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四川省成都市青羊区石室联合中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（32分）
1．（2025七下·青羊期中）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．（2025七下·青羊期中）“新冠肺炎”全球疫情触目惊心，截至北京时间4月28日，查询到的数据显示全球累积确诊病例3002303，与2020年世界总人口之比约为0.000396，其中0.000396用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000396小数点向右移动4位为，
因此，
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式，其中|a|＜1，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数.
3．（2025七下·青羊期中）下列各数：0，，，，，，，0.3030030003…，中无理数个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、、0.3030030003…是无理数，因此无理数有3个，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的数是无理数，据此可得无理数的个数.
4．（2025七下·青羊期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂相乘的法则，可对A作出判断；利用同底数幂相除的法则，可对B作出判断；再利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；然后根据积的乘方法则，可对D作出判断.
5．（2025七下·青羊期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答解：A、∵只有两个条件，不能作出唯一三角形，∴A不符合题意；
B、∵属于全等三角形判定中的情况，不能作出唯一三角形，∴B不符合题意；
C、∵不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形，∴C不符合题意；
D、∵符合全等三角形的，能作出唯一三角形，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法及三角形三边的关系逐项分析判断即可.
6．（2025七下·青羊期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、可判定，故此选项符合题意；
B、可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
C、可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
D、可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．（2025七下·青羊期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）
A．50 B．62 C．65 D．68
【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵AE=AB
∴，
∴=3，=6，
同理证得，，
∴，
故．
故答案为：A．
【分析】由垂直的定义得，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出，从而用“AAS”判断出△EFA≌△ABG，由全等三角形的对应边相等得AF=BG=3，AG=EF=6，同理CG=DH=4，CH=BG=3，然后根据线段和差算出FH=16，最后利用割补法，由阴影部分的面积等于S梯形EFHD-S△AEF-S△ABG-S△BCG-S△CDH，列式计算即可.
8．（2025七下·青羊期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：延长FG交CD于点I，
∵，
∴，
∵，
∴∠IFD=∠IGH=90°，
∵，
∴∠AFD+∠D=∠AFI+∠IFD+∠D=180°，
∴，
∵，
∴，
解得，故①正确；
∵EH∥FD，
∴ ∠EHI=∠D=30°，
∴，故②正确；
∵，
∴，
无法判定，故③错误；
∵，
∴，
无法判定，故④错误，
故答案为：B．
【分析】延长FG交CD于点I，由垂直定义及二直线平行，同位角相等可推出∠IFD=∠IGH=90°，由二直线平行，同旁内角互补可推出，结合可求出∠D的度数，从而可判断①；由二直线平行，同位角相等得出∠EHI=∠D=30°，从而即可判断②；由二直线平行，内错角相等得，但无法判定，据此可判断③；由二直线平行，内错角相等得，但无法判定，据此可判断④.
二、填空题（20分）
9．（2025七下·青羊期中）的算术平方根是　 　
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
10．（2025七下·青羊期中）当，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据有理数乘方运算法则将第二个因数变形为底数为3的形式，然后根据幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法运算法则进行计算，最后整体代入根据有理数乘方运算法则计算出答案.
11．（2025七下·青羊期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是　 　．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF=2，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，结合三角形面积计算公式建立方程，求解即可.
12．（2025七下·青羊期中）如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由对折可得：，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】由折叠性质得，由邻补角可得代入1=2∠2，即可求出 ∠2与∠1的度数，最后再根据两直线平行，内错角相等得出∠3=∠1，即可得出答案.
13．（2025七下·青羊期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放　 　根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是　 　．
【答案】2；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当时，这样的小棒最多摆放2根；
如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，
∵最多能摆放5根小棒，
∴，，
∴．
故答案为：2，．
【分析】
根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠AA2A1=∠BAC=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠A2A1A3=∠AA2A1+∠BAC=60°，结合已知可得△A2A1A3是等边三角形，进而得出∠A1A2A3=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠AA2A3=∠AA2A1+∠A1A2A3=90°，当∠AA2A3=90°时，就无法再摆放小棒了，因此当∠BAC=30°时，这样的小棒最多摆放2根小棒；
（2）通过递推可知：每增加一根小棒，对应的角度累加 。即第k根小棒对应的外角为k （由等腰三角形性质和外角定理归纳得出）。最多摆放5根小棒，说明第5根小棒可摆放（对应角度），第6根不可摆放（对应角度），于是得到．
三、解答题
14．（2025七下·青羊期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，再计算加减.
（2）先算乘方运算，再算乘除法运算即可.
（1）解：
；
（2）
15．（2025七下·青羊期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，再代入求值．
16．（2025七下·青羊期中）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）．
（1）画出关于直线对称的；
（2）在直线上画出点，使最小．
【答案】（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求；
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质作出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1、然后画△A1B1C1即可.
（2）点C和点C1关于直线DE对称，因此连接，交直线于点，此时点P即为所求．
（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求；
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。
17．（2025七下·青羊期中）已知，如图，点在同一直线上，，，，
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据线段构成及等量加等量和相等推出AB=ED，从而根据“SAS”可证△ABC≌△EDF；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再由全等三角形的对应角相等得出∠E=∠A=30°.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
18．（2025七下·青羊期中）已知直线、，点A、B为分别在直线、上，点C为平面内一点，连接、，且．
（1）求证：；
（2）如图2，射线、分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数．
【答案】（1）证明：过作，如图所示，
，
，
，
，
，
（2）如图所示，连接并延长交于点，
∵射线、分别平分和，
∴，，
∵，，，
∴，
而，
，
，
与（1）同理可得：，
，
，
即，
，
，
，
，
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）过作，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠NAC=∠ACS，再利用已知可证得∠BCS=∠CBQ，再利用内错角相等，两直线平行，可证得PQ∥CS，然后利用平行线公理的推论可证得结论.
（2）连接并延长交于点，利用角平分线的性质和三角形外角的性质可推出，结合已知条件可证得，由此可推出，据此可求出∠EAD的度数.
（1）证明：过作，如图所示，
，
，
，
，
，
；
（2）如图所示，连接并延长交于点，
∵射线、分别平分和，
∴，，
∵，，，
∴，
而，
，
，
与（1）同理可得：，
，
，
即，
，
，
，
，
．
四、填空题（20分）
19．（2025七下·青羊期中）已知，那么的值为　 　.
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
【分析】利用几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．可求出a、b的值，然后将a、b的值代入代数式进行计算即可.
20．（2025七下·青羊期中）若，则的末位数字是　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：
，
的末位数是2，的末位数是4，的末位数是8，的末位数是6，的末位数是2，…
末位数是2，4，8，6，…
每4个一循环，
，
所以的末位数是6，
所以的末位数是5，
所以的末位数是，
故答案为：2．
【分析】利用平方差公式，可得到A的值，分别求出2、22、23、24、25，根据其结果可得到末尾数字是4个一循环，据此可得到的末位数，然后求出A的末尾数字即可.
21．（2025七下·青羊期中）如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用线段垂直平分线的性质和等边对等角可证得，，再利用三角形内角和定理和对顶角相等，可求出的度数，据此可求出∠A+∠B的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠MCN的度数.
22．（2025七下·青羊期中）如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点，.若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AD.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，DC=，
，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AP=PC，
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴周长=DP+PC+DC，当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【分析】连接AP，AD，利用等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，同时可求出DC的长，利用三角形的面积公式求出AD的长；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=PC，据此可求出DP+CP的最小值，由此可求出△PCD周长的最小值.
23．（2025七下·青羊期中）如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，则①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有　 　．
【答案】①②④⑤
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵△ACD与△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE， ①正确；
∴∠DOM=∠ACD=60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠DOM＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，∠AMC＝∠DNC，CM＝CN，②④正确；
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤。
【分析】由等边三角形性质得AC=CD，CE=CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，由平角推出 ∠ACE＝∠BCD＝120°，从而可用“SAS”证明△ACE≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得DB=AE，可得①正确；由全等三角形的对应角相等得∠BDC＝∠EAC， 由“8”字形图推出∠DOM=∠ACD=60°，从而由邻补角求出∠AOB＝120°，可得③错误；用“ASA”证明△ACM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得可得AM＝DN，∠AMC＝∠DNC，CM＝CN，可得②④正确；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△CMN是等边三角形，可证明⑤正确.
五、解答题
24．（2025七下·青羊期中）当时
（1）求代数式和的值；
（2）猜想这两个代数式的值有何关系？
（3）根据（1）（2），你能用简便方法算出时，的值吗？
【答案】解：（1）当时，，；
（2）由（1）可得；
（3）由（2）可得，
当时
，
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b的值分别代入两个代数式进行计算即可.
（2）观察（1）的计算的结果，可得结论.
（3）利用，把结果代入到中求值．
25．（2025七下·青羊期中）如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积．
【答案】（1）解：，为的中点，
，，
，
，
，，
，
而，
；
（2）证明：，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
．
为的中点，
，
．
（3）解：如图，分别延长，，相交于点F，
由（2）得，，
，
，
，
的面积为．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；8字模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，再结合“8”字形图，得∠BAD=∠BCE=22.5°；
（2）易得△ADC为等腰直角三角形，则AD=CD，从而用“ASA”证，由全等三角形的对应边相等得AB=CF，结合中点定义即可得出结论；
（3）分别延长AE，CB，相交于点F，由（2）得，CD=2AE=4，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）解：，为的中点，
，，
，
，
，，
，
而，
；
（2）证明：，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
．
为的中点，
，
．
（3）解：如图，分别延长，，相交于点F，
由（2）得，，
，
，
，
的面积为．
26．（2025七下·青羊期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
（1）试说明：；
（2）如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
（3）如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
（3）8
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】（3）解：，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
∴AB的长为8.
【分析】（1）利用余角的性质可证得，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，，据此可证得结论.
（2）利用一线三等角及三角形及三角形内角和定理可证得，利用AAS可证得△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质可证得AD=CE，CD=BE，然后根据DE=DC+CE，可证得结论.
（3）利用AAS可证得，再根据全等三角形的性质得出，，根据，可求出AB的长.
（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
；
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
；
（3），，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
1 / 1四川省成都市青羊区石室联合中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（32分）
1．（2025七下·青羊期中）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·青羊期中）“新冠肺炎”全球疫情触目惊心，截至北京时间4月28日，查询到的数据显示全球累积确诊病例3002303，与2020年世界总人口之比约为0.000396，其中0.000396用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·青羊期中）下列各数：0，，，，，，，0.3030030003…，中无理数个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（2025七下·青羊期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·青羊期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·青羊期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·青羊期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）
A．50 B．62 C．65 D．68
8．（2025七下·青羊期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（20分）
9．（2025七下·青羊期中）的算术平方根是　 　
10．（2025七下·青羊期中）当，则的值为　 　．
11．（2025七下·青羊期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是　 　．
12．（2025七下·青羊期中）如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是　 　．
13．（2025七下·青羊期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放　 　根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是　 　．
三、解答题
14．（2025七下·青羊期中）计算：
（1）；
（2）．
15．（2025七下·青羊期中）先化简，再求值：，其中．
16．（2025七下·青羊期中）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）．
（1）画出关于直线对称的；
（2）在直线上画出点，使最小．
17．（2025七下·青羊期中）已知，如图，点在同一直线上，，，，
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
18．（2025七下·青羊期中）已知直线、，点A、B为分别在直线、上，点C为平面内一点，连接、，且．
（1）求证：；
（2）如图2，射线、分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数．
四、填空题（20分）
19．（2025七下·青羊期中）已知，那么的值为　 　.
20．（2025七下·青羊期中）若，则的末位数字是　 　．
21．（2025七下·青羊期中）如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为　 　．
22．（2025七下·青羊期中）如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点，.若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　.
23．（2025七下·青羊期中）如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，则①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有　 　．
五、解答题
24．（2025七下·青羊期中）当时
（1）求代数式和的值；
（2）猜想这两个代数式的值有何关系？
（3）根据（1）（2），你能用简便方法算出时，的值吗？
25．（2025七下·青羊期中）如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积．
26．（2025七下·青羊期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
（1）试说明：；
（2）如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
（3）如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000396小数点向右移动4位为，
因此，
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式，其中|a|＜1，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数.
3．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、、0.3030030003…是无理数，因此无理数有3个，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的数是无理数，据此可得无理数的个数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂相乘的法则，可对A作出判断；利用同底数幂相除的法则，可对B作出判断；再利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；然后根据积的乘方法则，可对D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答解：A、∵只有两个条件，不能作出唯一三角形，∴A不符合题意；
B、∵属于全等三角形判定中的情况，不能作出唯一三角形，∴B不符合题意；
C、∵不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形，∴C不符合题意；
D、∵符合全等三角形的，能作出唯一三角形，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法及三角形三边的关系逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、可判定，故此选项符合题意；
B、可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
C、可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
D、可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵AE=AB
∴，
∴=3，=6，
同理证得，，
∴，
故．
故答案为：A．
【分析】由垂直的定义得，由平角、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出，从而用“AAS”判断出△EFA≌△ABG，由全等三角形的对应边相等得AF=BG=3，AG=EF=6，同理CG=DH=4，CH=BG=3，然后根据线段和差算出FH=16，最后利用割补法，由阴影部分的面积等于S梯形EFHD-S△AEF-S△ABG-S△BCG-S△CDH，列式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：延长FG交CD于点I，
∵，
∴，
∵，
∴∠IFD=∠IGH=90°，
∵，
∴∠AFD+∠D=∠AFI+∠IFD+∠D=180°，
∴，
∵，
∴，
解得，故①正确；
∵EH∥FD，
∴ ∠EHI=∠D=30°，
∴，故②正确；
∵，
∴，
无法判定，故③错误；
∵，
∴，
无法判定，故④错误，
故答案为：B．
【分析】延长FG交CD于点I，由垂直定义及二直线平行，同位角相等可推出∠IFD=∠IGH=90°，由二直线平行，同旁内角互补可推出，结合可求出∠D的度数，从而可判断①；由二直线平行，同位角相等得出∠EHI=∠D=30°，从而即可判断②；由二直线平行，内错角相等得，但无法判定，据此可判断③；由二直线平行，内错角相等得，但无法判定，据此可判断④.
9．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
10．【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据有理数乘方运算法则将第二个因数变形为底数为3的形式，然后根据幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法运算法则进行计算，最后整体代入根据有理数乘方运算法则计算出答案.
11．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF=2，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，结合三角形面积计算公式建立方程，求解即可.
12．【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由对折可得：，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】由折叠性质得，由邻补角可得代入1=2∠2，即可求出 ∠2与∠1的度数，最后再根据两直线平行，内错角相等得出∠3=∠1，即可得出答案.
13．【答案】2；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当时，这样的小棒最多摆放2根；
如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，
∵最多能摆放5根小棒，
∴，，
∴．
故答案为：2，．
【分析】
根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠AA2A1=∠BAC=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠A2A1A3=∠AA2A1+∠BAC=60°，结合已知可得△A2A1A3是等边三角形，进而得出∠A1A2A3=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠AA2A3=∠AA2A1+∠A1A2A3=90°，当∠AA2A3=90°时，就无法再摆放小棒了，因此当∠BAC=30°时，这样的小棒最多摆放2根小棒；
（2）通过递推可知：每增加一根小棒，对应的角度累加 。即第k根小棒对应的外角为k （由等腰三角形性质和外角定理归纳得出）。最多摆放5根小棒，说明第5根小棒可摆放（对应角度），第6根不可摆放（对应角度），于是得到．
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，再计算加减.
（2）先算乘方运算，再算乘除法运算即可.
（1）解：
；
（2）
15．【答案】解：
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，再代入求值．
16．【答案】（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求；
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质作出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1、然后画△A1B1C1即可.
（2）点C和点C1关于直线DE对称，因此连接，交直线于点，此时点P即为所求．
（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求；
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据线段构成及等量加等量和相等推出AB=ED，从而根据“SAS”可证△ABC≌△EDF；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再由全等三角形的对应角相等得出∠E=∠A=30°.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】（1）证明：过作，如图所示，
，
，
，
，
，
（2）如图所示，连接并延长交于点，
∵射线、分别平分和，
∴，，
∵，，，
∴，
而，
，
，
与（1）同理可得：，
，
，
即，
，
，
，
，
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）过作，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠NAC=∠ACS，再利用已知可证得∠BCS=∠CBQ，再利用内错角相等，两直线平行，可证得PQ∥CS，然后利用平行线公理的推论可证得结论.
（2）连接并延长交于点，利用角平分线的性质和三角形外角的性质可推出，结合已知条件可证得，由此可推出，据此可求出∠EAD的度数.
（1）证明：过作，如图所示，
，
，
，
，
，
；
（2）如图所示，连接并延长交于点，
∵射线、分别平分和，
∴，，
∵，，，
∴，
而，
，
，
与（1）同理可得：，
，
，
即，
，
，
，
，
．
19．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
【分析】利用几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．可求出a、b的值，然后将a、b的值代入代数式进行计算即可.
20．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：
，
的末位数是2，的末位数是4，的末位数是8，的末位数是6，的末位数是2，…
末位数是2，4，8，6，…
每4个一循环，
，
所以的末位数是6，
所以的末位数是5，
所以的末位数是，
故答案为：2．
【分析】利用平方差公式，可得到A的值，分别求出2、22、23、24、25，根据其结果可得到末尾数字是4个一循环，据此可得到的末位数，然后求出A的末尾数字即可.
21．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用线段垂直平分线的性质和等边对等角可证得，，再利用三角形内角和定理和对顶角相等，可求出的度数，据此可求出∠A+∠B的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠MCN的度数.
22．【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AD.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，DC=，
，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AP=PC，
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴周长=DP+PC+DC，当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【分析】连接AP，AD，利用等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，同时可求出DC的长，利用三角形的面积公式求出AD的长；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=PC，据此可求出DP+CP的最小值，由此可求出△PCD周长的最小值.
23．【答案】①②④⑤
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵△ACD与△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE， ①正确；
∴∠DOM=∠ACD=60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠DOM＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，∠AMC＝∠DNC，CM＝CN，②④正确；
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤。
【分析】由等边三角形性质得AC=CD，CE=CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，由平角推出 ∠ACE＝∠BCD＝120°，从而可用“SAS”证明△ACE≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得DB=AE，可得①正确；由全等三角形的对应角相等得∠BDC＝∠EAC， 由“8”字形图推出∠DOM=∠ACD=60°，从而由邻补角求出∠AOB＝120°，可得③错误；用“ASA”证明△ACM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得可得AM＝DN，∠AMC＝∠DNC，CM＝CN，可得②④正确；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△CMN是等边三角形，可证明⑤正确.
24．【答案】解：（1）当时，，；
（2）由（1）可得；
（3）由（2）可得，
当时
，
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b的值分别代入两个代数式进行计算即可.
（2）观察（1）的计算的结果，可得结论.
（3）利用，把结果代入到中求值．
25．【答案】（1）解：，为的中点，
，，
，
，
，，
，
而，
；
（2）证明：，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
．
为的中点，
，
．
（3）解：如图，分别延长，，相交于点F，
由（2）得，，
，
，
，
的面积为．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；8字模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，再结合“8”字形图，得∠BAD=∠BCE=22.5°；
（2）易得△ADC为等腰直角三角形，则AD=CD，从而用“ASA”证，由全等三角形的对应边相等得AB=CF，结合中点定义即可得出结论；
（3）分别延长AE，CB，相交于点F，由（2）得，CD=2AE=4，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）解：，为的中点，
，，
，
，
，，
，
而，
；
（2）证明：，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
．
为的中点，
，
．
（3）解：如图，分别延长，，相交于点F，
由（2）得，，
，
，
，
的面积为．
26．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
（3）8
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】（3）解：，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
∴AB的长为8.
【分析】（1）利用余角的性质可证得，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，，据此可证得结论.
（2）利用一线三等角及三角形及三角形内角和定理可证得，利用AAS可证得△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质可证得AD=CE，CD=BE，然后根据DE=DC+CE，可证得结论.
（3）利用AAS可证得，再根据全等三角形的性质得出，，根据，可求出AB的长.
（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
；
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
；
（3），，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
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