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2026 年春季学期高二 3 月月考数学试题
总分：150 分 时长：120 分钟 命题人：
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知 为虚数单位， 则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知 为等比数列，若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．要从 ,5个人中选出 1名组长和 1名副组长，但 不能当副组长，则不同的选法种数是（
）
A．20 B．16 C．10 D．6
4．已知抛物线 C： 的焦点为 F，点 在抛物线 C上，且 ，则 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
5．已知圆 ： 关于直线 ： 对称，则 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 （ ）
A． B． C．7 D．14
7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，
臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，其中 是臭氧的初始含量， 为常数．经过测
算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过 年将有一半的臭氧消失．按照这样
变化规律，若经过 年，臭氧含量只剩下初始含量的 ， 约为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
1
8．函数 的两个极值点 满足 ，则 的最大值为（
）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．已知曲线 ，则下列说法正确的（ ）
A．若 ，则曲线 的焦距为 4
B．若 ，则曲线 表示双曲线，且其渐近线方程为
C．若曲线 表示椭圆，则
D． 是曲线 表示焦点在 轴上的双曲线的充分不必要条件
10．已知 ，函数 有两个极值点 ， ，则（ ）
A． 可能是负数
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D． 为定值
11．如图，在长方形 中， 为 的中点，将 沿 向上翻折到 的位
置，连接 ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．四棱锥 体积的最大值为 B． 的中点 的轨迹长度为
C． 与平面 所成的角相等 D．三棱锥 外接球的表面积有最小值
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12． 的展开式中 的系数为___________.
13．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，若椭圆
2
与抛物线 在第一象限的交点为 且 ，则椭圆 的离心率为___________．
14．已知函数 ，若关于 的方程 有 6个不同的实数根，则
实数 的取值范围是 ．
四、解答题（共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13 分）已知函数 ， ，且 恒成立．
(1)求 的解析式；
(2)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 的面积为 ，求
．
16．（15 分）已知数列 前 n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
17．（15 分）如图 1，在边长为 的正方形 中， 、 分别为线段 、 的中点，现将四边形
折起至 ，得到三棱柱 ，如图 2所示，记二面角 的平面角为 ．
(1)若 时，求三棱柱 的体积；
3
(2)若 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
18．（17 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，点 P是 C上的一个动点，当
面积取得最大值 时， ．
(1)求 C的方程；
(2)过点 的直线 l与 C交于 A，B两点，点 A关于 x轴的对称点为 （ 与 B不重合）．
（ⅰ）求证：直线 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
19．（17 分）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)若 有两个实数解 ， ，证明： .
42026 年春季学期高二 3 月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10
答案 C B B D B D D ABD ACD
1．C
【详解】由复数 ，可得 ，
则共轭复数 在复平面内对应的点 位于第三象限.
2．B
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，所以 .
3．B
【详解】不考虑限制条件有 种选法，若 当副组长，有 种选法，
故 不当副组长，有 （种）选法．
4．D
【详解】由题意可得抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
根据抛物线的定义可得 ，则 .
5．B
【详解】因为圆 ： 关于直线 ： 对称，
所以直线 过圆心 ，即 ，因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，所以 的最小值是 2．
6．A
【详解】取 中点为 ，连接 ，
1
因为点 为 外接圆的圆心，
所以 ，
同理可得 ，
则 .
7．D
【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为 ，
已知经过 年臭氧含量剩下一半，即 ，两边同时取对数得： ，所以 ，
要求臭氧含量剩初始含量的 ，即 ，所以 ，即 ，
由 ， ，得 ，
代入得： 年，因此，经过约 年臭氧含量只剩下初始含量的 .
8．D
【详解】由题知，函数 的定义域为 ， ，
因为 有两个极值点 ，所以 ， ，则 ，①
令 ，因为 ，所以 ，将 代入①整理可得 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以
2
9．ABD
【详解】对于 A，若 ，则曲线 的方程为 ，
表示焦点在 轴上的椭圆，其焦距为 ，故 A正确；
对于 B，若 ，则曲线 的方程为 ，
表示焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，故 B正确；
对于 C，法一：排除法当 时，曲线 的方程为 ，表示圆，
法二：若曲线 表示椭圆则 解得 且 ，故 C错误；
对于 D，若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 ，
又因为 ， ，
所以 是曲线 表示焦点在 轴上的双曲线的充分不必要条件，故 D正确．
10. BCD
【详解】由 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，没有极值，故 A错误，
当 时，令 ，得 ，
不妨设 ，则 ，故 B正确，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，
而 ，则 ，所以
为定值，故 D正确；
对于 C，由 ，则 ，而 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，故 C正确.
3
11. ACD
【详解】
对于 ，易知梯形 的面积为 ，直角 斜边 上的高为 ．当平面 平面
时，四棱锥 的体积取得最大值 正确．
对于 ，取 的中点 ，连接 ，则 平行且相等，四边形 是平行四边形，所以
点 的轨迹与点 的轨迹形状完全相同．过 作 的垂线，垂足为 的轨迹是以 为圆心，
为半径的半圆弧，从而 的中点 的轨迹长度为 错误．
对于 ，由四边形 是平行四边形，知 ，则 平面 ，则 ， 到平面 的距
离相等，故 与平面 所成角的正弦值之比为 ，C正确．
对于 外接圆 的半径为 为 的中点，直角 外接圆 的半径为 为 的中点，
是圆 与圆 的公共弦， ．设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，则
．因为 ，所以 ，所以球 表面积的最小值为 正确．
12．90
【详解】 的展开式的通项为 ， ，
当 时， ，此时只需乘第一个因式 中的 即可，得到 ；
当 时， ，此时只需乘第一个因式 中的 即可，得到 ．
据此可得 的系数为 ．
4
13．
【详解】由焦点 ，得 ， ，所以抛物线的方程为 ，准线为 .又由
，得 ，所以 ，设椭圆的左焦点为 ，有
，故 ，则 ，可得离心率为 .
14．
【详解】根据 ，作出 的大致图象如下：
由图可知：当 时，此时有两个根，分别为 ，
当 时，此时 有 4个交点，当 时，此时 有 3个交点，
当 时，此时 有 2个交点，故要使得 有 6个不同的零点，
则令 ， 有 2个不同的实数根， 显然不是 的根，
设 的两个零点分别为 ，且 ，
故当 时，此时 有 4个交点， 有 2个交点，满足题意，
故需要满足 ，解得 ，
当 时，此时 有 3个交点， 有 3个交点，满足题意，
故需要满足 ，解得 ，综上可得 .
5
15．(1) (2)
【详解】（1）由 ，得 ，而 ，则 ，
由 恒成立，得 ，即 ， ，
因此 ，解得 ，而 ，则 ，
所以 的解析式为 .
（2）由（1）得， ，而 ，解得 ，
由 ，解得 ，
由余弦定理得 ，
由正弦定理 ，得 ．
16．(1) (2)
【详解】（1）由题意知数列 满足 ，
当 时， ，故 ， 适合该式，故 ；
（2）由（1）知 ，
记 ， ，
则 ，
，
故 .
17．(1) (2)
【详解】（1）翻折前，在图 1中，因为四边形 为正方形，所以 ， ， ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，且 ，因为 ，所以 ，
翻折后，在图 2中， ， ，所以二面角 的平面角为 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
6
当 时，即 ，且 ，则 ，
所以三棱柱 的体积为 .
（2）因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，
过点 且垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设点 ，其中 ，由题意可知 ，则 ，故 ，
， ，因为 ，则 ，解得 ，
则点 ， ，设平面 的一个法向量为 ， ，
，则 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
因此直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
18．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）因为 ，又 ，所以 ，
又 面积取得最大值 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，解得 ，
7
所以 ，所以椭圆 C的方程为 ；
（2）（ⅰ）当过点 的直线 l不与 x轴重合时，
设直线 l的方程为 ， ，由 ，得 ，
整理得 ，由韦达定理得 ，
因为 为点 A关于 x轴的对称点，所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，由对称性，直线 所过定点一定在 轴上，
令 ，可得
，
所以直线 过定点 ；
当过点 的直线与 x轴重合时，显然过点 ；综上所述：直线 过定点 ；
（ⅱ）记直线 过定点为 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 面积的最大值为 ．
19．(1)单调减区间为 ，单调增区间在为 . (2)
【详解】（1）（1）当 时， ，则 ，令 ，
8
当 时, 在 上单调递减，
当 时, 在 上单调递增，
所以 单调减区间为 ，单调增区间在为 .
（2）由 可知， ， ，
即 在 上恒成立，
设 ， ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增，
所以 时， 取得最小值，最小值为 ，
由题意知 ，即 ，故 的取值范围为 ；
（3）方程 有两实数解 ， ，即 有两实数解，不妨设
，
由（2）知方程 要有两实数解，则 ，即 ，
同时 ， ， ，
，则 ， 在 单调递减，
欲证 ，即证 ， ， 等价于 ，即 ，
等价于 ，整理得 ①，
令 ，①式为 ，又 在 单调递增，
故①式等价于 ，即 ，
9
令 ， ，
当 时， ， 在 单调递增，
又 ， ，即 ，所以 ，则 .
10

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