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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的求面积问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（ ）
A．96 B．84 C．66 D．48
6．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
8．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，．
（1）线段和的数量关系为__________；
（2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________．
10．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________．
11．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______．
12．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______．
13．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________．
14．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________．
15．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______．
16．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________．
三、解答题
17．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求矩形的面积．
18．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积．
19．如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
20．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
21．如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求的长度和四边形的面积．
22．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
23．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积．
24．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示．
(1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长；
(2)求图（2）正方形与正方形的面积．
25．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点．
(1)求证：．
(2)①______；
②求证：．
(3)求证：．
26．综合与探究
如图1，将正方形与正方形放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，易证且（不需要说明理由）

(1)在同一平面内，若小明将正方形与正方形按图2放置，连接，试判断与的关系，并证明．
(2)如图3，连接，分别取的中点，连接，则四边形的形状为______；若，则四边形的面积为______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C D D D B
1．B
【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴平行四边形是矩形，
∴四边形的面积为
故选：B．
2．C
【分析】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上，
此时，通过比较可得答案．
【详解】解：设点到的距离为，
∵的面积始终等于长方形面积的，，，
∴，，，，
∴，
∴，点到的距离为，
若点在长方形内，
如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，
在中，；
若点在长方形外，则点在的延长线上，
∴，
∴，
此时；
∵，
∴最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，

根据题意得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
即重叠部分图形的面积是．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
又∵，，
∴，
∴，
，
同理可知：，
∴阴影部分是矩形，
在中，由勾股定理得，
由面积公式得，即，
得，
同理可得：，
在中，由勾股定理得，
则，
同理可得：，
∴阴影部分是正方形，
图中阴影部分的面积与正方形的面积之比．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.
先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答．
【详解】解：过点E分别作，，如图所示：
∵四边形是正方形，正方形的边长为8，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵的两直角边分别交于点M，N，
∴
∴
∵，，
∴
∴
则重叠部分四边形的面积为，
∴，
即重叠部分四边形的面积为，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键．
根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，，，，
，
四边形是菱形，
，
，即，
四边形是正方形，
，，
∴设，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴四边形的面积是．
故选：B．
9． 12
【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．
（1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解；
（2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解．
【详解】解∶（1）∵，是的中点，
∴，
∴．
故答案为：
（2）如图，过点M作于点N，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积是．
故答案为：12
10．
【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积．
【详解】解：∵是的垂直的平分线，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为：．
故答案为：．
11．当时，四边形的面积总是矩形的面积一半
【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
，，，，
，，
，
，
当时，四边形的面积总是矩形的面积一半，
故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半．
12．
【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积．
【详解】解：如图：
由题意得：，，
由折叠得：，
四边形是菱形，
．
13．
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积．
【详解】解：、、、分别是边、、、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键．
根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
，，
四边形的面积．
故答案为：600．
15．25
【分析】本题考查正方形的判定与性质．
根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积．
【详解】解：∵四边形为正方形，
，， ， ，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，，
∴四边形为正方形，
．
故答案为：25
16．1
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答．
【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
则，
故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积，
∴，
那么两个正方形重叠的部分的面积等于，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记判定与性质是解题的关键．
（1）根据已知条件推知四边形是平行四边形，则，依据等量代换得到，则平行四边形是矩形；
（2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质可证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求得的长度，然后用矩形的面积公式列式计算即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
又点在的延长线上，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
又∵，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：在矩形中，，，
是等边三角形，
，
，
∴，
四边形的面积．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可；
（2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是边上的中线，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，是边上的中线，
∴．
由（1）知，四边形是矩形，，
∴，
在中，．
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
19．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；
（2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可．
【详解】（1）证明：，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
四边形是矩形；
（2）由（1）知，四边形是矩形，
∴，
又∵为的平分线
四边形的面积=．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理；
（1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形；
（2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可．
【详解】（1）解：连接与交于点，
∵平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，平行四边形是菱形，
∴，
∴，即，
∴菱形的面积是．
21．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）根据平行线的判定定理得，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形；
（2）连接，交于点，根据菱形的性质得到，设菱形的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积为．
【详解】（1）证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，交于点，
四边形是菱形，，
，
设菱形的边长为，则，，
，
，
，即，
解得（舍去），
经检验，是原分式方程的解，
，
在菱形中，，，
，
，
菱形的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理、性质及面积计算，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理；
（1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
23．80
【分析】取边的中点M，连接,证明，得，，，进而可证明，，可得，根据勾股定理得，进而可得，即可求出四边形的面积．
【详解】解：取边的中点M，连接．
∵四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
∴在中，根据勾股定理得，
，
，
∵四边形是正方形，
，
．
【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形三角形的判定等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，比的应用，根据相相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是解答关键．
（1）利用相邻两边长之比为，设长与宽分别为，根据矩形纸片的面积为，列出方程求解；
（2）先求出正方形的边长和正方形的边长，再利用面积公式求解．
【详解】（1）解：设长与宽分别为
，
，
解得，（不符合题意舍去），
，．
则相邻的两边长分别为．
（2）解：
．
25．(1)详见解析
(2)①15°；②详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出；
（2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分；
（3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
．
（2）①；
故答案为：；
②证明：
，即，
垂直平分，
即．
（3）设，由勾股定理得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
26．(1)且，证明见解析
(2)正方形，
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，根据旋转的性质可得，根据“边角边”的判定方法可证，可得，在中，根据直角三角形的性质可证，由此即可求证；
（2）根据中位线可证四边形是菱形，根据（1）中可证，由此可得四边形是正方形，根据正方形的面积计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：且，理由如下：
如图所示，设与交于点，与交于点，

∵四边形与四边形为正方形，
∴，，，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，，．
（2）解：根据题意，作图如下，

∵连接，分别取的中点，连接，
∴在四边形中，连接各边中点由四边形，如图所示，连接，，设交于点，

由（1）可知，，，
在中，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，
∵点分别是的中点，
∴∴是的中位线，
∴，，
∴，，
同理可证，，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴菱形是正方形，
∵，
∴，
∴正方形的面积为：，
∴四边形的面积为，
故答案为：正方形，．
【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的性质，中位线的性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
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