线的判定；扇形的面积；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，可以证明∠BCD等于∠OCA。因为AB是直径，所以∠ACB为90度，因此∠OCA加上∠OCB等于∠BCD加上∠OCB，结果为90度，从而得出CD是⊙O的切线。
（2）设⊙O的半径为r，则AB长度为2r。由于∠D为30度，且∠OCD为90度，可以求出r的值为2，同时∠AOC为120度，BC长度为2。利用勾股定理可得AC的长度为2。分别计算△OAC的面积和扇形OAC的面积，即可求出阴影部分的面积。
23．【答案】解：（1）把代入，得：，．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，
∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，
∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，
∴点A为，
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
联立解析式得：
解得：，
点的坐标为．
（3）又，3，，
，，．
，
．
，，
，．，
．
又，
．
当的坐标为时，．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
∴
．
综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求得点和点的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解即可；
（2）连接AD交BC于点P，点满足到四点距离之和最小，求出直线的解析式，联立两直线解析式，及方程求出点的坐标；
（3）先求出、、的长，然后得到为直角三角形，再分为三种情况画图，根据对应边成比例解题即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑