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湖南名校联盟2026届高三3月质量检测数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．364 C．432 D．468
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足当，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A． B．在区间上单调递增
C．曲线关于点中心对称 D．方程在区间上有3个解
10．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．当时，
C．的零点个数为3
D．不等式的解集为且
11．设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（ ）
A．若为锐角三角形，则的离心率
B．若为钝角三角形，则的离心率
C．当取得最大值时，为直角三角形
D．当为直角三角形时，的面积最大
三、填空题
12．已知数列是公差为2的等差数列，若，则________．
13．吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________．
14．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）．
四、解答题
15．某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数．
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
16．如图，直四棱柱中，四边形是正方形，，分别为棱，中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．
17．已知抛物线，过其准线上一点作的两条切线，切点分别为，则：
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)若，求直线的斜率.
18．已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)记的所有正极值点从小到大排列为，，…，．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，证明：为第二象限角．
19．在空间中，从原点引出三条射线，，，其两两之间的夹角均为．设空间点列：在上，且．在上，且满足，在上，且满足，在上，满足，以此类推，即在上，则在上，且满足，其中射线满足与重合．
(1)证明：为等比数列，并求的前项和；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(3)求的通项公式，并证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内．
参考答案
1．C
【详解】由题意可得，，故，故．
2．B
【详解】由题意可得，
所以.
3．A
【详解】对于甲，由得，对于乙，由得，可知甲是乙的充分不必要条件．
4．D
【详解】由题意可得，
因为，所以有，
即，解得或．
5．B
【详解】因为，所以点在轴左侧，如图，作轴，垂足为．
由，得，
所以，即，
则，，
所以，即，
则．
6．C
【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为．
7．D
【详解】由题意可得，解得，
显然，
，
于是.
8．A
【详解】注意到时，，由周期性可知在定义域上，
而当时，
若，则在上单调递增，
注意到，
可知在上的值域为，
于是当时，与在上有交点，
故在上必有无穷个交点，符合要求．
当时，时有，时，故交点个数有限．
当时，注意到，
可知有无穷个零点，符合要求．
当时，注意到时，
故时，故在上的交点个数有限，
而时，可得交点个数有限．综上，由题意知．
9．BC
【详解】对于A，的最小正周期，可得A错误；
对于B，时，，故在区间上单调递增，故B正确：
对于C，，可得曲线关于点中心对称，故C正确；
对于D，，即，所以，，即，，故在上只有两个解和，故D错误．
10．AD
【详解】，由，解得，
由，解得或，
所以在和上单调递减，在区间上单调递增，
所以，分别为的极小值点和极大值点，
则有两个极值点，故A正确；
因为，所以，
根据在区间上单调递增，所以，故B错误；
，，，
结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误；
结合图象可知不等式的解集为且，故D正确．
11．AC
【详解】由双曲线定义及点在右支上可知，，
又已知，解得，，
由三角形三边关系得，化简得，
故双曲线离心率，
在中，由余弦定理得
，，
对于选项A，若为锐角三角形，则必须满足且，解得，故A正确；
对于选项B，若为钝角三角形，
则满足或，
解得或，故不一定成立，故B错误；
对于选项C，，
因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
此时取得最小值，即取得最大值，
将代入得，即，此时为直角三角形，故C正确；
对于选项D，的面积，
当，即时面积取得最大值，
但当，即时也为直角三角形，此时面积为并非最大值，故D错误．
12．40
【详解】由等差数列的定义可得，
故.
故，故答案为40．
13．
【详解】设材料乙的透射光的光强为I，则，，
于是.
14．
【详解】由题意知，可知，解得，故，
，，，
，，，，可知的最大值为．
15．(1)12，650
(2)
(3)710亿元
【详解】（1）平均每年的研发投入为
平均每年的营业额为
．
（2）将所给数据代入相关系数计算公式得
．
其中，所以.
（3）由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得．
所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元．
16．(1)证明见解析
(2)1或2
【详解】（1）因为，
，
于是，而不与重合，可得，
由平面，平面，可得平面．
（2）
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，，则，，，，，，，，
记平面的法向量为，，即，可取，
记平面的法向量为，，即，可取，
记平面与平面夹角为，则，
时，，，
时，，，
故或2．
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）抛物线的准线为，由点在的准线上，得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，抛物线：，设，求导得，
直线的斜率，整理得，同理，
因此为方程的两个根，，而直线斜率，
则，所以.
（3）若点，即，
则由（2）知，，，
因此点的坐标满足方程，即，
则直线的方程为，其斜率为，
所以当时，直线的斜率为.
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由题意可得，
故曲线在处的切线斜率为．
（2）（ⅰ）由题可知正极值点满足，
显然，得，
即，可得，
（ⅱ）注意到，
于是，
题中不等式等价于，
而，显然，
可知不等式等价于，
设，，
时，，单调递减；时，，单调递增，
于是，而，可得，故，
结合可得为第二象限角．
19．(1)证明见解析，
(2)存在，
(3)，证明见解析
【详解】（1）由题意可知，三角形为直角三角形，且．
在中，，又因为，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，则．
在中，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
其前项和：．
（2）存在这样的实数．设射线，，方向上的单位向量分别为，，，
由（1）可知．对于向量，
有．
对于向量，由于点列所在射线按，，顺序循环，
故在上，在上，则．
由（1），代入可得，
对比可得．因此存在实数，使得．
（3）记．由向量模长公式可得
，
又已知，且由（1）知，故．
当时，此时位于射线上，
与同向．，
则．
当时，此时位于射线或上．
由题意知，射线与、的夹角均为．
，
则．
综上所述，．
下面证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内，
即证明对于任意，都有．
当且时，，
因为，所以，进而，
所以，故成立．
当且时，，
要证该式小于1，只需证，也即证，
因为，所以，又因为，所以，
所以上述不等式恒成立，即成立，
综上所述，当时，点始终在以为球心，1为半径的球内．

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