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高三数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的
1.设集合A={x1≤x≤3}，B={x川x-3<1},则AUB=
A.(2;3]
B.[2,3]
C.[1,4)
D.(1,4)
2.函数f(x)=x2+logx-6的零点所在的区间是
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
3.已知复数z1=2-i,z2=3+ai,a∈R其中i为虚数单位，若z1十z2∈R,则|z2|=
A.V10
B.11
c.23
D.V13
4.设品是直线1的方向向量，i是平面a的法向量，则“1与ā相交”是“品·五≠0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知{an}是等差数列，a2十a3十a4=3,as=5,则a1,a2,a3,…,a11的第60百分位数是
A.7
B.8
0.9.
D.10
6.设点A(-2,3),B(3,2),若直线-ax+y+2=0与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是
A(-o,-]U[3+0)
B(-∞，-号]U3,+o)
c.（-,)
0.（-,)
7.甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3孤度，扇形面积分别为S甲和SZ,周长分别为C甲和
c2若是=2，则号
A
B青
c
D.号
8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的表面上，|AB|=V3,|AC1=1,ABLAC,点P在底面的射
影在直线AB上，则当球0的体积最小时，点P到底面ABC距离的最大值为
A.
B.1
c
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设F,F分别是双曲线C:x2-器=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点，若△ABF
的周长为12，则下列选项正确的是
A.m=2
BC的焦距为25
C.c的离心率为5
D.△ABF,的面积为4V5
10.下列命题正确的是
A.若样本数据x1,82,…,x6的方差为2，则数据2x1-1,2x2一1…，2x6-1的方差为4
B.若P(A)=0.6,P(BA)=0.5,P(BA)=0.2,则P(B)=0.38
C.在一组样本数据(1，Y1),(x2,Y2),…,(x,y),(n≥2,1，x2,xn不全相等)的散点图中，若所有样本点
(,y)(=l,2,)都在直线y=一x+1上，则这组样本数据的线性相关系数为一是
D.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得经验回归方程为24x+0.3,则
c,k的值分别是e0.3和4
11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,c2+2b2=9,则下列说法正确的是
A.△ABC为钝角三角形
B.2AB.CA=CB.CA
C.若M为边BC的中点，则AM的取值范围为（支，是）
D.sinA≥3 sinCsinB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知(1+3x)n的展开式共有9项，则该展开式中含x2的项的系数为
13.己知3+9=18当x+2y取得最大值时，y的值是
14,记max{a,b}表示a,b中最大的数，己知x∈R,0∈R,则max{3x+3-sin0-cos0,k+3+sin0-cos0}的最小值为
四、解答题：本题共5.小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤，
15.(本题满分13分)
已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n十t(t为参数)，
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)求数列{sin2(an)°的前90项和
注意：这里(an)°表示角度，sin2(an)°=[sim(an)°]2高三数学参考答案
一二选择
ACB
1.C【解析】B=(x11x-31<1}=(x|2ZC【瞬析1由楚意可将面数的定又城为(0,十),且在定义城内单调适增,(2)一一1<0,(3)一3+10g3>0,又
数(x)在区间LZ,3J上的图原是连续不断的凿线,则函数(±)在区间(Z,3)上存在不原,故通(
3.A【解析】由题可得a十为-2-1+3+=5+(a-1).a∈R,所以a-1=0,放a-1,-3+,所以|a|-V平十
=y1O.故选 A
4.C【解析/与口相交时,明与川不备直,得出m“n≠0,克分性成立m“加≠0时,得出m与n不备直,所以得出/与
相交,必要性成立,所以”/与a相交”是”m·≠0”的充要条件。故选:C
5,C【解新1由aa十a一3,将a一3,即4=1,设等差数列公差为4,则a一4十2d,即1十2d-5,解得d-2,则
茎数列通项公式为4=2n一5,因为11×60%一6,6,所以第60百分位裁是第7项,y=2×7一5=9,故选;C
6.D【解析】直线一ax十y+2-0恒过点M(0,-2),且舒率为a
∵kg=3—(—22=—
—2—O -之2,,ke=23g一—o2O=3乏,由图可知a
∴a∈(-号,三),故选:D.
7.B【解析】根据题意,甲、乙两个扇形的半径相等,设为r
升设甲、乙两个局形的圆心用分别为a1az,强长分别为占山
根 ~=4=2,a+a=3,解得a=2,a=1.
gC 6i+2r 2r+2r 4
所以4=ar=2r,4=ar=r,可符C-i+2-+2r 故选B
8D【解析】当球O的体积最小时,球的直径为BC,故平径R=1,因为点P在底面的射彩在直线AB上,故平面PA
|平面ABC,故点P在以AB为直径的圆上,数点P到底面ABC距离的最大值为该国的年径,附,故选;D
9.ACD【解析】已知双曲线Cx-三-1,因为a=1,6-m,所以c=1+m
设A(c,ya)代入双曲线方程,解得yx=m,所以1AF1=m,即1AB=2m
又由双曲线定义可知,1AF|一1AF1-2a-Z,所以1AF;|-m十2,同理1BF,-m+2
对于A,△ABF的周长为1AB+1AF1+1BF|=2m+m+2+m+2=12
所以四2,A正确:
对于B,焦距为2c=2√1十m=2√3,B错误
对于C,离心率为e=二=ZI+m=V3,C正确;
对于D,San■ -×IABl×IFF,|=4√3,D正确.故选:ACD
10.D【解析1A选项;若杆本般据西山 面的方差为2,财数播Z4—1,2一1 ,Z一1的方差为×2=8
4,敌A错误
B选项:若P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(BIA)=0.2,则P(AB)-P(A)P(BIA)=0.3
P(AB)-P(A)P(BIA)=0.4X0.2=0.08,则P(B)=P(AB)+P(AB)=0,38,故B正确
C选项;在一组样本数播(内),(的) (工从),(n≥2,山面 正,不全相等)的载质图中,若所有科不
答
数学参考冬策(H8)一1
(xy)(2=12n)都在直线y= 2五十1上,其中 是线性回归万程的一次项系数,相关原数为一1,相关
数是前茵一组数据线性相关程及一个童,配固是L一1,小,自相关系数为止时至止相关关系,为员时呈员相关关系
故C锆误;
D选项;以模整y=c去拟合一相救播时,为了求出经验间归方程,设x=lny,则x=ny=hc+lne一hc十k
由题线性四归方程为x一4r十0.3,则1nc一0.3,一4,故c,水的值分别是e“和4,故D正确,故选;叫
11,ACU【析1A选预;因为C十26一9一心,所以心>矿十C,放A为能角,△A为锐角三用形,效A止明
B选项,2·-市·2市o()-,)-2A-oC-2×+一
Zb
=gxb十a—cq -÷-2(5+c-a2)=b+a-c=36+c=a=9,故B错误
C选项;法1;以B为坐标原点,BC为工轴正方向建立平面直角坐标系,设A(xy),B(0,0),C(3,0)
则1ABI°+21ACI*=9,可得x+v+2L(x-3)*+yJ=9
化荫挥(x一2)十y一1,故A在以T(2,0)为网心,T为平径的圆上,又M(号,0)在圆T内
则1-|TM法2设|AM|=t,根据中线定理有F+c2=2(F+了)
又c=g-2b2,代入得t2=4号—5
又b+c>a=3,故c>3-b,则c>(3-b)2→g-2b>(3-b)2
解得0D选项:3sinCsinB≤sinA3csinBKa=3=csinB≤1
法1;设A到边比的距离为5,由C选项知A≤1,即cSinB≤1,故D正确
法2:csinB1=csin B1=c(1-c0sB)≤1
(g+c_二)
代入余弦定理可得csin B≤19e-cgx(a+5)1e—Cx -1号(c=5)≥0,故D正36
确,故这;AC卫
三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分
12252【解析因为(1+3)的展开式其有9项,所以n=8,(1+3)=(1+3),展开式的通项为工一G(3zy
C3x,开中-0,1,2 8,取,=2,可得工=G·3·x=252x,所以展开式中含x的项的系数为25
13.2[解新因为3+3-18,所以3+9-3+3>2√3·3→18>2√3-9≥√3→3≤81=3
x+2y≤4,所以当x=2,y=1时,x+2y取得最大值4,所以xy=2
14.二【解析】令M_-max(13x+3-sin0-cos,1x+3+sin0-cos0)1M≥13x+3-sn0-cos11,1M≥13r+3-sin0-cos1有1M≥1±+3+sin6-cos01L3M13x+9+3sin0-3oos61从而4M≥13z+3-sin0-cos01+13x+9+3sin0-3oos6I由绳对值不等式1a|+1b≥|a-知4M≥16+4sin0-2cos0||6+2√5sin(0-g)|≥6-2√5,其中COSg Sng= ,故Mc3二/5
5 5
(3r+3-sin0-c0s0=-x-3-sin0+cos6
当仪当 sin 6=—三 时取等,此时x=5云5忘,cos6= 1O
数学参考答案(H8)一2 点号青来依意
四、解答题,本题共5小题,共77分,请在答想卡指定区城内作客,解答时应写出文字说明、证明过程或满算步调
15.【解析】(1)由题知a=S=1+1,a=5-5=Z,as=S-S=3
因为(a.}为等差数列,故2a一a十a,解挥1=0,故a=1.公差d=1
从而a.=1十n一1=n,故数列(a}的通项公式为a,=n, 6分
(2)设S-sin21*+sin22^+sin23°+ +sin288°+sin289°+sin290°
故求数列{sin2(a.)"}的前90项和,即求S的值
又S=sin290*+sin289"+sin28g*+ +sin23"+sin22"+sin21"
故2S=2sin2902+(sin89"+sin21">+(sn28g*+sin22">+ +(sin21*+sn2892>
因为sin2a°+sin2(90°-a°)=sin2o°+coso°=1,故2S=2+89=91,故S=
故数列(sin2(a)}的前90项和关 3分
16.【解析】(1)设事件A:甲,乙所选的大学不同.事件B;丙与甲、乙的选择均不同
1Oxg 1Ox9x8 Z2
则P(A)==ioxio 1oP(AB)10x10x10100
PAB
故 P(BA)= 5
P(A
(2)由题知XC(0,1,2,3)
CCC CiCCiC
则P(XO)
CCC CCC
CCCC CC
P(=2) 3分
CCC CCC
故X的分布列知下教
法1:X的数学期望E(X)=0× 15
法2:每一个人参加第一场宣讲活动的概率为 上()3 5
17.【解析】(1)因为f(x)=e2+ -f(0)e*,故F(x)=2e2+六f(0)e
故 f(O)=2十 二f(0),解得广(0)=3,故f(x)=e2+e,
故f(0)2
(2)由(1)知g(x)=ae*+ae-2e'-x,故g(x)-2ae2+ae'-2e'-1
故g(x)=ae'(2e'+1)-(2e'+1)=(2e'+1)(ae'=1)
当a≤0时,g'(x)<0,故g(x)在[0,1]上单调递减:
当 a>0时,令g'(x)=0,解得z=In工
专 0,即a≥1时,区(x)≥0,故x(z)在[0,11上单调递增 分
若 1,即as -时,g(x)≤0,故R(x)在[0,1]上单调递减
若Cn 1,即 0
故g(x)在(0,ln二)上单调递减,在(ln二,1)上单调递增 12
综上所述,当a≤1时,g(x)=g(1)=ae2+(a-2)e-1=(e+e)a-2e-1;
公点号青
数学参考答聚(H8)一3
a1时(立 十na
5 a≥1时,g(e十e)a—2e
故五(a)= 5分
十lna
2a—2,a1
18.【解析】(1)设P(x,y),则x≥0,由题设知:√(x-1)十y-x+1
即x2-2x+1+y=x+2r+1,即 y=4x,
故由线E的方程为y2=4x
(2)设Q(2,2),A(x为),B(xy),
设直线QA:x=k(y-2)+1,直线QB:x-k(y-2)+t
[x=k (y—2)+f,
立 可得 y—4ky+8k1—4x=0,
y=4x,
故△-16k2-4(8k:-4t)=0,化简得好-2k+1=0,且v=2k
同理可将一2kg十1=0,为=2kg;
故k,也,是方程F一2k十1一0的两个不等实报,则k十6=2,则w十w=2(k十h)一4
所以直线AB的针率k=—=— 三
油十
(3)法1;设直线AB的方程为x一y十m;A(n,M),B(五,为)
工三y十n,
联立 可得y-4y-4m=0,则有4>0,可得m>-1
[y=4x
且y+y=4,yn=-4m,则n+x=y+y+2m=4+2m 11
所以线段AB的中点K(m十2,2),则AB的中垂线为v=—下十四十4, 12分
设M(a,b),则6=一a十m+4,1
又|MC|=|MA|,则|MC|2=|MA|3=|MK!>卜|KAl3=|MK|2+1AB
根据弦长公式得1MK|2=(/Z16-21)2(6-2)3,1AB|2=(VZ1v-v,1)°=2(16+16m)
代入②式得(a+4)2+E=2(b-2)丨8(m+1)
化简得a2-+8a+8b=8m,8m 4
根据①③可得a-b+&a+86=8(b+a-4),化简得5-a2=32
故,点M在双曲线y2一x'=32上,
y工32
联 →x-4x+32=0,则4<0,方程无解,
y4
故不丹在这样的点M到点A,B,C的距两均相导
法2;设M(a,b),则A,B,C在以M为圆心的国上,设OM;(x—a)+(y-b)'=r
代入点C(-4,0),可得(-4-a)*+F=r
故OM:(x-a)'+(v-b)'=(4+a)1+F,展开得z+v-2ax-2bv-16-8a=0
设直线AB的方程为x=y十四
y三4x
立 中y—4y—4m=0,
r三y十m
十y*-2ax-26y-16-8g=0,
联立 →2y+(2m-2a-2b)y+m2-2am-8a-16=0
Ey十
则万程y-4y-4m=0与2y+(2m-2a-26)y+m-Zam-8a-16=0的解相阿
答
致学参考答策(H8)一4
—4加
2m-2a-2b m2-2am-8a-16
[m=a+b—4,1
从而
lm+(8-2a)m-8a-16=0,2
将O代入O得m(m+8-2a)=8a+16 (a+b-4)(6-a+4)=8a+16=v-(a-4)*=8a+16
即B-a2=32,故点M在双由线v2-x2=32上
[y—x=32,
联 →x-4x+32=0,则△<0,方程无解
y4x
故不存在这样的点M到点A,B,C的距两均相导
19.【解析】(1)因为AB=AA,+A.B+BB
故AB-(AA+AR+B5)-NN+A成+R5+2AA·A成+2AR·R5+2AR,BB
1+4+9+2AA,·B,B=14-2×1×2×cosY=12,解得cosY= ,故7=60,
(2)以B,为坐标原东,症立空间直角坐标系如困,则B.(0,0,0),B(0,2,0),A,(3,0,0)
因为y-80°,所以a的一个法向量为m=(0,sinY,一cosY)=(0,学,-二
设P(xo·%,à),则B.P·m =2%-之2=0=a-V3M,故 P(z,30w3x),
(这里也可以写;因为y=60,故tamY=2=√3,故 a=√3w)
从而1BP|2=+(y-2)2+36=5,即6+4v-4y=1,Q
1PA|=21PB,|→|PAI2-41PRI →(x-3)*+%+36=4(+%+3%)
印z6+4y+2x=3,2)*
由①②可得工十2y=1,代入①可得M一1,故P(一1,1w3)
从而点P到B的距离为√3, g
(3)同(2)建系,设M(x,y,2),因为BM=1,则十一=1
又点M到直线A.B,的距离为d,则d=vi十zi
因为a的一个单位法向量为m=(0,sinY,一co5y),B的一个单位法向量为n=(0,0,1)
则sin6-|cos(m,B,M|-|ysinY-zcosy.,sinQ=|eos(n,B,M)|=|zl
因为点M为二面角a-1-8内部的一个点
故 y>0,a>0,一zicos y.oSy
(zi=sinG
从而sinA=ysinY—zcosY,sin凸=z,从而有 _sin a十sin 6soos y
sin
代入d=方十必可得d (sin 0十sin hcos ) 十sin
SLn
即r-(sin6+sin&ososi,my)'+sim8sinr-sina+sm0i+2nsin8sinacos
I—cos Z —cos2B
义 sim6+sin2G =1-os20+c0s2=1-cos(6+6)cos(G-6)
2sin6sinA=-Lcos(a+a)-cos(6-8)J
故=1-cos(Q+&)oos(6-8)-Lcos(6+&)-co5(6-8)]cos
siny
又因为 cos(8十8)
二CoS( coS( )cos(6—6)十1 三Co8
故d 3
sin siny
答
数学参考客策(HB)一5
法1;因为任意出和品,均有d2
2y5
一方面:必有当8=8,即c0s8=c0s6 二时,不等式成立
x1+1 5cos55
此时d
siny 1—cos2y
化简得(5cosy-2)(cosY+1)≥0,解得cos7≥合,故必有cosy 5分
15
cos(a—a) —5cos(6—6)+1g
另一方面;当 cos
2
25
-5cos(G—8)—19 5+1g
故 二恒成立,特合题意
21
根据最值定义知,cosy的最小值为
25 3y105 5
此时 eO83.=coS 6= 1乙分
3155
法2:①因为BM=1,故d≤1恒成立,
=(cosy 子)cos(G-B)+1- =Cossin 慢成立
即cos2y+|cos(θ-6)* CoS-5cos(a-a)≤O
即(cos Y-言)[cos Y+cost0-0>]≤0,
又因为cosY>0,cos(8一8)>0,故c0sY 5
四因为任意0和6,均有d 成立
由①知cosy 1≤0,故当cos(6-8)=1,即e0s0=cos8=25三时,d取最小值。
(cos y— x1十1 CoS7三十Cos)
即最小值为 siny 1—cosy
22
5十5coS
1—cos2y (6)一 ,化简得(5cosy一2)(oosy+1)≥0,解得cosy≥
25
综上所述,cosy的最小值为 =.此时 cOs Q=cos A= M 1O5
答

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