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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的线段长度问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，，，P为边上一动点（且点P不与点B、C重合），于E，于F．则的最小值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5.2 D．6
2．如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
3．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．5
5．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（ ）
A．10 B． C． D．5
6．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
7．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．的平分线交于点，连接．若小正方形的面积为9，大正方形的面积为45，则的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ）
A． B．9或6 C．9或 D．3或
二、填空题
10．如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______．
11．如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______．
12．如图，在中，，，P是内一点．若，，则______．
13．如图，在平行四边形中，延长至点E，使得，连接，延长至点F，使得，点G为线段的中点，连接，，若，，，则线段的长为______．
14．如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm．
15．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______．
16．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________．
17．如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为__________．

18．如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为_______．
三、解答题
19．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当时，求的长．
20．如图，在中，，D是的中点，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
21．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求的长．
22．如图，，过点，分别作，，交，的延长线于点，．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)连接，交于点，若，，，求矩形的周长．
23．如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，．
(1)若，，则________；
(2)若，
①当点与点重合时，求的长；
②当点与点重合时，求的长；
(3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值．
24．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长度．
25．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点（不与点重合），以为斜边作等腰直角，点、在的两侧．
(1)线段的长为__________，
(2)当时，求线段的长．
(3)当时，求线段的长．
(4)连接，当线段最短时，此时__________，__________．
26．【问题提出】
（1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长；
【问题解决】
（2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）．
判断的形状，并说明理由；
试求该运输通道的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D B A D B D B C
1．A
【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
【详解】解：如图，连接．
在中，，，，
，
．
又于点，于点．
，
四边形是矩形．
．
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，
即，
线段长的最小值为2.4．
2．D
【分析】连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可．
【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
3．B
【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，，
∴当最短时，．
4．A
【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论．
【详解】解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
∵点是的中点，点是四边形边上的动点，
∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，
过点作于点，
当点为的中点时，连接，
则为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，
解得：，
∴，
即的最小值是．
5．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键．
证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点，
∴四边形是菱形，
∴
∵平行四边形的周长为40，
∴,
∵是中点，是中点，
∴.
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
又，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
∴，
，，，
，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】先根据题意得到，，，，然后在中利用勾股定理建立方程，求得和，接着过点M作于点Q，作于点P，连接，由角平分线的性质定理可知，可证得四边形为正方形，为直角三角形，再利用面积的关系，求得，最后由勾股定理求得和，即可解答．
【详解】解：∵四个直角三角形全等，小正方形的面积为9，大正方形的面积为45，
∴，，，，
设，则，
∵，即，
解得（负值舍去），
∴，，
如图，过点M作于点Q，作于点P，
则，
∴四边形为矩形，
又∵的平分线交于点，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接，则，，
∴，
∴．
8．B
【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长.
【详解】： 连接，

∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边，
∴， ，
∴四边形为正方形，
∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵为等边三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴有最小值为，
故选： B．
9．C
【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
当落在对角线上时，
，，，
设，则，，
∴，
解得：，即，
如图，当时，
∴，
同理可得：，，
∴四边形为正方形，
∴．
综上：当为直角三角形，则的长为或．
故选：C
10．/
【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
如图所示，连接，
∴，
∴当取最小值时，的值最小，
根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为．
11．
【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】如图，连接．
∵矩形中，，，，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴，
即的最小值为．
12．
【分析】过点P作于点D，于点E，证明四边形为矩形，得出，，设，则，求出，根据，得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：过点P作于点D，于点E，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
∴．
13．
【分析】连接，相交于点，先证明，，，从而，再由，得，可证明四边形是菱形，从而可求得的长．
【详解】解：如图，连接，相交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，点G为线段的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，点G为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴．
14．
【分析】过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，证明四边形为菱形，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
由勾股定理得，
由题意可知，，且，
∴四边形为平行四边形，
在和中，
∴，
∴，
∴为菱形，
∴四边形的周长为．
15．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴．
故答案为：．
16．或
【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长．
【详解】解：①如图，若，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵将沿着翻折，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
②如图，若，
∵将沿着翻折，
∴，，，
∵，
∴点，点，点三点共线，
∵，
∴．
③若，
∵，
∴点不可能落在直线上，
∴不存在，
综上所述：或．
17．3或6
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理．分类讨论是解题的关键．当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设,则,然后在中运用勾股定理可计算出x，②当点F落在边上时，如答图2所示，此时四边形为正方形．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如答图1所示，
连接，在中，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，
，
，
，则，
在中，
，
，
解得，
，
②当点落在边上时，如答图2所示
此时四边形为正方形，
综上所述，的长为3或6
故答案为：3或6．
18．3或6
【分析】本题考查了矩形与折叠，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，注意分类讨论；掌握折叠的性质是解题关键．分两种情况：；，利用矩形的性质，折叠的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：若，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知：，
∴A、E、C三点共线，
由勾股定理得：，
∴，
设，则，
在中，,
即，
解得：，
即；
若，如图，
则，
∴四边形为矩形，
由折叠知，，
∴四边形为正方形，
∴；
综上，的长为3或6；
故答案为：3或6．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，即可证得，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，先判定为平行四边形，再由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证得结论；
（2）作于点，根据矩形的性质可知，，可得为的中位线，从而得到和，即可根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
，
平行四边形为矩形．
（2）解：作于点，
矩形，
，
，
，
，
．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出．
【详解】（1）证明：∵， D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知四边形是矩形．
∴，，，
∵D是的中点，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
即，
∴．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证；
（）由得四边形是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)24
【分析】 （1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可；
（2）先证出四边形是菱形，故设，（），则，再根据勾股定理得出，，列出方程，再解方程进行计算即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
．
，，
，，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：四边形为平行四边形，，
∴四边形是菱形，
．
设，（），则，
根据勾股定理得，，
即，
，
解得，，
，，
，
，
∴矩形的周长是24．
23．(1)
(2)①；②
(3)或或2
【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解；
（2）①同（1）得出，，根据即可求解；
②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案；
（3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【详解】（1）解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
同理可得，
；
（2）解：①如图1，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
点E与点F重合，
，
②如图2，当点E与点C重合时，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形；
∴
（3）解：情况1，如图3，
当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得，
，
，
，
，
；
情况2，如图4，
当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得，
即，
，
，
，
，
；
情况3，如图5，
当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或或2．
综上可知，的值为：或或2．
24．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由推出，再结合是中点得到，又因、得到，依据判定定理即可证得．
（2）先由、且，判定四边形为矩形，结合得到，进而判定四边形为正方形，即；再由、可知为等腰直角三角形，故，结合可判定为等腰直角三角形，即；已知，是中点得，在等腰中，由勾股定理求得，因此．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
由得：，
∴四边形是正方形，
，是的中点，
．
∵，，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
，
．
25．(1)；
(2)；
(3)；
(4)，．
【分析】（）根据线段中点定义即可求解；
（）由四边形是矩形，则有，又，故有，然后通过勾股定理即可求解；
（）由四边形是矩形，得，又是等腰直角三角形，则，，然后得出，所以，最后通过线段的和与差即可求解；
（）过作于点，作于点，证明，所以，又，，所以点在平分线上，即平分，则当时，线段最短，然后正方形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）解：∵为的中点，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：如图，过作于点，作于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴点在平分线上，即平分，
则当时，线段最短，
如图，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段中点，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
26．（）正方形的边长为；（）是等腰直角三角形，理由见解析；该运输通道的长度为米．
【分析】（）根据正方形性质和三角形的中位线定理即可求解；
（）过点作于点，证明四边形是正方形，然后证明，得，，进而可以解决问题；
连接，取的中点，连接，证明，得，然后根据三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】解：（）∵四边形是正方形，
∴，
∴为中点，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴正方形的边长为；
（）是等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，如图，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，米，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
连接，取的中点，连接，如图，
∵为的中点，和都是直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
∴米，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
即该运输通道的长度为米．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
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