资源简介

湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期寒假作业反馈练习数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如果角的终边在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．或
6．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题
C．“，”是假命题
D．“”是“”的必要不充分条件
10．已知函数，则（ ）
A．在定义域内是增函数 B．的最小正周期为
C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
11．对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“k—利普希兹”条件，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则在上相对于不满足“2—利普希兹”条件
B．若，，在上相对于满足“k—利普希兹”条件，则k的最小值为
C．若，，在上相对于满足“4—利普希兹”条件，则a的最大值为
D．若，，在非空数集D上相对于满足“1—利普希兹”条件，则
三、填空题
12．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______.
13．已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______.
14．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
15．已知关于x的不等式的解集是M.
(1)若，求解集M；
(2)若，解关于x的不等式.
16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值.
17．某种植园种植某菌类的年固定成本为3万元，每产出x吨该菌类需另外投入成本万元，该菌类可以每吨6万元的价格全部售完，设种植园种植该菌类年利润（利润=销售额-成本）为万元，当种植园产出该菌类2吨时，年利润为1万元.
(1)求年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：吨）的函数关系式；
(2)年利润是否有最大值？最大值是多少？此时产量是多少？
18．对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”.
(1)求证：，是“T函数”；
(2)若函数是“函数”，求实数k的取值范围；
(3)对于定义域为的函数，.函数是奇函数，且是严格递增函数，若，，求的值.
19．对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”.
(1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
(2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围；
(3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合.
参考答案
1．B
【详解】因为函数是增函数，且，所以，即.
又，所以.
2．B
【详解】由，得，解得；
由，得.
因为，推不出，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
3．D
【详解】由向量，可得，
则向量在向量上的投影向量为.
4．A
【详解】因为函数在区间和上各有一个零点，且函数的图像开口向下，所以，解得，所以实数k的取值范围是.
故选：A.
5．B
【详解】方法一：
因为角的终边在直线上，所以设直线上一点，
可得．
所以
．
方法二：
直线过第一象限和第三象限．
若的终边在第一象限，可取终边上一点，
则，，
则．
若的终边在第三象限，可取终边上一点，
则，，
则
故选：B
6．D
【详解】不等式 可化为，
当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立；
当 时， 的图象开口向下，不满足题意，
所以 ，且 ，所以 ，
所以 ，且 ；
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，所以 的最小值为 .
7．B
【详解】由已知，
；
；
联立可得.
设，.
则.
因为，所以，解得.
所以，点是上靠近点的三等分点，
所以；
8．C
【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值.
所以；
由，得.
所以.
令，则.
由在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，所以，
所以.
所以，解得.
若，，此时取可使成立.
当时，，其中或时，，所以.
若，，此时取可使成立.
当时，，其中或时，，所以.
若时，，此时取可使成立.
当时，，其中时，.
所以时满足题意.
故的最大值为.
9．ACD
【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确；
“至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误；
当时，，，C选项正确；
对于D，若，不妨取，则不成立，
若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确；
10．BD
【详解】对于A，，错误；
对于B，中，则最小正周期为，正确；
对于C，函数的对称轴为，
令，解得，
则函数图象的对称轴为，令得，错误；
对于D，令，解得，
则函数图象的对称中心为，
令得，所以是图象的一个对称中心，正确．
故选：BD
11．ABC
【详解】对于A，因为的定义域为，
令，则，；
此时，即在上相对于不满足“2—利普希兹”条件，即A正确；
对于B，由题可知，均有成立，
当时显然成立；
不妨设，则，
又因为，所以，
所以，即，故，即B正确；
对于C，由题可知，均有成立，
即，
当时显然成立；
当时，则可得恒成立，
又因为，，所以，即，
所以a的最大值为，故C正确；
对于D，由题意可得非空数集D上恒成立，
当时显然成立；
不妨设，则，
所以成立，
令，则函数在非空数集上单调递增，
因为，
当时，，函数单调递增，单调递减，
又单调递增，所以在上单调递减，
这与函数在非空数集上单调递增矛盾，因此D错误.
12．
【详解】因为且，，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
所以点P的坐标为.
13．17
【详解】设（常数），是R上的单调函数，所以唯一确定，是常数.
故.
易知是增函数.
由，得，所以.
所以.
，，所以；
，，所以，所以.
因为，，，…， ，使得成立，
所以.
所以，所以.
所以n的最小值为.
14．
【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
若，则当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以当，即，解得，
即时，函数的值域为；
若，则当时，.此时的值域为，不合题意；
若，则当时，单调递增，
当时，；当时，，故，即.
综上，实数a的取值范围为.
15．(1)或
(2)
【详解】（1）若，，
方程的根为，
所以，解得或，
故或；
（2）因为不等式的解集，
所以的一个解为，
所以，解得，
此时的解集为，满足题意.
不等式即，
等价于，解得，
故不等式的解集为．
16．(1)最小正周期为，单调递减区间是；
(2)
【详解】（1）
.
的最小正周期为，
由，，解得，，
所以函数的单调递减区间是.
（2）将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，
再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，
据题意有，且，则，
则
.
17．(1)
(2)年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨.
【详解】（1）由题可知，当时，总成本为，故有，解得.
因此当时，；
当时，.
综上，.
（2）当时，，所以在上单调递增，
所以当时，在处取得最大值，最大值为.
当时，.
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，
所以当时，在处取得最大值，最大值为.
综上，年利润有最大值，最大值是，此时产量是吨.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)0
【详解】（1）证明：取非零常数，
则对任意的，都有，
因为，即成立，
故，是“函数”.
（2）函数是“函数”，，
则，即，
整理得，而，
故，
即的取值范围为；
（3）令，，由题意知为奇函数，
因为，，
所以，
所以，所以，
因为为严格递增函数，所以，
则.
19．(1)不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“，
(2)实数的取值范围为；
(3)整数的取值集合为
【详解】（1）由题可知，则，
则，因为恒成立，
不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）因为是幂函数，则，所以，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）由定义可得，，则，
所以在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，
即，即.
综上，，则满足整数的取值集合为.

展开更多......

收起↑