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2026年数学中考一模试题02卷
一、单选题
1．彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．买张这种彩票，不可能中奖
B．买张这种彩票，可能有张中奖
C．买张这种彩票，一定有张中奖
D．若人每人买张这种彩票，一定会有一人中奖
2．如图，内接于，连，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根，则x1+x2+x1 x2的值为（　　）
A．-5 B．-9 C．5 D．9
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等且互相平分
B．对角线相等的菱形是正方形
C．若双曲线经过点，则点在双曲线上
D．有一个角相等的两个等腰三角形相似
7．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
8．生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
10．如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜﹣ B．
C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2
二、填空题
11．某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为　 　．
12．比较大小：　 　2（填“>”、“=”或“<”）．
13．已知二次函数 当x≤1时，y 随x 的增大而增大，且-1≤x≤6时，y的最小值为-4，则a 的值为　 　.
14．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是　 　米．
15．已知二次函数 ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　 .
16．如图，正比例函数y=-3x的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，点 P 是以C(3，0)为圆心，2为半径的⊙C 上一点，连接AP，点 Q 是AP 的中点，若 OQ 长的最大值为 ，则 k 的值为　 　.
三、计算题
17．
（1）计算：.
（2）解方程：.
18．如图，在 中，点D是 边上的中点.
（1）画出 关于点D的中心对称图形（ ）；
（2）若 ， ，根据所作图形直接写出线段 长的取值范围.
19．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
四、解答题
20．2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．
电视台 A B C D
直播节目
乒乓球 篮球 射击 网球
（1）小夏收看了乒乓球直播的概率为________；
（2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．
21．已知两条线段长之比为3：5，它们的差为6cm，求这两条线段的长．
22．如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求弦的长．
23．抛物线：与轴交于两点（点在点左侧），抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当时，求抛物线的函数表达式以及顶点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线：经过抛物线的顶点，直线与抛物线有两个公共点，它们的横坐标分别记为，直线与直线的交点的横坐标记为，若当时，总有，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类；概率的意义
2．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
5．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定；真命题与假命题
7．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
10．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
11．【答案】直线
【知识点】二次函数的对称性及应用
12．【答案】＞
【知识点】实数的大小比较
13．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
14．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
15．【答案】y=1 2x2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
16．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；坐标系中的两点距离公式；瓜豆原理模型-点在圆上；圆与函数的综合
17．【答案】（1）解：原式=3-2-2+2-
=0
（2）解：
x-2=
x1=2-，x2=2+
【知识点】配方法解一元二次方程；实数的绝对值；无理数的混合运算
18．【答案】（1）解：所画图形，如图所示：
沿长CD至点E，使DE=CD，连接AE，则 就是所作的图形，
（2）
【知识点】三角形三边关系；中心对称及中心对称图形
19．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
20．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
小夏 小王 A B C D
A
B
C
D
∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
21．【答案】解：∵ 两条线段长之比为3：5 ，
∴两条线段的长分别为3x，5x，
∵两条线段的差为6cm，
∴5x-3x=6，
解得x=3，
∴两条线段的长为9cm，15cm.
【知识点】比例线段
22．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
。
（2）解：的半径为，
，
，
，
于点，
，，
在中，，
，
弦的长是.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理的推论
23．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为点，点（点在点的左侧），，∴点，的坐标分别为，
∵点在抛物线上，
∴将点的坐标代入抛物线的函数表达式，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∴顶点的坐标为
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
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