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四川省成都市2024-2025学年 七年级下期期中集团多校联合监测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填涂在答题卡上）
1．（2025七下·成都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·成都期中）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·成都期中）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·成都期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
5．（2025七下·成都期中）将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·成都期中）下列乘法公式运用正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·成都期中）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·成都期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上）
9．（2025七下·成都期中）四月，柳絮如雪花般漫天飞舞，据测定，柳絮纤维的直径约0.000011m，该数值用科学记数法表示为 　 　m．
10．（2025七下·成都期中）如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则　 　．
11．（2025七下·成都期中）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是　 　 ．
12．（2025七下·成都期中）把一张长方形纸条按图中折叠后，若∠EFB= 65°，则∠AED’= 　 　度 .
13．（2025七下·成都期中）等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是　 　cm.
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025七下·成都期中）计算或化简．
（1）；
（2）；
（3）；
15．（2025七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025七下·成都期中）完成下面推理过程：
如图，，，，，．求的度数．
解：∵，，（已知）
∴，（等量代换）
∴，（　　）
∴_________，（　　）
∵，（已知）
∴
∵，（已知）
∴____________，（　　）
∵，（已知）
∴__________，（等量代换）
∴_____________________°．
17．（2025七下·成都期中）如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．
（1）小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ；
（2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗地雷．
①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ；
②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明．
18．（2025七下·成都期中）已知中，平分．
（1）如图1，若点P在射线上，，并且平分，求的度数；
（2）如图2，在中，，BE平分，P为上一点，于P交延长线于点F，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）．
（3）如图3，已知三角形三条角平分线交于一点O（点O在射线上），平分交于点P，过点O作交边于点D．若，将绕点A顺时针旋转一定角度后得，旋转后的三角形一边所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上）
19．（2025七下·成都期中）二维码逐渐进入了人们的生活，小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　．
20．（2025七下·成都期中）若，，则　 　 ．
21．（2025七下·成都期中）已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为　 　．
22．（2025七下·成都期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值　 　．
23．（2025七下·成都期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则　 　 ，　 　 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025七下·成都期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】（1）直接写出计算结果： ；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ．
（3）算一算：．
25．（2025七下·成都期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则的值为______；
（2）拓展：若，则______．
（3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
26．（2025七下·成都期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分．
（1）如图1，当时，请求出的度数；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方法则，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用同底数幂相除的法则，可对D作出判断.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴不能构成三角形；
B、∵3+5=8，
∴不能构成三角形；
C、∵4+5＜10，
∴不能构成三角形；
D、∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，则此项符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
C、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”．
故答案为：C．
【分析】抓住关键的已知条件：要使汽车站离村庄最近，汽车站应建在C处，据此利用“垂线段最短”可求解.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过作，
则，
，，
由已知条件得，
，
，
．
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质及其应用，过作，得到，根据平行线的性质，结合，进行计算，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误，
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特点可对A、D作出判断；利用完全平方公式的特点，可对B、C作出判断.
7．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种，
买中“藕粉哪吒”的概率为．
故选：A．
【分析】利用概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，且点是的中点，
．
点是的中点，
．
点为的中点，
．
故答案为：B．
【分析】利用的面积及线段中点，可以分别求出、及的面积，即可求解.
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.000011保留1位整数为1.1，小数点向后移动了5位，
因此，
故答案为：．
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中|a|＜1，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数，即可求解.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：在中，，，
．
是的角平分线，
，
，
是的高线，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义可求出∠EAC的度数，即可求出∠AED的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余可求出∠DAE的度数.
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】设这个角为，可表示出它的余角和补角，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可．
12．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∵∠EFB=65°，
∴∠DEF=∠EFB=65°，
由折叠的性质得：∠DEF=∠D EF=65°，
∴∠AE D'=180°-65°×2=50°.
故答案为：50°.【分析】由长方形的形质得：AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠DEF=∠EFB，根据折叠的性质可得：∠D'EF=∠DEF=65°，由角的构成得∠AE D'=180°-2∠DEF可求解.
13．【答案】15
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①腰长为6时，三边为6、6、3，满足三角形的性质，周长=6+6+3=15cm；
②腰长为3cm时，∵3+3=6，∴不满足构成三角形.因此周长为15cm.
【分析】分两种情况讨论①腰长为6时②腰长为3cm时，然后再利用三角形的三边关系进行检验即可.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）先算乘方，再计算乘除，再算加减即可；
（3）利用完全平方公式和多项式乘多项式的法则先去括号，再合并同类项.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
15．【答案】解：原式
．
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多形式法则展开中括号内的小括号，然后合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算出最简结果，再将x、y的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算求出结果.
16．【答案】解：∵，，（已知）
∴，（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴，（两直线平行，同旁内角互补）
∵，（已知）
∴
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（等量代换）
∴．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等；；50；20．
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】利用已知易证，利用同位角相等，两直线平行可证得，利用平行线的性质可求出∠PCD的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠BCD的度数，然后根据，代入计算求出∠BCP的度数.
17．【答案】（1）
（2）解：①；
②小明胜的概率，小亮胜的概率，
∵，
∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利
【知识点】游戏公平性；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵一共有的小方格，其中埋藏地雷的小方格有10个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；
故答案为：.
（2）①∵一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是；
故答案为：.
【分析】（1）利用已知可得到所有等可能的结果数和踩中地雷的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（2）①由图2可知一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，再利用概率公式的进行计算； ②根据概率公式，分别计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后比较两概率的大小即可得到这个约定对谁有利．
（1）解：∵一共有的小方格，其中埋藏地雷的小方格有10个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；
（2）解：①∵一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是；
②小明胜的概率，小亮胜的概率，
∵，
∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利．
18．【答案】（1）解：∵，且，∴，
∵是的平分线，
∴，
又，
∴
（2）解：∵且，，∴，
又平分，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
即
（3）的值为或或或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
①如图1，当时，则，
∵，
∴，
∴旋转角度；
②如图2，当，
同理可得，，
∴旋转角的度数；
③当时，延长交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数；
④如图4，当时，则，
∴旋转角的度数；
⑤如图5，当时，则，
∴旋转角的度数（舍去）；
综上，旋转角度数的值为：或或或．
【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠PCD的度数，再利用角平分线的概念可求出∠ACD的度数，然后根据三角形外角的性质可求出∠A的度数.
（2）利用三角形的内角和定理可表示出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可表示出∠CBE的度数，同时可表示出∠BEA的度数；再利用直角三角形的两锐角互余可表示出∠F的度数.
（3）利用邻补角的概念求出∠CAF的度数，利用角平分线的概念可求出∠CAP的度数，即可求出∠BAP、∠ABP、∠ACB的度数，利用平行线的性质和角平分线的概念可推出∠AOD=90°；再分情况讨论：当时，利用平行线的性质可求出∠PAD'的度数，即可求出旋转角的度数；如图2，当，同理可求出旋转角的度数；③当时，延长交于点，则，可求出∠CAQ的度数，然后求出旋转角的度数；④如图4，当时，则，求出旋转角的度数即可；⑤如图5，当时，则，求出旋转角的度数即可；综上所述可求出符合题意的旋转角度的值.
（1）解：∵，且，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵且，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
①如图1，当时，则，
∵，
∴，
∴旋转角度；
②如图2，当，
同理可得，，
∴旋转角的度数；
③当时，延长交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数；
④如图4，当时，则，
∴旋转角的度数；
⑤如图5，当时，则，
∴旋转角的度数（舍去）；
综上，旋转角度数的值为：或或或．
19．【答案】12
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：12．
【分析】用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可．
20．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：原式，
，，
原式，
故答案为：．
【分析】利用幂的乘方的逆运算将原式转化为，然后代入求值即可.
21．【答案】或
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；数学思想
【解析】【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由已知可知，，
又∵，
∴，
∴；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由已知可知，，
又∵，
∴，
∴．
∴的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【分析】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，根据三角形高线定义及直角三角形量锐角互余可求解；②当等腰三角形为钝角三角形时，根据三角形高线定义及三角形外角性质可求解.
22．【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接DP
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
故答案为：6．
【分析】连接DP，利用三角形的面积公式求出BC的长，再利用三角形的面积公式和已知条件可推出，据此可求出DE+DF的值.
23．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
∴，
故答案为：；．
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2的值，同时可求出∠ABO+∠ACO的值，利用角平分线的概念可求出∠BO1C的度数；同理可求出∠BO2C的度数，根据推算过程可得规律，即可得到，其中为正整数，根据此规律可求出∠BO2025C的度数.
24．【答案】解：（1）；
（2）
；
．
（3）
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：．
【分析】（1）根据，再将除法转化为乘法运算进行计算.
（2）根据，再进行计算即可.
（3）按照除方的计算法则及规律，进行计算即可.
25．【答案】（1）12
（2）10
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】（1）解：，，
，
．
故答案为：12；
（2）解：设，，
，
，
，
．
故答案为：10.
【分析】（1）利用完全平方式的特征及变形求出，再求出即可；
（2）设，，先求出ab=3，再求出即可；
（3）设，，先求出a-b=8，ab=160，再求出正方形的面积正方形的面积，从而得解.
（1）解：，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
26．【答案】（1）
（2）解：如图，过点作，过点作，
则可得，，
设，，
根据上述原理可得，，
，，
，
即
（3）或5.5或11.5
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，
，
，
设，
，
，
，
平分，平分，
，，
如图，过点作，
，
，
，
，
；
（3）如图，当时，
设交于，
，
，，
，
由题意可得，
，
，
，即，
，
如图，当时，
同理可得：，
，
如图，当时，
设的延长线交于，
，，
，
，
，
由，得，
，
综上所述：或5.5或11.5．
【分析】（1）过点作，可证得，设，利用平行线的性质可表示出∠QEGF、∠PEG、∠APE的度数，再利用角平分线的概念可表示出∠FQD、∠APF的度数；过点作，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥FH，利用平行线的性质可表示出∠PFH、∠QFH的度数，根据，代入计算求出∠PFQ的度数.
（2）过点作，过点作，利用平行线公理的推论可证得，，设，，利用平行线的性质可表示出∠FQD、∠APF、∠QFH、∠PFH的度数，根据，可表示出∠PFQ的度数.
（3）分情况讨论：当时，设交于，可证得∠AIN=∠APF'，据此可表示出∠ANM'、∠AIN的度数，根据已知条件可求出∠APF的度数，根据，可表示出∠APF'的度数，再利用平行线的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当时，同理可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当时，设的延长线交于，利用平行线的性质可表示出∠BPF'的度数及∠PWF'的度数，根据，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的所有的t的值.
（1）解：如图，过点作，
，
，
设，
，
，
，
平分，平分，
，，
如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
则可得，，
设，，
根据上述原理可得，，
，，
，
即；
（3）解：如图，当时，
设交于，
，
，，
，
由题意可得，
，
，
，即，
，
如图，当时，
同理可得：，
，
如图，当时，
设的延长线交于，
，，
，
，
，
由，得，
，
综上所述：或5.5或11.5．
1 / 1四川省成都市2024-2025学年 七年级下期期中集团多校联合监测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填涂在答题卡上）
1．（2025七下·成都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方法则，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用同底数幂相除的法则，可对D作出判断.
2．（2025七下·成都期中）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴不能构成三角形；
B、∵3+5=8，
∴不能构成三角形；
C、∵4+5＜10，
∴不能构成三角形；
D、∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项一一判断即可。
3．（2025七下·成都期中）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，则此项符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
C、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025七下·成都期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”．
故答案为：C．
【分析】抓住关键的已知条件：要使汽车站离村庄最近，汽车站应建在C处，据此利用“垂线段最短”可求解.
5．（2025七下·成都期中）将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过作，
则，
，，
由已知条件得，
，
，
．
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质及其应用，过作，得到，根据平行线的性质，结合，进行计算，即可得到答案.
6．（2025七下·成都期中）下列乘法公式运用正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误，
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特点可对A、D作出判断；利用完全平方公式的特点，可对B、C作出判断.
7．（2025七下·成都期中）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种，
买中“藕粉哪吒”的概率为．
故选：A．
【分析】利用概率公式即可求出答案.
8．（2025七下·成都期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，且点是的中点，
．
点是的中点，
．
点为的中点，
．
故答案为：B．
【分析】利用的面积及线段中点，可以分别求出、及的面积，即可求解.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上）
9．（2025七下·成都期中）四月，柳絮如雪花般漫天飞舞，据测定，柳絮纤维的直径约0.000011m，该数值用科学记数法表示为 　 　m．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.000011保留1位整数为1.1，小数点向后移动了5位，
因此，
故答案为：．
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中|a|＜1，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数，即可求解.
10．（2025七下·成都期中）如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：在中，，，
．
是的角平分线，
，
，
是的高线，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义可求出∠EAC的度数，即可求出∠AED的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余可求出∠DAE的度数.
11．（2025七下·成都期中）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是　 　 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】设这个角为，可表示出它的余角和补角，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可．
12．（2025七下·成都期中）把一张长方形纸条按图中折叠后，若∠EFB= 65°，则∠AED’= 　 　度 .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∵∠EFB=65°，
∴∠DEF=∠EFB=65°，
由折叠的性质得：∠DEF=∠D EF=65°，
∴∠AE D'=180°-65°×2=50°.
故答案为：50°.【分析】由长方形的形质得：AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠DEF=∠EFB，根据折叠的性质可得：∠D'EF=∠DEF=65°，由角的构成得∠AE D'=180°-2∠DEF可求解.
13．（2025七下·成都期中）等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是　 　cm.
【答案】15
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①腰长为6时，三边为6、6、3，满足三角形的性质，周长=6+6+3=15cm；
②腰长为3cm时，∵3+3=6，∴不满足构成三角形.因此周长为15cm.
【分析】分两种情况讨论①腰长为6时②腰长为3cm时，然后再利用三角形的三边关系进行检验即可.
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025七下·成都期中）计算或化简．
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，再利用有理数的加减法法则进行计算.
（2）先算乘方，再计算乘除，再算加减即可；
（3）利用完全平方公式和多项式乘多项式的法则先去括号，再合并同类项.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
15．（2025七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多形式法则展开中括号内的小括号，然后合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算出最简结果，再将x、y的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算求出结果.
16．（2025七下·成都期中）完成下面推理过程：
如图，，，，，．求的度数．
解：∵，，（已知）
∴，（等量代换）
∴，（　　）
∴_________，（　　）
∵，（已知）
∴
∵，（已知）
∴____________，（　　）
∵，（已知）
∴__________，（等量代换）
∴_____________________°．
【答案】解：∵，，（已知）
∴，（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴，（两直线平行，同旁内角互补）
∵，（已知）
∴
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（等量代换）
∴．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等；；50；20．
【知识点】平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】利用已知易证，利用同位角相等，两直线平行可证得，利用平行线的性质可求出∠PCD的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠BCD的度数，然后根据，代入计算求出∠BCP的度数.
17．（2025七下·成都期中）如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．
（1）小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ；
（2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗地雷．
①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ；
②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明．
【答案】（1）
（2）解：①；
②小明胜的概率，小亮胜的概率，
∵，
∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利
【知识点】游戏公平性；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵一共有的小方格，其中埋藏地雷的小方格有10个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；
故答案为：.
（2）①∵一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是；
故答案为：.
【分析】（1）利用已知可得到所有等可能的结果数和踩中地雷的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（2）①由图2可知一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，再利用概率公式的进行计算； ②根据概率公式，分别计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后比较两概率的大小即可得到这个约定对谁有利．
（1）解：∵一共有的小方格，其中埋藏地雷的小方格有10个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；
（2）解：①∵一共有8个小方格，其中埋藏地雷的小方格有2个，且每个小方格被选择的概率相同，
∴小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是；
②小明胜的概率，小亮胜的概率，
∵，
∴小亮胜的机会大， 即这个约定对小亮有利．
18．（2025七下·成都期中）已知中，平分．
（1）如图1，若点P在射线上，，并且平分，求的度数；
（2）如图2，在中，，BE平分，P为上一点，于P交延长线于点F，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）．
（3）如图3，已知三角形三条角平分线交于一点O（点O在射线上），平分交于点P，过点O作交边于点D．若，将绕点A顺时针旋转一定角度后得，旋转后的三角形一边所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．
【答案】（1）解：∵，且，∴，
∵是的平分线，
∴，
又，
∴
（2）解：∵且，，∴，
又平分，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
即
（3）的值为或或或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
①如图1，当时，则，
∵，
∴，
∴旋转角度；
②如图2，当，
同理可得，，
∴旋转角的度数；
③当时，延长交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数；
④如图4，当时，则，
∴旋转角的度数；
⑤如图5，当时，则，
∴旋转角的度数（舍去）；
综上，旋转角度数的值为：或或或．
【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠PCD的度数，再利用角平分线的概念可求出∠ACD的度数，然后根据三角形外角的性质可求出∠A的度数.
（2）利用三角形的内角和定理可表示出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可表示出∠CBE的度数，同时可表示出∠BEA的度数；再利用直角三角形的两锐角互余可表示出∠F的度数.
（3）利用邻补角的概念求出∠CAF的度数，利用角平分线的概念可求出∠CAP的度数，即可求出∠BAP、∠ABP、∠ACB的度数，利用平行线的性质和角平分线的概念可推出∠AOD=90°；再分情况讨论：当时，利用平行线的性质可求出∠PAD'的度数，即可求出旋转角的度数；如图2，当，同理可求出旋转角的度数；③当时，延长交于点，则，可求出∠CAQ的度数，然后求出旋转角的度数；④如图4，当时，则，求出旋转角的度数即可；⑤如图5，当时，则，求出旋转角的度数即可；综上所述可求出符合题意的旋转角度的值.
（1）解：∵，且，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵且，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
①如图1，当时，则，
∵，
∴，
∴旋转角度；
②如图2，当，
同理可得，，
∴旋转角的度数；
③当时，延长交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数；
④如图4，当时，则，
∴旋转角的度数；
⑤如图5，当时，则，
∴旋转角的度数（舍去）；
综上，旋转角度数的值为：或或或．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填涂在答题卡上）
19．（2025七下·成都期中）二维码逐渐进入了人们的生活，小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：12．
【分析】用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可．
20．（2025七下·成都期中）若，，则　 　 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：原式，
，，
原式，
故答案为：．
【分析】利用幂的乘方的逆运算将原式转化为，然后代入求值即可.
21．（2025七下·成都期中）已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；数学思想
【解析】【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由已知可知，，
又∵，
∴，
∴；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由已知可知，，
又∵，
∴，
∴．
∴的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【分析】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，根据三角形高线定义及直角三角形量锐角互余可求解；②当等腰三角形为钝角三角形时，根据三角形高线定义及三角形外角性质可求解.
22．（2025七下·成都期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接DP
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
故答案为：6．
【分析】连接DP，利用三角形的面积公式求出BC的长，再利用三角形的面积公式和已知条件可推出，据此可求出DE+DF的值.
23．（2025七下·成都期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则　 　 ，　 　 ．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形的双内角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
∴，
故答案为：；．
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2的值，同时可求出∠ABO+∠ACO的值，利用角平分线的概念可求出∠BO1C的度数；同理可求出∠BO2C的度数，根据推算过程可得规律，即可得到，其中为正整数，根据此规律可求出∠BO2025C的度数.
五、解答题（本大题共3小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025七下·成都期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】（1）直接写出计算结果： ；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ．
（3）算一算：．
【答案】解：（1）；
（2）
；
．
（3）
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：．
【分析】（1）根据，再将除法转化为乘法运算进行计算.
（2）根据，再进行计算即可.
（3）按照除方的计算法则及规律，进行计算即可.
25．（2025七下·成都期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则的值为______；
（2）拓展：若，则______．
（3）应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）12
（2）10
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】（1）解：，，
，
．
故答案为：12；
（2）解：设，，
，
，
，
．
故答案为：10.
【分析】（1）利用完全平方式的特征及变形求出，再求出即可；
（2）设，，先求出ab=3，再求出即可；
（3）设，，先求出a-b=8，ab=160，再求出正方形的面积正方形的面积，从而得解.
（1）解：，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
26．（2025七下·成都期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分．
（1）如图1，当时，请求出的度数；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，过点作，过点作，
则可得，，
设，，
根据上述原理可得，，
，，
，
即
（3）或5.5或11.5
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，
，
，
设，
，
，
，
平分，平分，
，，
如图，过点作，
，
，
，
，
；
（3）如图，当时，
设交于，
，
，，
，
由题意可得，
，
，
，即，
，
如图，当时，
同理可得：，
，
如图，当时，
设的延长线交于，
，，
，
，
，
由，得，
，
综上所述：或5.5或11.5．
【分析】（1）过点作，可证得，设，利用平行线的性质可表示出∠QEGF、∠PEG、∠APE的度数，再利用角平分线的概念可表示出∠FQD、∠APF的度数；过点作，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥FH，利用平行线的性质可表示出∠PFH、∠QFH的度数，根据，代入计算求出∠PFQ的度数.
（2）过点作，过点作，利用平行线公理的推论可证得，，设，，利用平行线的性质可表示出∠FQD、∠APF、∠QFH、∠PFH的度数，根据，可表示出∠PFQ的度数.
（3）分情况讨论：当时，设交于，可证得∠AIN=∠APF'，据此可表示出∠ANM'、∠AIN的度数，根据已知条件可求出∠APF的度数，根据，可表示出∠APF'的度数，再利用平行线的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当时，同理可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当时，设的延长线交于，利用平行线的性质可表示出∠BPF'的度数及∠PWF'的度数，根据，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的所有的t的值.
（1）解：如图，过点作，
，
，
设，
，
，
，
平分，平分，
，，
如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
则可得，，
设，，
根据上述原理可得，，
，，
，
即；
（3）解：如图，当时，
设交于，
，
，，
，
由题意可得，
，
，
，即，
，
如图，当时，
同理可得：，
，
如图，当时，
设的延长线交于，
，，
，
，
，
由，得，
，
综上所述：或5.5或11.5．
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