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浙江省嘉兴市南湖区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025·南湖模拟）下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）。
珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰
8848.86 -10994 -154 4811
以上四个地点中海拔高度最低的是（　　）
A．珠穆朗玛峰 B．马里亚纳海沟
C．吐鲁番艾丁湖 D．阿尔卑斯山勃朗峰
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解： ∵-10994＜ -154 ＜ 4811 ＜ 8848.86 ，
∴海拔最低的是-10994，对应的是马里亚纳海沟。
故答案为：B.
【分析】正数和负数比较大小的时候，正数大于一切负数；而负数和负数比较大小的时候，绝对值大的负数，其负数值反而小。本题可以按照这个方法对四个数进行大小排列，最后即可得出答案。
2．（2025·南湖模拟）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得该几何体是圆锥.
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图即可得出答案.
3．（2025·南湖模拟）截至2025年4月26日，国产电影《哪吒之魔童闹海》的票房已突破15700000000元。数字15700000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15700000000 =
故答案为：D.
【分析】本题考查科学记数法的表示。
科学记数法是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中| 1| ≤| a| ＜| 10| )的记数法。本题a=1.57，然后确定n=10，即可写出答案。
4．（2025·南湖模拟）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由对角可得，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由AA可得，则，然后代入求值即可.
5．（2025·南湖模拟）某篮球队5名队员的身高（单位：厘米）分别为180，185，190，195，200。现用一名身高为185厘米的队员换下身高为200厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（　　）
A．平均数变大，方差变小 B．平均数变大，方差变大
C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大
【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：原5名队员的平均身高=cm，
方差=；
替换之后5名队员的平均身高=cm，
方差=；
因此与换人前相比，场上队员身高“ 平均数变小，方差变小 ”。
故答案为：C.
【分析】平均数，即将一组数据求和之后，再除以数据数量即可；方差，即计算出每个数据与平均数的差的平方，求和之后再除以数据数量即可。本题可以先分别计算出替换前和替换后的平均身高数，然后再计算出方差，对比即可.
6．（2025·南湖模拟）下列运算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
7．（2025·南湖模拟）如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
8．（2025·南湖模拟）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论：①函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为9．其中错误的结论是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设该一次函数解析式为y=kx+b，将点 代入，得到
，解得，∴该一次函数解析式为y=x+3，因此①正确；
∵k=1＞0，∴ 该一次函数的函数值随自变量的增大而增大 ，②正确；
当x=3a时，y=3a+3，因此点在该函数图象上，③正确；
该一次函数图象如图所示
围成的△AOB的面积=OA×OB=×3×3=4.5，④错误。
故答案为：D.
【分析】首先利用待定系数法将AB两点代入，即可求出一次函数的解析式；然后根据k的值判断该一次函数的增减性，即当k＞0时，一次函数的函数值随自变量的增大而增大；当k＜0时， 一次函数的函数值随自变量的增大而减小；然后将x=3a代入，即可求出对应的坐标点；最后画出函数图象，即可求出围成的三角形的面积.
9．（2025·南湖模拟）已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，在函数图象上，
∴图象关于y轴对称，
∴A、B选项排除，
当时，y随x的增大而增大，
故符合要求的函数图象为D选项.
故答案为：D．
【分析】由，可得图象关于y轴对称，再根据， 可知，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
10．（2025·南湖模拟）如图，点是等腰中斜边上的一个动点（不与重合）．若已知的长，则一定能求出值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·南湖模拟）在中随机取一个数字作为的值，使得二次根式有意义的概率是　 　。
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：二次根式有意义，即x-1≥0，解得x≥1.
∴ 三个数中，只有1满足二次根式有意义的条件。
∴在中随机取一个数字作为的值，使得二次根式有意义的概率是.
故答案为：.
【分析】本题考查二次函数有意义的条件及概率的计算。
首先，二次函数有意义，则根号里面的式子为非负数，此时可以计算出x≥1。然后观察三个数，发现只有1满足二次根式有意义的条件。因此在中随机取一个数字作为的值，即可计算出二次根式有意义的概率。
12．（2025·南湖模拟）计算：　 　。
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】首先利用平方差公式将变形为，此时发现分子和分母都含有x-1，这时要分析原式中分式有意义的条件，即x≠±1，因此x-1≠0，这样就可以进行约分化简，最后计算即可.
13．（2025·南湖模拟）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；两直线平行，同位角相等
14．（2025·南湖模拟）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可列出方程组　 　.
【答案】 .
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，依题意，得： 。
故答案为： 。
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据x个人每人出8钱的总钱数比物价多3钱，x个人每人出7钱的总钱数比物价少4钱，即可列出方程组。
15．（2025·南湖模拟）已知，若，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y=，
∴函数图象在一、三象限，
∵，
∴或，
故答案为：或．
【分析】先对原式进行变形，再利用反比例函数进行求解即可．
16．（2025·南湖模拟）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边和上，顶点F，H在菱形的对角线上，若，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】全等三角形中对应边的关系；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，分别交、、于点、、，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，分别交、、于点、、，先根据AAS说明，则，设，则，证明和，求得，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，据此代入计算即可求解．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线，）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（2025·南湖模拟）计算：。
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先分别计算出、，然后先计算除法、后计算减法即可.
18．（2025·南湖模拟）小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则。 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得。
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。
【答案】；
解：
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题是解方程的步骤。从解题步骤上可以看出，小李和小王的解题步骤都有错误，其中小李的错误，主要是没有考虑当x-2=0时的情况，因此不能在方程两边同时除以x-2；而小王的错误，主要是在“提取公因式”这一步做减法计算的时候没有变号，正确答案应该是。因此在解方程的时候要格外注意这两点。
19．（2025·南湖模拟）如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
（1）当时，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得，再次根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．（2025·南湖模拟）民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下：
七年级10名学生活动成绩统计表
成绩（分） 6 7 8 9 10
人数（人） 1 3 a b 1
已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？
（2）求a，b的值．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）解：，
=1（人），
答：八年级活动成绩为7分的学生数是人.
（2）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，
∴，.
（3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由如下：
七年级的平均分为（分），
优秀率为，
八年级的平均分为（分），
优秀率为，
∴优秀率高的年级平均成绩低．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）先求出得7分的学生的比例，再乘以即可；
（2）根据七年级名学生活动成绩的中位数为8.5分，可知成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，由此可确定a，b的值；
（3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可．
（1）解：人，
答：八年级活动成绩为7分的学生数是人；
（2）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，
即，；
（3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由为：
七年级的优秀率为，
平均分为分；
八年级的优秀率为，
平均分为分；
∴优秀率高的年级平均成绩低．
21．（2025·南湖模拟）小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上．
小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小嘉：小兴，你的作法有问题．
小兴：哦……我明白了！
（1）给出小嘉作法中的证明．
（2）指出小兴作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
由作图可得AE=AF，
在和中，
（SAS），
．
（2）解：∵若以D为圆心，长为半径作弧，
∴该弧与的交点可能有2个，
∴点F的位置不唯一确定，
∴不一定=．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得到；
（2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，则小兴的作法错误.
（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，
即点F的位置不唯一确定，因此不能确定．
22．（2025·南湖模拟）综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．）
第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B．
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的度数．
（2）求点B，D之间的距离．（结果精确到）
（3）求的长．（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：，
，
∵，
，
∵，
．

（2）解：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE=AC，
∴，
∴，
∵∠ACB=90°，
∴，
在中，，
，
∴点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；已知正切值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据两直线平行的性质得到的度数，再根据角的和差解答即可；
（2）先求出，再利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差即可得出答案；
（3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题．
（1）解：，
，
．
（2）解：在中，，
∴，
在中，，
，
故点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
23．（2025·南湖模拟）已知二次函数（为常数）的图象交轴于点，，，且其对称轴是直线．
（1）求的值．
（2）若，求二次函数（为常数）的最小值．
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴.
（2）解：∵ 二次函数（为常数）的图象交轴于点，，
∴点与点关于对称轴对称，
对称轴是直线，
，
，
，
，，
当，时，
即，
解得：，
，
当时，有最小值.
（3）解：，
，
∵，
，且，
把代入，得，
如图，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用抛物线对称轴公式，代入即可得出答案；
（2）根据及，列出一元二次方程进行求解得出，，再代入，求出二次函数解析式，进而得出答案；
（3）利用抛物线对称轴得出，得出，即，再分两种情况进行分析，即当时和当时，分别求出的取值即可．
（1）解：由得；
（2）解：对称轴是直线，
，
①，
②，
，，
把，代入得：，
，
当时，有最小值；
（3）解：
，，
，
，
把代入，得，
如图，当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
．
24．（2025·南湖模拟）如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点．
（1）如图，求证：；
（2）如图，当经过点时，求证：点是的中点；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）证明：∵ 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段 ，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
在，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点.
（3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，
∴，
∵ 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴∠FEC=90°，
∴∠FED+∠CED=90°，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴∠ECD+∠CED=90°，
∴∠FED=∠ECD，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，
∵，
∴，
∴，，
作于点，
当时，，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当时，，则，
同理，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴的值为或．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）由旋转性质可知，根据角的和可得，又由于四边形是正方形，则有，最后根据同角的余角相等即可求证；
（）作交的延长线于点，根据AAS证明，再根据全等三角形的性质可得，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证；
（）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，根据AAS可证明，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，根据AA说明，，，，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
（1）证明：由旋转性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作交的延长线于点，
由（）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，，，解得，，
作于点，
当时，，则，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当时，，则，
同理，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴的值为或．
1 / 1浙江省嘉兴市南湖区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025·南湖模拟）下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）。
珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰
8848.86 -10994 -154 4811
以上四个地点中海拔高度最低的是（　　）
A．珠穆朗玛峰 B．马里亚纳海沟
C．吐鲁番艾丁湖 D．阿尔卑斯山勃朗峰
2．（2025·南湖模拟）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱
3．（2025·南湖模拟）截至2025年4月26日，国产电影《哪吒之魔童闹海》的票房已突破15700000000元。数字15700000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南湖模拟）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南湖模拟）某篮球队5名队员的身高（单位：厘米）分别为180，185，190，195，200。现用一名身高为185厘米的队员换下身高为200厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（　　）
A．平均数变大，方差变小 B．平均数变大，方差变大
C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大
6．（2025·南湖模拟）下列运算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·南湖模拟）如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·南湖模拟）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论：①函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为9．其中错误的结论是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
9．（2025·南湖模拟）已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·南湖模拟）如图，点是等腰中斜边上的一个动点（不与重合）．若已知的长，则一定能求出值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·南湖模拟）在中随机取一个数字作为的值，使得二次根式有意义的概率是　 　。
12．（2025·南湖模拟）计算：　 　。
13．（2025·南湖模拟）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为　 　．
14．（2025·南湖模拟）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可列出方程组　 　.
15．（2025·南湖模拟）已知，若，则的取值范围是　 　．
16．（2025·南湖模拟）如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边和上，顶点F，H在菱形的对角线上，若，且，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线，）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（2025·南湖模拟）计算：。
18．（2025·南湖模拟）小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则。 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得。
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。
19．（2025·南湖模拟）如图，在中，，点分别在边上，且，连接．
（1）当时，求的度数．
（2）若，求的度数．
20．（2025·南湖模拟）民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下：
七年级10名学生活动成绩统计表
成绩（分） 6 7 8 9 10
人数（人） 1 3 a b 1
已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？
（2）求a，b的值．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
21．（2025·南湖模拟）小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上．
小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小嘉：小兴，你的作法有问题．
小兴：哦……我明白了！
（1）给出小嘉作法中的证明．
（2）指出小兴作法中存在的问题．
22．（2025·南湖模拟）综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．）
第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B．
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的度数．
（2）求点B，D之间的距离．（结果精确到）
（3）求的长．（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）
23．（2025·南湖模拟）已知二次函数（为常数）的图象交轴于点，，，且其对称轴是直线．
（1）求的值．
（2）若，求二次函数（为常数）的最小值．
（3）若，求的取值范围．
24．（2025·南湖模拟）如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点．
（1）如图，求证：；
（2）如图，当经过点时，求证：点是的中点；
（3）当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解： ∵-10994＜ -154 ＜ 4811 ＜ 8848.86 ，
∴海拔最低的是-10994，对应的是马里亚纳海沟。
故答案为：B.
【分析】正数和负数比较大小的时候，正数大于一切负数；而负数和负数比较大小的时候，绝对值大的负数，其负数值反而小。本题可以按照这个方法对四个数进行大小排列，最后即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得该几何体是圆锥.
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15700000000 =
故答案为：D.
【分析】本题考查科学记数法的表示。
科学记数法是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中| 1| ≤| a| ＜| 10| )的记数法。本题a=1.57，然后确定n=10，即可写出答案。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由对角可得，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由AA可得，则，然后代入求值即可.
5．【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：原5名队员的平均身高=cm，
方差=；
替换之后5名队员的平均身高=cm，
方差=；
因此与换人前相比，场上队员身高“ 平均数变小，方差变小 ”。
故答案为：C.
【分析】平均数，即将一组数据求和之后，再除以数据数量即可；方差，即计算出每个数据与平均数的差的平方，求和之后再除以数据数量即可。本题可以先分别计算出替换前和替换后的平均身高数，然后再计算出方差，对比即可.
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设该一次函数解析式为y=kx+b，将点 代入，得到
，解得，∴该一次函数解析式为y=x+3，因此①正确；
∵k=1＞0，∴ 该一次函数的函数值随自变量的增大而增大 ，②正确；
当x=3a时，y=3a+3，因此点在该函数图象上，③正确；
该一次函数图象如图所示
围成的△AOB的面积=OA×OB=×3×3=4.5，④错误。
故答案为：D.
【分析】首先利用待定系数法将AB两点代入，即可求出一次函数的解析式；然后根据k的值判断该一次函数的增减性，即当k＞0时，一次函数的函数值随自变量的增大而增大；当k＜0时， 一次函数的函数值随自变量的增大而减小；然后将x=3a代入，即可求出对应的坐标点；最后画出函数图象，即可求出围成的三角形的面积.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，在函数图象上，
∴图象关于y轴对称，
∴A、B选项排除，
当时，y随x的增大而增大，
故符合要求的函数图象为D选项.
故答案为：D．
【分析】由，可得图象关于y轴对称，再根据， 可知，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
11．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：二次根式有意义，即x-1≥0，解得x≥1.
∴ 三个数中，只有1满足二次根式有意义的条件。
∴在中随机取一个数字作为的值，使得二次根式有意义的概率是.
故答案为：.
【分析】本题考查二次函数有意义的条件及概率的计算。
首先，二次函数有意义，则根号里面的式子为非负数，此时可以计算出x≥1。然后观察三个数，发现只有1满足二次根式有意义的条件。因此在中随机取一个数字作为的值，即可计算出二次根式有意义的概率。
12．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】首先利用平方差公式将变形为，此时发现分子和分母都含有x-1，这时要分析原式中分式有意义的条件，即x≠±1，因此x-1≠0，这样就可以进行约分化简，最后计算即可.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；两直线平行，同位角相等
14．【答案】 .
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，依题意，得： 。
故答案为： 。
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据x个人每人出8钱的总钱数比物价多3钱，x个人每人出7钱的总钱数比物价少4钱，即可列出方程组。
15．【答案】或
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y=，
∴函数图象在一、三象限，
∵，
∴或，
故答案为：或．
【分析】先对原式进行变形，再利用反比例函数进行求解即可．
16．【答案】
【知识点】全等三角形中对应边的关系；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，分别交、、于点、、，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，分别交、、于点、、，先根据AAS说明，则，设，则，证明和，求得，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，据此代入计算即可求解．
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先分别计算出、，然后先计算除法、后计算减法即可.
18．【答案】；
解：
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题是解方程的步骤。从解题步骤上可以看出，小李和小王的解题步骤都有错误，其中小李的错误，主要是没有考虑当x-2=0时的情况，因此不能在方程两边同时除以x-2；而小王的错误，主要是在“提取公因式”这一步做减法计算的时候没有变号，正确答案应该是。因此在解方程的时候要格外注意这两点。
19．【答案】（1）解：，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得，再次根据等腰三角形的性质及三角形的内角和180°可得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出．
（1）解：，，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．【答案】（1）解：，
=1（人），
答：八年级活动成绩为7分的学生数是人.
（2）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，
∴，.
（3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由如下：
七年级的平均分为（分），
优秀率为，
八年级的平均分为（分），
优秀率为，
∴优秀率高的年级平均成绩低．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）先求出得7分的学生的比例，再乘以即可；
（2）根据七年级名学生活动成绩的中位数为8.5分，可知成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，由此可确定a，b的值；
（3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可．
（1）解：人，
答：八年级活动成绩为7分的学生数是人；
（2）解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，
即，；
（3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由为：
七年级的优秀率为，
平均分为分；
八年级的优秀率为，
平均分为分；
∴优秀率高的年级平均成绩低．
21．【答案】（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
由作图可得AE=AF，
在和中，
（SAS），
．
（2）解：∵若以D为圆心，长为半径作弧，
∴该弧与的交点可能有2个，
∴点F的位置不唯一确定，
∴不一定=．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得到；
（2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，则小兴的作法错误.
（1）证明：∵D是平分线上一点，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个，
即点F的位置不唯一确定，因此不能确定．
22．【答案】（1）解：，
，
∵，
，
∵，
．

（2）解：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE=AC，
∴，
∴，
∵∠ACB=90°，
∴，
在中，，
，
∴点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；已知正切值求边长；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据两直线平行的性质得到的度数，再根据角的和差解答即可；
（2）先求出，再利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差即可得出答案；
（3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题．
（1）解：，
，
．
（2）解：在中，，
∴，
在中，，
，
故点B，D之间的距离约为．
（3）解：设直线交于点H．
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，，
∴四边形是平行四边形，
．
23．【答案】（1）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴.
（2）解：∵ 二次函数（为常数）的图象交轴于点，，
∴点与点关于对称轴对称，
对称轴是直线，
，
，
，
，，
当，时，
即，
解得：，
，
当时，有最小值.
（3）解：，
，
∵，
，且，
把代入，得，
如图，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用抛物线对称轴公式，代入即可得出答案；
（2）根据及，列出一元二次方程进行求解得出，，再代入，求出二次函数解析式，进而得出答案；
（3）利用抛物线对称轴得出，得出，即，再分两种情况进行分析，即当时和当时，分别求出的取值即可．
（1）解：由得；
（2）解：对称轴是直线，
，
①，
②，
，，
把，代入得：，
，
当时，有最小值；
（3）解：
，，
，
，
把代入，得，
如图，当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
．
24．【答案】（1）证明：∵ 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段 ，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
在，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点.
（3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，
∴，
∵ 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴∠FEC=90°，
∴∠FED+∠CED=90°，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴∠ECD+∠CED=90°，
∴∠FED=∠ECD，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，
∵，
∴，
∴，，
作于点，
当时，，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当时，，则，
同理，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴的值为或．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）由旋转性质可知，根据角的和可得，又由于四边形是正方形，则有，最后根据同角的余角相等即可求证；
（）作交的延长线于点，根据AAS证明，再根据全等三角形的性质可得，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证；
（）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，根据AAS可证明，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，根据AA说明，，，，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
（1）证明：由旋转性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作交的延长线于点，
由（）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，，，解得，，
作于点，
当时，，则，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当时，，则，
同理，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴的值为或．
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