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湖南省湖南省湘潭市、株洲市部分学校2026年中考一模数学试题
1．（2026·湘潭模拟）下列四个数中，其中最大的数是 (　　)
A．3 B．- π C． D．0
【答案】A
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四个数中最大的数是．
故答案为：A .
【分析】估算出的范围，再根据正数大于0，0大于负数解答即可．
2．（2026·湘潭模拟）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形．
故答案为：D .
【分析】根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)”逐项判断解答即可．
3．（2026·湘潭模拟）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式的运算法则逐项判断即可．
4．（2026·湘潭模拟）根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力，数据431840000000用科学记数法可以表示为 (　　)
A．4.3184×109 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
5．（2026·湘潭模拟）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C．(3，3) D．(3，7)
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
6．（2026·湘潭模拟）为了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行检查，这种调查方式是(　　)
A．全面调查 B．抽样调查 C．重点调查 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：∵总体是该校八年级全体学生的视力情况，
此次调查是从总体中随机抽取100名学生（部分个体）进行检查，符合抽样调查的定义，
∴这种调查方式是抽样调查，
故答案为：B .
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义进行判断即可．
7．（2026·湘潭模拟） 如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，AE=3，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是(　　)
A．12 B．9 C．15 D．18
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：A .
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后可以得到的周长为解答即可．
8．（2026·湘潭模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：D .
【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可．
9．（2026·湘潭模拟）对于反比例函数 下列说法正确的是(　　)
A．图象位于第二、四象限
B．当x>0时，y随x的增大而减小
C．图象经过点(1，-5)
D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且. 则
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误，
∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确，
∵将代入，得∴图象不经过点，C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误．
故选：B．
【分析】根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可．
10．（2026·湘潭模拟）如图， ⊙O的半径为2， C为 上一点，连接AC、BC，若∠ACB=100°，则 的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：B .
【分析】在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数，根据弧长公式计算解答．
11．（2026·湘潭模拟）若分式 有意义，则x的取值范围为　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
12．（2026·湘潭模拟）若 则 　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴．
故答案为： .
【分析】设，代入分式计算即可．
13．（2026·湘潭模拟）将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ∠1=50°，则 ∠2的度数为　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠的性质可得解答即可．
14．（2026·湘潭模拟）因式分解：　 　．
【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
15．（2026·湘潭模拟）若 则 ab=　 　.
【答案】-6
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为
所以a-2=0，b+3=0，
所以a=2，b=-3，
所以ab=-6，
故答案为：-6 .
【分析】先根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b的值，然后代入求出乘积即可.
16．（2026·湘潭模拟）学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4，2)，(4，6)，从点C(-1，0)发射光线，其图象对应的函数解析式为y= mx+n(m≠0，x≥-1).规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y=mx+n(m≠0，x≥-1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为　 　.
【答案】7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得
，解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
【分析】作出点C关于对称点，得到的坐标，作直线，，利用待定系数法求出一次函数的解析式，分别求出这两直线与y轴交点，即可得到点E坐标在范围中，得到整点个数解答即可．
17．（2026·湘潭模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，代入特殊角的三角函值，然后运算乘法，再合并解答即可．
18．（2026·湘潭模拟）先化简，再求值： 其中a=2， b=3.
【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，合并同类项化简，然后代入a，b的值计算即可．
19．（2026·湘潭模拟）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC， AB=AD，点O在BD上.
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质和等边对等角得到∠DBC=∠ABD=∠D=30°，即可得到∠BAD=120°，再根据OA=OB得到∠BAO=∠ABD=30°，进而得到哦啊∠OAD=90°证明结论；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出BH长，即可得到，然后根据阴影部分的面积为解答即可．
20．（2026·湘潭模拟）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动.学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计.已知全校共1000名学生，共五种情况.并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有　 　班，扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是　 　
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率.
【答案】（1）20；
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是： ，
故答案为：20，；
【分析】（1）利用有4名学生参加夏令营的班级数量除以占比求出班级总数，再利用乘以参加夏令营的学生人数为5名的班级占比求出圆心角即可；
（2）利用总数减去其它组的班级数量求出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，补全条形统计图即可；
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答即可．
21．（2026·湘潭模拟）为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点.若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元.
（1）求每个A 型停放架和B型停放架的单价；
（2）该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个.
【答案】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．
根据题意，得方程组：
解得：
答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元．
（2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．
根据题意，得不等式：
化简：
解得
答：最多可以购买A型停放架3个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．根据“购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元”列二元一次方程组并，求出x和y的值即可；
（2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．根据“购买总费用不超过3000元”列一元一次不等式，求出m的取值范围，得到最大整数解即可．
22．（2026·湘潭模拟）如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成.图2是其截面示意图，天幕布AC=AD=2m，AB为可伸缩支杆，拉绳DE、CF固定在水平地面EF上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线， AB⊥EF于点B， CD⊥AB于点 O.拉绳在地面的固定点E与点B的距离， BE=3m， ∠CAD=120°.
（1）求拉绳DE的长；
（2）如图3，现将支杆BA向上伸长至点A'，同时将固定点E、F分别移动至E'、F'，使A'、D'、E'共线， A'、C'、F'共线，且.EE'=1m，在此过程中，拉绳长度保持不变，求A'B的长.(结果保留根号)
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据三线合一可得，再根据正弦的定义求出AE长，利用线段的和差解答即可；
（2）先求出BE'，然后根据勾股定理计算解答．
23．（2026·湘潭模拟）综合与实践在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动.以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
（1）观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形ABCD中， ∠BAD=60°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转60°，得到EF，连接AF， DF，则∠ADF=　 　°， DF， DE， AD之间的数量关系是　 　；
（2）类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，且BE>DE，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转90°，得到EF，连接AC，AF， DF.
①∠ADF= ▲ ；
②写出DF，DE，AD之间的数量关系，并就图2的情形说明理由：
（3）拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形ABCD中， AB=2， ∠ADB=30°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，以AE为边在AE的右边作直角△AEF， ∠AEF=90°， ∠AFE=30°，连接CE， FD，若△CEF 是以CF为腰的等腰三角形，请求BE的长.
【答案】（1）60°；AD=DF+DE
（2）①90°
②解：由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：60°，AD=DF+DE；
（2）①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：90°；
【分析】（1）根据菱形的性质得到，是等边三角形，然后根据SAS得到，即可得出，，进而得到 DF， DE， AD 得关系；
（2）①过点F作的延长线于H，即可得到，进而得到，推理得到是等腰直角三角形解答即可；
②由①可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，然后根据线段的和差解答即可；
（3）过点A作于G，过点E作于H，得到C、D、F在同一条直线上，然后根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例得到，设，则，，然后根据勾股定理求出AE，AF，EF长，分，两种情况，列方程解答即可．
24．（2026·湘潭模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1，0)、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为 连接AC.点D是x轴上一点，且OD=OC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，作直线CD交抛物线于点E.点P是直线CE上方抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交CE于点M.当线段PM长度取得最大值时，在直线PM上有两动点F、G(点F在点G的上方)，当FG=1时，求BF+FG+GE的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移 个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，连接KD，点N、Q分别为直线KD下方新抛物线上的两点，当∠KDN=45°时，连接AQ，若线段AQ被直线DN平分，求点Q的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出直线的解析式，联立两解析式求出交点E的坐标，设点的坐标为，则，利用二次函数的顶点坐标求出的值，然后作点B关于直线的对称点B'，将沿方向向下平移1个单位长度得到，即可得到点B″的坐标，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理解答即可；
（3）根据勾股定理可知抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到平移后新抛物线的解析式，得到，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，即可得到，根据对应边相等求出，得到直线的解析式，设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式求出s解答即可．
1 / 1湖南省湖南省湘潭市、株洲市部分学校2026年中考一模数学试题
1．（2026·湘潭模拟）下列四个数中，其中最大的数是 (　　)
A．3 B．- π C． D．0
2．（2026·湘潭模拟）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2026·湘潭模拟）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2026·湘潭模拟）根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力，数据431840000000用科学记数法可以表示为 (　　)
A．4.3184×109 B．
C． D．
5．（2026·湘潭模拟）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C．(3，3) D．(3，7)
6．（2026·湘潭模拟）为了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行检查，这种调查方式是(　　)
A．全面调查 B．抽样调查 C．重点调查 D．以上都不对
7．（2026·湘潭模拟） 如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，AE=3，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是(　　)
A．12 B．9 C．15 D．18
8．（2026·湘潭模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
9．（2026·湘潭模拟）对于反比例函数 下列说法正确的是(　　)
A．图象位于第二、四象限
B．当x>0时，y随x的增大而减小
C．图象经过点(1，-5)
D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在图象上，且. 则
10．（2026·湘潭模拟）如图， ⊙O的半径为2， C为 上一点，连接AC、BC，若∠ACB=100°，则 的长为(　　)
A． B． C． D．
11．（2026·湘潭模拟）若分式 有意义，则x的取值范围为　 　．
12．（2026·湘潭模拟）若 则 　 　.
13．（2026·湘潭模拟）将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ∠1=50°，则 ∠2的度数为　 　.
14．（2026·湘潭模拟）因式分解：　 　．
15．（2026·湘潭模拟）若 则 ab=　 　.
16．（2026·湘潭模拟）学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4，2)，(4，6)，从点C(-1，0)发射光线，其图象对应的函数解析式为y= mx+n(m≠0，x≥-1).规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y=mx+n(m≠0，x≥-1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为　 　.
17．（2026·湘潭模拟）计算：
18．（2026·湘潭模拟）先化简，再求值： 其中a=2， b=3.
19．（2026·湘潭模拟）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC， AB=AD，点O在BD上.
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积
20．（2026·湘潭模拟）为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动.学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计.已知全校共1000名学生，共五种情况.并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有　 　班，扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是　 　
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率.
21．（2026·湘潭模拟）为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点.若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元.
（1）求每个A 型停放架和B型停放架的单价；
（2）该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个.
22．（2026·湘潭模拟）如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成.图2是其截面示意图，天幕布AC=AD=2m，AB为可伸缩支杆，拉绳DE、CF固定在水平地面EF上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线， AB⊥EF于点B， CD⊥AB于点 O.拉绳在地面的固定点E与点B的距离， BE=3m， ∠CAD=120°.
（1）求拉绳DE的长；
（2）如图3，现将支杆BA向上伸长至点A'，同时将固定点E、F分别移动至E'、F'，使A'、D'、E'共线， A'、C'、F'共线，且.EE'=1m，在此过程中，拉绳长度保持不变，求A'B的长.(结果保留根号)
23．（2026·湘潭模拟）综合与实践在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动.以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
（1）观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形ABCD中， ∠BAD=60°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转60°，得到EF，连接AF， DF，则∠ADF=　 　°， DF， DE， AD之间的数量关系是　 　；
（2）类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，且BE>DE，连接AE，将EA绕点E顺时针旋转90°，得到EF，连接AC，AF， DF.
①∠ADF= ▲ ；
②写出DF，DE，AD之间的数量关系，并就图2的情形说明理由：
（3）拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形ABCD中， AB=2， ∠ADB=30°，点E是对角线BD上一动点，连接AE，以AE为边在AE的右边作直角△AEF， ∠AEF=90°， ∠AFE=30°，连接CE， FD，若△CEF 是以CF为腰的等腰三角形，请求BE的长.
24．（2026·湘潭模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1，0)、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为 连接AC.点D是x轴上一点，且OD=OC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，作直线CD交抛物线于点E.点P是直线CE上方抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交CE于点M.当线段PM长度取得最大值时，在直线PM上有两动点F、G(点F在点G的上方)，当FG=1时，求BF+FG+GE的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移 个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，连接KD，点N、Q分别为直线KD下方新抛物线上的两点，当∠KDN=45°时，连接AQ，若线段AQ被直线DN平分，求点Q的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四个数中最大的数是．
故答案为：A .
【分析】估算出的范围，再根据正数大于0，0大于负数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形．
故答案为：D .
【分析】根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)”逐项判断解答即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式的运算法则逐项判断即可．
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
5．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：∵总体是该校八年级全体学生的视力情况，
此次调查是从总体中随机抽取100名学生（部分个体）进行检查，符合抽样调查的定义，
∴这种调查方式是抽样调查，
故答案为：B .
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义进行判断即可．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：A .
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后可以得到的周长为解答即可．
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故答案为：D .
【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误，
∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确，
∵将代入，得∴图象不经过点，C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误．
故选：B．
【分析】根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可．
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：B .
【分析】在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数，根据弧长公式计算解答．
11．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴．
故答案为： .
【分析】设，代入分式计算即可．
13．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠的性质可得解答即可．
14．【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
15．【答案】-6
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为
所以a-2=0，b+3=0，
所以a=2，b=-3，
所以ab=-6，
故答案为：-6 .
【分析】先根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b的值，然后代入求出乘积即可.
16．【答案】7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得
，解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
【分析】作出点C关于对称点，得到的坐标，作直线，，利用待定系数法求出一次函数的解析式，分别求出这两直线与y轴交点，即可得到点E坐标在范围中，得到整点个数解答即可．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，代入特殊角的三角函值，然后运算乘法，再合并解答即可．
18．【答案】解：
，
∵，
∴原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，合并同类项化简，然后代入a，b的值计算即可．
19．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质和等边对等角得到∠DBC=∠ABD=∠D=30°，即可得到∠BAD=120°，再根据OA=OB得到∠BAO=∠ABD=30°，进而得到哦啊∠OAD=90°证明结论；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出BH长，即可得到，然后根据阴影部分的面积为解答即可．
20．【答案】（1）20；
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是： ，
故答案为：20，；
【分析】（1）利用有4名学生参加夏令营的班级数量除以占比求出班级总数，再利用乘以参加夏令营的学生人数为5名的班级占比求出圆心角即可；
（2）利用总数减去其它组的班级数量求出参加夏令营的学生人数为2名的班级个数，补全条形统计图即可；
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答即可．
21．【答案】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．
根据题意，得方程组：
解得：
答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元．
（2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．
根据题意，得不等式：
化简：
解得
答：最多可以购买A型停放架3个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．根据“购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元”列二元一次方程组并，求出x和y的值即可；
（2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．根据“购买总费用不超过3000元”列一元一次不等式，求出m的取值范围，得到最大整数解即可．
22．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据三线合一可得，再根据正弦的定义求出AE长，利用线段的和差解答即可；
（2）先求出BE'，然后根据勾股定理计算解答．
23．【答案】（1）60°；AD=DF+DE
（2）①90°
②解：由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：60°，AD=DF+DE；
（2）①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：90°；
【分析】（1）根据菱形的性质得到，是等边三角形，然后根据SAS得到，即可得出，，进而得到 DF， DE， AD 得关系；
（2）①过点F作的延长线于H，即可得到，进而得到，推理得到是等腰直角三角形解答即可；
②由①可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，然后根据线段的和差解答即可；
（3）过点A作于G，过点E作于H，得到C、D、F在同一条直线上，然后根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例得到，设，则，，然后根据勾股定理求出AE，AF，EF长，分，两种情况，列方程解答即可．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出直线的解析式，联立两解析式求出交点E的坐标，设点的坐标为，则，利用二次函数的顶点坐标求出的值，然后作点B关于直线的对称点B'，将沿方向向下平移1个单位长度得到，即可得到点B″的坐标，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理解答即可；
（3）根据勾股定理可知抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到平移后新抛物线的解析式，得到，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，即可得到，根据对应边相等求出，得到直线的解析式，设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式求出s解答即可．
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