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贵州黔南州长顺县民族高级中学2025-2026学年高一下学期第一学月数学学科素养训练试题
一、单选题
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知为第四象限的角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，点D满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量与的夹角为，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．15 C． D．
6．在菱形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象的一条对称轴为 B．在上单调递增
C．在上的最大值为 D．的一个零点为
二、多选题
9．已知平面向量，则（ ）
A． B．
C．在上的投影向量 D．与的夹角为锐角
10．已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则O为垂心
B．若，则O为外心
C．若，则O为内心
D．若，则O为重心
11．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最大值为2
B．若，则函数为奇函数
C．存在，使得
D．若，则
三、填空题
12．已知单位向量满足，则与的夹角为______________．
13．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m．
14．如图，点为的重心，且，，则的值为___．

四、解答题
15．已知平面向量
(1)求的值
(2)计算的值
16．在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线．
(1)求；
(2)求的面积．
17．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
18．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．
19．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
材料1．代数模式极化恒等式：，
公式推导：；
材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则；
材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则．
推导过程：由．
(1)已知中，M为中点，，，求的值；
(2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值；
(3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D C B C A ACD BD
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】由于全集，集合，所以，
又因为集合，所以.
故选：B.
2．D
【详解】因为为第四象限的角，且，
所以，
所以.
故选：D.
3．B
【详解】
.
故选：B
4．D
【详解】根据题意可得，又，
可得.
故选：D
5．C
【详解】若，则，解得：.
所以，所以，
所以.
故选：C.
6．B
【详解】在中，连接，根据菱形的几何性质有，有：对边互相平行，四条边均相等，
所以，且，所以，所以，
根据向量加法的三角形法则有，，
所以；
又因为，，所以，
在，，，
由余弦定理有：，
所以.
故选：B
7．C
【详解】记，则，,
则，又，则，
则,
又三点共线，则，解之得，
则
故选：C
8．A
【详解】解：，则，
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为解得
所以在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为，所以，
所以，，，故C正确；
对选项D，，故D正确.
故选：A.
9．ACD
【详解】A：平面向量，则，则，A正确；
B：因为，
所以，故B错误；
C：在上的投影向量，故C正确；
与的夹角的余弦为
，所以夹角锐角，故D正确；
故选：ACD.
10．BD
【详解】对于A，因为，故，
整理得，
又，
所以，则，
因为方向的单位向量，
故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线，
所以O为的内心，故A错误；
对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确；
对于C，因为，所以，
则，即，则，同理可得，
所以点O为的垂心，故C错误；
对于D，因为，所以，
设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确．
11．ACD
【详解】因为，可知的定义域为，
对于选项A：当时，，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以函数的最大值为2，故A正确；
对于选项B：当时，则，
令，则，可得，
所以函数不为奇函数，故B错误；
对于选项C：当时，，则，
且对任意，则，
所以，故C正确．
对于选项D：因为，
若，
可得，
则，解得，故D正确．
故选：ACD.
12．/
【详解】因为，
所以，
所以，．
故答案为：.
13．500
【详解】设塔高，在中，，则，
在中，，则，
在中，，，
由余弦定理可得，
即，解得或（不符合题意舍去），
故答案为：500.
14．32
【详解】设中点为，又，所以，
因为点为的重心，，
则

15．(1)
(2)
【详解】（1）易知，
又，
所以，
（2）易知，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为向量，向量，且与共线，
则，整理可得，因为，解得.
（2）因为，，则，
所以，的面积为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
18．(1)；
(2).
【详解】（1）（1）依题意，，
由得，，
所以在上的值域为.
（2）由得，，，则有，解得，
在中，由余弦定理得，，
当且仅当时取“=“，即有，又因为，则，
因此，
所以的周长的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图，由是的中点，，
由极化恒等式可得.
（2）如图，连接，由，，
由极化恒等式可得.
（3）如图，连接，
因为，，
所以，
因为正八边形内切圆的半径为，，
所以，
又，则，所以，
即的取值范围为.

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