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2025 学年第二学期九年级数学 3 月质量检测
一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目的要求.）
1. 的倒数是（ ）
A. B.6 C. D.
2.如图,这是由六个大小相同的正方体搭成的几何体,其主视图是（ ）
A. B. C. D.
3.DeepSeek 是中国深度求索公司研发的高性能 AI 语言模型,广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026
年 1 月,DeepSeek 全球月活跃用户数突破 46200000 个,创下行业新纪录.用科学记数法表示 46200000,下列
正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列式子中,计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列关于反比例函数 的说法正确的是（ ）
A.图象经过第二、四象限 B.y 随 x 的增大而减小
C.图象与 x 轴有交点 D.点 在该函数图象上
6.某中学举办了“文明城市,你我同行”的知识竞赛.经过对竞赛成绩的分析,得到如图所示的两幅不完整
的统计图（A：59 分及以下；B：60-69 分；C：70-79 分；D：80-89 分；E：90-100 分）根据图中提供的
信息,以下说法正确的是（ ）
A.该校共有学生 1200 人
B.80-89 分段的人数是 300 人
C.在扇形统计图中,“70-79 分”部分所对应的圆心角的度数是 108°
D.59 分及以下的人数最少
7.如图,△ABC 与△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形,若 ,则 （ ）
A.2∶1 B.2∶3 D.4∶9 D.4∶5
8.我校开设多种形式的劳动教育课程,提高同学们的基本劳动能力,帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最
崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念.在某次劳动课上,同学们学习制作福袋和灯笼.已知每卷彩纸可制
作福袋 40 个或灯笼 25 个,且每卷彩纸只能做其中的一种.现有 36 卷彩纸,完成后打算将 2 个福袋和 1 个灯
笼配成一套礼物送给父母.最后彩纸没有剩余,礼物也刚好成套.设做福袋用了x卷彩纸,做灯笼用了y卷彩纸,
根据题意,下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.如图 1,E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点,点 P 从点 B 沿折线 BE-ED-DC 运动到点 C 时停止,点 Q 从点 B 沿
BC 运动到点 C 时停止,它们运动的速度都是 1cm/s.若 P,Q 同时开始运动,设运动时间为 t（s）,△BPQ 的
面积为 y（ ）.已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2,则下列结论正确的是（ ）
A. B.当 时,△BPQ 是等腰三角形
C. D.当 时,
10.如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 上的动点,且 BE＝BF＝CG＝AH.若菱形的面
积等于 24,BD＝8,记 EF＝x,GH＝y,则下列代数式的值不变的是（ ）
A. B. C.xy D.
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.请把答案填在题中的横线上.）
11.若代数式 有意义,则 x 的取值范围是 .
12.已知,在“浙 BA”篮球赛中,由大数据推送发现某地 21 号运动员比赛中罚球投中的概率是 .若他在一
场比赛中,有 10 次罚球机会,则他估计能投中的次数是 .
13.已知一个圆锥底面半径为 2,母线长为 5,则这个圆锥的全面积为 .（结果保留π）
14.如图,AB 为⊙O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC,PD 与⊙O 相切,切点分别为 C,D.若 AB＝6,PC＝4,
则 CD＝ .
15.如果不等式组 的解集是 ,那么 m 的取值范围是 .
16.直线 ,A,B,C 分别为直线 , , 上的动点,连接 AB,BC,AC,线段 AC 交直线 于点 D.设直
线 , 之间的距离为 m,直线 , 之间的距离为 n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且 ,则 的最大值
为 .
三、解答题（本大题共 8 小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.计算：
18.先化简,再求值： ,其中
19.跳皮筋是学生时代的课间游戏,由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端,跳皮筋的人需要按照特定的节奏
和动作,用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃,边跳还会边唱着童谣“小皮球,香蕉梨,马兰开花二十一……”.
如图,拉皮筋的两人位置为 D、C,跳皮筋孩子脚踩位置为 E 点,点 D、E、C 在地面同一直线上,此时橡皮筋
离 地 面 的 高 度 米 .（ AD,BC 垂 直 地 面 ） 若 , . ,
,最后结果保留到 0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间 AB 的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的 E 点时,橡皮筋比原来拉长了多少米.
20.观察连续两个正整数的立方差：
① ；
② ；
③ ……
（1）写出第 n 个等式（n 为正整数）,并给出证明.
（2）问 2025 能否写成这样的两个连续正整数的立方差？如果能,请写出这两个正整数；如果不能,请说明
理由.
21.尺规作图问题：已知△ABC,∠ABC 是钝角,AB＞BC,请用尺规作 AC 的中点 P.小聪：如图 1,以点 A 为
圆心,BC 长为半径作弧,以点 C 为圆心,AB 长为半径作弧,两弧相交于点 Q,连接 BQ 交 AC 于点 P,则点 P 为
AC 的中点.
小明：如图 2,作 AB 的中垂线,垂足为点 M,作 BC 的中垂线,垂足为点 N,以点 M 为圆心,BN 为半径作弧,交
AC 边于点 P,则点 P 为 AC 的中点.
小聪：小明,你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
证明：小聪的作法是正确的.指出小明作法中存在的问题.
22.图书馆和书店之间有一条笔直公路,小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店,同时小丽从书店步行
沿公路匀速前往图书馆,小明到达书店后,逗留了 5 分钟再原路原速返回到图书馆.设小明、小丽与书店的距
离分别为 , 米,小明与小丽之间的距离为 s 米,设小丽行走的时间为 x 分钟. , 与 x 之间的函数图象
如图所示.
（1）分别求出线段 OG,CD 所在直线的函数表达式.
（2）求小明、小丽第二次相遇时 x 的值.
（3）当 时,若 ,求 x 的值.
23.已知抛物线 （ ,b 为常数）经过点 ,当 时,函数值为 p,当 x＝1 时,函
数值为 q, .
（1）求函数表达式.
（2）若过点 与 x 轴平行的直线交抛物线于 B,C 两点,且点 B 恰为线段 AC 的中点,求 t 的值.
（3）有一条直线 ： ,向下平移 9 个单位长度得到直线 .设 ,抛物线的一段
（ ）夹在两条直线直线 , 之间,求 的最大值.
24.如图,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,对角线 AC 为直径,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,交 BC 于点 F.
（1）若 ,求 的度数；
（2）连接 BD,若 ,求 的值；
（3）在（2）的条件下,若 BD,AC 交于点 P, ,试用含 m 的式子表示 .
2025 学年第二学期九年级数学 3 月质量检测答案选择题
一、（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目
的要求.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B D D C A B C B
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.请把答案填在题中的横线上.）
11. 12.8 13. 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共 8 小题,共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.解：原式＝
＝
19.解：原式＝ …
当 x＝2 时,原式＝
（1）∵ , ,∴ ,
∵AD＝BC,∴四边形 ABCD 是平面四边形
在 Rt△ADE 中, ,∴
在 Rt△BCE 中, ,∴
∴
在 Rt△ADE 中, ,∴ .
在 Rt△BCE 中, ,∴ .
∵
∴橡皮筋比原来拉长了 0.7 米.
20.（1）
左边
右边
∵左边＝右边
∴等式成立
（2）设两个连续的正整数分别为 n 和
,
由 可 知 ,若 其 中 一 个 数 为 正 整 数 ,则 另 一 个 数 也 为 整 数 ,此 时 也 为 整 数 ,这 与
相矛盾,
∴2025 不能写成两个连续正整数的立方差.也可：
∵ ,其中 24297 不是完全平方数,
∴2025 不能写成两个连续正整数的立方差.
21.（1）由尺规作图可知：AQ＝BC,AB＝CQ,
∴四边形 ABCQ 是平行四边形,∴ ,即点 P 为 AC 的中点.
（2）因为小明的作法中以 M 为圆心,BN 为半径作弧,与 AC 边会有两个交点,其中一个交点不是 AC 的中点.
设线段 OG 的解析式为 ,
把 代入得： ,解得 ,
∴
设线段 CD 的解析式为 ,
把 , 代入得： ,解得： ,
∴
（2） ,解得 x＝22.5,
∴小明、小丽第二次相遇时 x 的值是 22.5.
（3）①当 时, ,解得 x＝24.5
②当 时, ,解得 x＝20.5
23.（1） ,解得 ,∴ .
设 ,∵点 B 恰为线段 AC 中点,∴
,解得
当 时, .
当直线 与抛物线相切,即只有一个交点时,
∴
,
解得：
∵直线 ： 向下平移 9 个单位长度得到直线 ,
∴ ：
,解得： , ,
∵ ,∴当 ,n＝4 时,
∴
24.（1）∵弧 CD＝弧 CD,∴∠CBD＝∠CAD,
∵AC 是直径,∴∠ADC＝90°,
∴
∵DE⊥AC,∴
∵ ,∴设 CF＝a,则 BF＝2a,
∵∠DCF＝∠BCD,∠CDF＝∠CBD,
∴△CDF∽△CBD
∴
∴ ,
∵ ,∴
∴
（3）过点 P 作 PQ∥DF 交 BC 于点 Q,
∴ , ,
∴ ,即
,即
∴
∵ ,
∴ ,即 ,
在 Rt△PDE 中, ,
由（2）得： ,∴

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