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定远育才学校2026年高三第二次模拟检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是复数z的共轭复数，若，则（）
A. B.2 C.1 D.
2.已知集合，则（）
A. B.
C. D.
3.已知，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
4.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则(　　)
A. B. C. D.
5.“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）．
A.， B.，
C.， D.，
6.函数部分图象是（ ）
A. B.C. D.
7.规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（）（参考数据：）
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，圆，则（ ）
A. 圆与圆公共弦所在直线的方程为
B. 直线与圆总有两个交点
C. 圆上任意一点都有
D. 是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为
10.如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（）
A.的图象不关于直线对称
B.的最小正周期为
C.的图像关于原点对称
D.在单调递减
11.双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A.若直线的斜率存在，则的取值范围为
B.当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C.当时，的面积为12
D.当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则 .
13.空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是 ．
14.在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，内切圆的半径为，求；
（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
16.本小题分某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”；
(3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．
附：χ2＝.
17.本小题分三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．
（1）求PB与平面PCE所成角的正弦值；
（2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．
18.本小题分已知抛物线上一点到焦点F的距离为9.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积.
（3）过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.
19.本小题分已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数的最小值为0，求的值.
高三数学试题 第4页 共4页定远育才学校2026年高三第二次模拟检测数学试题答案
一、单选题
1.C 2.C 3.C 4.A 5.A 6.A 7.B 8.B
二、多选题
9.BCD 10.ACD 11.ABD
三、填空题
12.13.14.
四、解答题
15.（1）解：由，
得.
因，故，即.
由此得，结合，则.
（2）解：由三角形面积公式，，
代入，得，故.
由内切圆面积关系，，
代入得，
故，即.
由余弦定理，.
代入及，得，解得.
（3）解：由角平分线性质，.
在中，由正弦定理，，得.
在中，同理得，故.
设外接圆半径为，则，
得，.
代入，得，化简得.
由均值不等式，，
得（当且仅当时取等号）.
则.
16.解　(1)依题意，因为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15，20)内，所以中位数为15＋＝17.5.
(2)依题意，消费金额不少于20千元的频率为0.04×5＋0.03×5＝0.35，所以网购迷人数为100×0.35＝35，非网购迷的人数为100－35＝65.
所以补全2×2列联表如下．
所以χ2＝≈6.593.
因为χ2>5.024＝x0.025，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”．
(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为＝，乙使用支付宝的概率为＝，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4.
P(ξ＝0)＝2×2＝，
P(ξ＝1)＝C×××2＋2×C××＝.
P(ξ＝2)＝2×2＋C×××C××＋2×2＝，
P(ξ＝3)＝C×××2＋2×C××＝，
P(ξ＝4)＝2×2＝.
所以随机变量ξ的分布列为
所以ξ的数学期望
E(ξ)＝＋2×＋3×＋4×＝.
17.解：（1）在等腰直角中，，
由勾股定理得.
因是靠近的四等分点，
故，.
因在底面上的射影为，
故平面，则，.
在中，，，
由勾股定理得.
因平面，且平面，
故平面平面，交线为.
过作于G，
因平面，且平面平面，故平面.
连接，则即为与平面所成的角.
在中，，，.
由余弦定理得
，
故.
由三角形面积公式，，
代入得，解得.
在中，.
在中，.
（2）假设存在使平面平面.
因为是靠近的四等分点，所以，
则.
由可知，点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆.
其中，长半轴，半焦距，由得短半轴.
以为原点，为轴正方向，为轴，建立平面直角坐标系，
可得椭圆方程为（）.
设点的横坐标为，则有，
，，
且，
解得，所以假设成立.
即存在点D使得平面平面PBC，此时．
18.解：（1）已知抛物线，其准线方程为.
已知点到焦点的距离为，则，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，由（1）知点，
直线l的方程为.
由可得，则，，
，
则不妨取，，则点A，B的坐标分别为，.
设点M的坐标为，则，，
则，
解得.即，
又点M到直线l的距离，故，
故的面积；
（3）设，，，过点的直线方程设为（存在时）.
联立，将代入得，即.
由韦达定理可得，.
由和消去：由，则，
化简得，所以，.
，，
则
.
要使与无关，则.
由，解得，将代入得：，
解得.
此时.
当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入得，
设，，.
所以存在定点，使得为定值.
19.解：（1）当时，，.
求导得.
当时，.
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
因此当时，取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，.
当时，时，单调递减；
时，单调递增.
当时，时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增.
当时，对任意成立，故在上单调递增.
当时，时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增.
（3）令，.
求导得.
当时，，在上单调递增，无最小值，不符合题意.
当时，令，解得（）.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
因为，故，两边同时除以得，即.
解得，故.
高三数学答案 第6页 共6页

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