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山东济宁市第二中学2025-2026学年第二学期高二数学3月月考试题
一、单选题
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
2．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
3．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数，的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．16
5．函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为
D．最小值为0，最大值为2
6．某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有（ ）种可能．
A．18 B．15 C．12 D．9
7．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（　　）
A． B． C．6 D．8
10．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
11．下列说法正确的是（ ）
A．
B．设函数的导函数为，且，则
C．函数的单调递减区间为
D．函数有两个极值点
三、填空题
12．函数的单调减区间为__________．
13．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点___________个.
14．书架上原有本不同的书，现要再插入本不同的书，要求不改变原书的顺序，共有______种插入方法．
四、解答题
15．设曲线．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若曲线在点处的切线与直线垂直．求的值．
16．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，求的最大值与最小值．
17．已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
18．证明不等式：
(1)，；
(2)．
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
参考答案
1．B
【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减，
当和时，，故在，单调递增，
故B正确，
故选：B
2．D
【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步，
第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；
第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；
第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法，
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有，
故选：D.
3．D
【详解】由求导得，，
则当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减，
故函数的单调递增区间为.
故选：D.
4．A
【详解】由可得，，由解得，或，
因，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故时，.
故选：A.
5．B
【详解】，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
6．D
【详解】根据题意，如只使用两种颜色，则两端颜色一定相同，共有种，
如使用三种颜色，考虑对称性（如红、黄、蓝与蓝、黄、红实际是一种情况），共有种，
总方案数为种.
故选：D.
7．C
【详解】由得，
根据题意得，解得．
故选：C
8．B
【详解】依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
，
在上递增，，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
9．AD
【详解】由题意知有两个不相等的根，
所以，
解得或.
故A、D正确，B、C错误.
故选：AD
10．AC
【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
11．BD
【详解】对于A，常数的导数为0，则，A错误；
对于B，由，求导得，
令，解得，B正确；
对于C，的定义域为，求导得，
由，得，函数的单调递减区间为，C错误；
对于D，，的变号零点为，函数有两个极值点，D正确.
故选：BD
12．
解：，，
由，即，解得 ，
，即函数的单调减区间为，
故答案为：
13．1
【详解】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，
其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，
故答案为：1.
14．
【详解】解法1：先对本书全排列，有种，再除去本书的全排列数，故有（种）.
解法2：本书应占个位置，而原来的本书是定序的，故只选位置而不排列，有种，然后对要插入的本书全排列，有种．
由乘法原理得（种）,
故答案为：.
15．(1)
(2)．
【详解】（1）若，则，
所以切线斜率，
故切线方程为即.
（2）由可得，
所以在点处的切线斜率为，
又因为切线与直线垂直，
即可得，因此．
16．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）因为．
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示．
2
0 0
单调递增 28 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知当时，取得极小值．
因为
.
所以．
17．(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
因为切线方程为，
所以，解得，
所以.
（2）函数在处有极值
且或
恒成立，此时函数无极值点，
此时1是极值点，满足题意，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）设，，则．
令，得．
当时，，从而在内单调递增；
当时，，从而在内单调递减．
所以当时，在区间上取最大值．
所以，所以，，．
（2）设，则．令，得．
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减．
所以当时，取最小值．
所以，所以，．
19．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.

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