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拓展专题8　Ksp的计算
1. Ksp的计算类型
（1）由溶度积计算离子浓度。如Ksp＝a的饱和AgCl溶液中，c（Ag＋）
＝ mol·L－1。
（2）由溶度积、溶液中某离子的浓度，计算另一种离子的浓度。如某温
度下AgCl的Ksp＝a，在0.1 mol·L－1的NaCl溶液中加入过量的AgCl固体，
达到平衡后c（Ag＋）≈10a mol·L－1。
（3）判断能否生成沉淀。计算Q与Ksp，若Q＞Ksp，就有沉淀析出；若Q
＜Ksp，则不能生成沉淀。
（5）判断沉淀所需控制的pH范围。依据M（OH）x的Ksp计算，当c（Mx
＋）降低到题中限定浓度（如10－5 mol·L－1或10－6 mol·L－1）时的c（OH
－），再换算成c（H＋），可得Mx＋完全沉淀需控制的pH。
（4）判断生成沉淀的顺序。依据Ksp计算几种离子开始沉淀所需的同一离
子的最低浓度，所需最低浓度最小的那种离子最先沉淀。
（7）计算沉淀转化反应的平衡常数。如对于反应Cu2＋（aq）＋MnS（s）
CuS（s）＋Mn2＋（aq），Ksp（MnS）＝c（Mn2＋）·c（S2－），Ksp
（CuS）＝c（Cu2＋）·c（S2－），而平衡常数K＝ ＝
。
（6）计算离子浓度之比。两种沉淀共存的体系中，离子浓度之比等于两
种沉淀的Ksp之比。
2. 溶度积、溶解度和物质的量浓度之间的关系
（1）溶解度（S）
在一定温度下，某固态物质在100 g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量。
（2）溶度积（Ksp）、溶解度（S）和饱和溶液的物质的量浓度（c）都可
以用来衡量沉淀的溶解能力或溶解程度，它们彼此关联，可以互相换算。
（3）实例
以CaCO3的沉淀溶解平衡为例：CaCO3（s） Ca2＋（aq）＋C
（aq），Ksp＝c（Ca2＋）·c（C ），S是100 g水中所溶解的CaCO3的
质量。由于浓度很小，将溶液的密度近似为1 g·cm－3。
①已知Ksp，则c（Ca2＋）＝c（C ）＝ mol·L－1，S＝
×100 g＝
×100 g≈0.1 L×c（Ca2＋）×M（CaCO3）＝
10 g（100 g 溶液中水的质量近似为100 g）。
②已知S，即已知100 g水（0.1 L）溶液中所含CaCO3的质量为S g，那么c
（Ca2＋）＝ ＝ mol·L－1，Ksp＝ 。
③已知c（Ca2＋）＝a mol·L－1，则Ksp＝c（Ca2＋）·c（C ）＝a2，1 L
溶液中含有a mol Ca2＋、a mol C ，S＝ ×100 g＝10a g。
【典题示例1】 已知难溶化合物A2B在T ℃时饱和溶液的物质的量浓度为a
mol·L－1，向其饱和溶液中加入一定量易溶于水的盐AC，当A＋的物质的量
浓度为b mol·L－1时，则B2－的物质的量浓度为（　　）
A. mol·L－1 B. mol·L－1
C. mol·L－1 D. mol·L－1
√
解析： 　已知难溶化合物A2B存在沉淀溶解平衡： A2B（s） 2A＋
（aq）＋B2－（aq），在T ℃时，饱和溶液的物质的量浓度为a mol·L－1，
则Ksp（A2B）＝c2（A＋）·c（B2－）＝（2a）2·a＝4a3，向其饱和溶液中
加入一定量易溶于水的盐AC，当A＋的物质的量浓度为b mol·L－1时，则B2
－的物质的量浓度为c（B2＋）＝ ＝ mol·L－1 ，B满足题意。
【典题示例2】 氧化钪（Sc2O3）是一种稀土氧化物，广泛地应用于航天、
激光、导弹等尖端科学领域。钛铁矿主要成分为TiO2、FeO、Fe2O3，还含
有Mg、Si、Sc等元素，从钛铁矿中提取Sc2O3的流程如图：
已知：①Ksp[Fe（OH）3]＝4.0×10－38，Ksp[Sc（OH）3]＝1.25×10－
33，lg 2＝0.3。②室温下，TiO2＋完全沉淀时pH为1.05。③当离子浓度减
小至10－5 mol·L－1时可认为沉淀完全。“酸溶”后滤液中存在的金属阳离
子Sc3＋、TiO2＋、Fe3＋浓度均小于0.01 mol·L－1，用氨水调节溶液pH使
TiO2＋、Fe3＋沉淀完全而Sc3＋不沉淀，则调pH应控制的范围是
。
3.2≤pH
＜3.7　
解析：TiO2＋完全沉淀时pH为1.05，Fe3＋恰好沉淀完全时，溶液中c（OH
－）＝ ＝ ×10－11 mol·L－1，此时c（H＋）＝ ×10－3
mol·L－1，则pH＝3.2，Sc3＋开始沉淀时c（OH－）＝ ＝
5×10－11 mol· L－1，此时pH＝3.7，故调pH应控制的范围是3.2≤pH＜
3.7。
1. 化学上常认为残留在溶液中的离子浓度小于1×10－5 mol·L－1时，沉淀
就已达完全。已知：常温下Ksp[M（OH）2]＝1×10－21。则溶液中M2＋沉
淀完全时pH大于（　　）
A. 7 B. 4
C. 5 D. 6
√
解析： 　常温下，Ksp[M（OH）2]＝c（M2＋）·c2（OH－）＝1×10－
21，当M2＋沉淀完全时c（M2＋）＜1×10－5mol·L－1，c（OH－）＞
mol·L－1＝1×10－8 mol·L－1，c（H＋）＝ ＜
mol·L－1＝1×10－6 mol·L－1，pH＞6，D正确。
2. 一种测定水样中溴离子浓度的实验步骤如下：
①向锥形瓶中加入处理后的水样25.00 mL，加入几滴NH4Fe（SO4）2
溶液。
②加入V1 mL c1 mol·L－1 AgNO3溶液（过量），充分摇匀。
③用c2 mol·L－1 KSCN标准溶液进行滴定，至终点时消耗标准溶液V2 mL。
已知：Ksp（AgBr）＝7.7×10－13，Ag＋＋SCN－ AgSCN（白色）↓，
Ksp（AgSCN）＝1×10－12。
下列说法错误的是（　　）
A. 滴定终点时，溶液变为红色
B. 该水样中溴离子浓度为c（Br－）＝ mol·L－1
C. AgBr（s）＋SCN－（aq） AgSCN（s）＋Br－（aq）的平衡常数K＝
0.77
D. 该实验需要在碱性条件下进行
√
解析： 　加入几滴NH4Fe（SO4）2溶液作指示剂，滴定终点时，KSCN过
量，与Fe3＋反应，因此溶液变为红色，A正确；25.00 mL溶液中Br－的物
质的量n（Br－）＝V1×10－3 L×c1 mol·L－1－V2×10－3 L×c2 mol·L－1＝
（V1c1－V2c2）×10－3 mol，因此该水样中溴离子浓度为c（Br－）＝
mol·L－1，B正确；AgBr（s）＋SCN－（aq） AgSCN（s）＋Br－
（aq）的平衡常数K＝ ＝ ＝ ＝0.77，C正
确；该实验需要严格控制水样的pH，若pH过高，Ag＋会与OH－反应，Fe3＋
也会与OH－反应生成沉淀，影响实验的正常进行，D错误。
3. 某科研工作者设计用工厂废渣（主要成分为ZnO，另含少量FeO、
CuO、SiO2、MnO等）制取高纯ZnO的工艺流程如图所示。已知：常温下
Ksp[Fe（OH）3]＝1.0×10－38，Ksp[Fe（OH）2]＝8.0×10－16，Ksp[Zn
（OH）2]＝1.2×10－17。下列说法错误的是（　　）
A. “酸浸”中，滤渣A的主要成分为SiO2
B. “除锰”中，H2O2的作用是将Mn2＋、Fe2＋氧化
C. “除铁”中，ZnO与Fe3＋发生反应生成Fe
D. “除锰”后滤液中c（Zn2＋）＝1.2 mol·L－1，“除铁”操作中可以调
节pH的范围是3≤pH＜5.5
√
解析： 　用工厂废渣制备高纯氧化锌，根据原料中杂质的种类，首先用
盐酸溶解，再过滤除去不溶物SiO2，加入氧化剂H2O2氧化Mn2＋和Fe2＋，除
去MnO（OH）2，通过加ZnO调pH除铁，加入硫化锌除铜，之后加入草酸
铵，生成ZnC2O4·2H2O沉淀，再处理成产物高纯ZnO。SiO2不溶于盐酸，
其他金属氧化物均溶于盐酸，则滤渣A的主要成分为SiO2，A项正确；“除
锰”步骤中，H2O2将Mn2＋氧化为 MnO（OH）2，将Fe2＋氧化为Fe3＋，B项
正确；加入的ZnO与H＋反应，使水解平衡Fe3＋＋3H2O Fe（OH）3＋3H＋
右移，使Fe3＋转化为Fe（OH）3沉淀而除去，C项错误；
化学上通常认为残留在溶液中的离子浓度小于等于1.0×10－5 mol·L－1时，
沉淀就达完全，当c（Fe3＋）＝10－5 mol·L－1时，c（OH－）＝
mol·L－1＝10－11 mol·L－1，则 c（H＋）＝ mol·L－1＝10－3 mol·L－1，pH
＝－lg c（H＋）＝3，因此，当c（Fe3＋）≤10－5 mol·L－1时，pH≥3；
由于溶液中c（Zn2＋）＝1.2 mol·L－1，当Zn2＋开始生成Zn（OH）2沉淀时，
溶液中的 c2（OH－）＝ ＝ mol2·L－2＝10－17 mol2·L－
2，因此c（OH－）＝ mol·L－1＝10－8.5 mol·L－1，故c（H＋）＝
mol·L－1＝10－5.5 mol·L－1，因此当Zn2＋开始生成 Zn（OH）2沉淀时，
pH＝5.5，为使Zn2＋不沉淀，应该控制pH＜5.5，综上所述，在“除铁”
操作中为了使铁元素完全除去，又不影响高纯ZnO的产量，可以调节pH的
范围是3≤pH＜5.5，D项正确。
4. 已知几种难溶电解质的溶度积常数Ksp（25 ℃）如表所示：
难溶电 解质 AgCl AgBr AgI Ag2CrO4 CaCO3
Ksp 1.8× 10－10 5.4× 10－13 8.5× 10－17 1.12× 10－12 3.4×
10－9
（1）某溶液中含有Cl－、Br－和Cr ，浓度均为0.010 mol·L－1，向该溶
液中逐滴加入0.010 mol·L－1的AgNO3溶液时，三种阴离子产生沉淀的先后
顺序为 。
Br－、Cl－、Cr 　
解析： 由Ksp可计算Cl－、Br－、Cr 形成沉淀所需的c（Ag＋）最
小浓度分别为c（Ag＋）＝ ＝1.8×10－8 mol·L－1，c（Ag＋）
＝ ＝5.4×10－11 mol·L－1，c（Ag＋）＝
≈1.06×10－5 mol·L－1，故三种阴离子产生沉淀的先后顺序是Br－、Cl－、
Cr 。
（2）取一定量含有I－、Cl－的溶液，向其中滴加AgNO3溶液，当AgCl开始
沉淀时，溶液中 为 。
解析： 当AgCl开始沉淀时，AgI已沉淀，溶液中有平衡AgCl（s）＋I
－（aq） AgI（s）＋Cl－（aq）， ＝ ＝
≈4.7×10－7。
4.7×10－7　
（3）将浓度为2×10－4 mol·L－1的Na2CO3溶液与某浓度CaCl2溶液等体积混
合，若要产生沉淀，CaCl2溶液的最小浓度为 。
解析： Na2CO3溶液的浓度为2×10－4 mol·L－1，与CaCl2溶液等体积混
合后，c（C ）＝1×10－4 mol·L－1，根据Ksp＝c（C ）·c（Ca2＋）
＝3.4×10－9可知，若要产生沉淀，混合后溶液中c（Ca2＋）≥3.4×10－5
mol·L－1，故原CaCl2溶液的最小浓度为6.8×10－5 mol·L－1。
6.8×10－5 mol·L－1　
5. 通过计算回答下列问题：
（1）已知Ksp（AgCl）＝2×10－10，Ksp（AgBr）＝5×10－13，Ksp（AgI）
＝8×10－17。将浓度均为0.01 mol·L－1的NaCl、NaBr、NaI溶液各100 mL
混合，再加入0.025 mol·L－1的AgNO3溶液100 mL，此时溶液中的c（I－）
＝ （溶液体积变化忽略不计）。
5×10－10 mol·L－1　
解析： 混合溶液中Cl－、Br－、I－的物质的量各0.001 mol，加入的Ag
＋为0.002 5 mol，所以I－和Br－已沉淀完全而Cl－沉淀了一半。那么，混合
溶液中，c（Cl－）＝ ＝ ×10－3mol·L－1，c（Ag＋）＝
＝ mol·L－1＝ ×10－7 mol·L－1，则c（I－）＝
＝ mol·L－1＝5×10－10 mol·L－1。
（2）已知常温下，BaSO4在水中的溶解度为2.33×10－4 g，则BaSO4的溶
度积Ksp为 （保留2位小数）。
解析： 由S（BaSO4）＝2.33×10－4 g可知，100 g（即0.1 L）水中溶
解2.33×10－4 g（即10－6 mol）BaSO4，则c（Ba2＋）＝c（S ）＝10－5
mol·L－1，Ksp（BaSO4）＝c（Ba2＋）·c（S ）＝10－5×10－5＝1.0×10
－10。
1.0×10－10　
（3）已知60 ℃时，溴酸银（AgBrO3，摩尔质量为236 g·mol－1）的溶度积
Ksp为6.25×10－4，求60 ℃时溴酸银的溶解度约为 （保留2位小
数）。
解析： Ksp（AgBrO3）＝6.25×10－4，则AgBrO3饱和溶液中c（Ag
＋）＝c（Br ）＝ mol·L－1＝2.5×10－2 mol·L－1，即1 L溶
液中溶有2.5×10－2 mol·L－1×1 L×236 g·mol－1＝5.9 g AgBrO3。那么，
100 mL溶液中溶有0.59 g AgBrO3近似看作100 g水中溶解0.59 g AgBrO3时
形成饱和溶液，AgBrO3的溶解度为0.59 g。
0.59 g　
6. （1）已知25 ℃时，Ksp[Fe（OH）3]＝3.0×10－39，该温度下反应Fe
（OH）3＋3H＋ Fe3＋＋3H2O的平衡常数K＝ 。
解析： 反应Fe（OH）3＋3H＋ Fe3＋＋3H2O的平衡常数K＝
＝ ＝ ＝3.0×103。
3.0×103　
（2）反应H2S（aq）＋Cu2＋（aq） CuS（s）＋2H＋（aq）的平衡常数
为 　　[已知Ksp（CuS）＝1.25×10－36；H2S的Ka1＝1×10－7，Ka2＝1×10
－13]。
解析： K＝ ＝
＝ ＝ ＝8×1015。
8×1015
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