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2026届高三联考试题数学
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 某市某月天的空气质量指数如下：则这组数据的第百分位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4. 已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5. 已知，则满足此式的点的全体构成的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7. 在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则n的最小值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分.
9. 若复数z满足：是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为i B. z在复平面上对应的点位于第一象限
C. D.
【答案】BD
10. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 点是曲线的一个对称中心
B. 直线是曲线的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 的图象与的图象在有6个交点
【答案】ACD
11. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C是轴对称图形
B. 曲线C围成的封闭图形的面积大于
C. 过原点O的直线与曲线C不可能有3个公共点
D. 若点A在曲线上，点B在曲线C上，则的最大值为6
【答案】ABD
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.
12. 函数在上的最小值为______．
【答案】1
13. 已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________．
【答案】80
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，，则的取值范围为_________．
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知与为公差相同的等差数列，且，.
（1）求与的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
解：（1）设，则，，，
由题意可得，解得，
则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2，
故，.
（2）由（1）得，，
故，
则，
故.
16. 黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为．
（1）求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率；
（2）若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率；
（3）经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：（1）记甲，乙，丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记甲，乙，丙三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件，
则．
（2）．
（3）记甲，乙，丙三幅作品成为成品的事件分别为，
则，
由可取，
则，
，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
则数学期望．
17. 已知点F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线C相交于点M，N，与抛物线C相交于点P，Q，请用表示，并求的最小值．
解：（1）点在抛物线C上，则，从而，
，解得， 所以抛物线的方程为.
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．
由，得
，
设，则是上述方程的两个实根，于是．
因为，所以的斜率为．
设则同理可得
故
，
当时等号成立，故的最小值为64.
18. 在直三棱柱中，，D是的中点，E是的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）圆O是的外接圆，P是圆O及内部的一个动点，
（i）若，求动点P轨迹的长度；
（ⅱ）若点P只在圆O上运动，记与平面所成角为，求的取值范围．
解：（1）由题意可知 两两垂直，
以为原点，以所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，
所以，
则，
设平面的法向量为，
由得，，
令，则，所以，
取平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）（i）法1：连接，过点作的垂线交圆于点，则线段就是点的轨迹，
理由如下：
因为平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，又平面 ，所以，
因为圆O半径为2，为正三角形，
所以由垂径定理可得，线段．
法2：设，则，，
由得，
因为圆心O到直线的距离为1，
所以，
所以动点轨迹形状为线段，长度为．
（ii）取中点，连接，则有平面，
因为为在平面上的射影，所以，则，
在中，，
所以，
所以．
19. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值；
（2）讨论函数在区间上的极值点个数；
（3）设，证明：当时，对，恒成立．
解：（1）由已知可得，由题意得，解得.
（2），因为 ，所以 ，故，
若 ，则恒成立，所以在上单调递增，无极值点；
若 ，则恒成立，所以 在上单调递减，无极值点；
若，由 得 ，
在上， 单调递减，存在唯一的，使得，
当时，，当时， ，
所以在 上单调递增，在上单调递减，有一个极值点；
综上所述，当或 时，在上无极值点；当时，在 上有一个极值点.
（3）因为，令是关于 的二次函数，
对称轴为 ，
令，则，
令，则；，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递增.
问题可转化为证明，即证
令，则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
综上：当时，恒成立．

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