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第二十一章 四边形 与三角形中位线有关的求解问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，平分交于点交延长线于点为的中点，连接，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知和是等边三角形，连接、，并以其为两边作，取的中点为N，中点为M，连接，当时，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，和是等腰三角形，，，，绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
9．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点，若的和为，的周长是，则__________．
10．如图，以任意的边和向形外作等腰和等腰，F、G分别是线段和的中点，则的值为__．
11．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
12．如图，中，，，，D，E分别是和上的点，且，，连接，．G、H分别是和的中点，连接，则线段的长为______．
13．如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________．
14．如图，在中，，，，是的角平分线，E是斜边的中点，过点B作于点G，延长交于点F，连接，则线段______．
15．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
三、解答题
16．如下图，在中，点在上，且，连接，平分交于点，．求证：．
17．如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点．
(1)若，求的面积；
(2)若，，，求的长度．
18．如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，，，求的长．
19．如图，为的中线，为的中线．
(1)在中作边上的高，垂足为F；
(2)若的面积为，．
①的面积为_________；
②求中边上的高的长；
(3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示）
20．如图，在中，M是的中点，平分，，，，求的长．
21．如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
22．如图，在中，，，是上一点，是上一点，连接，，，分别是，的中点．
(1)试探究线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
23．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)试猜想与的数量关系并给予证明．
24．如图1，在等边中，D，E分别是边上的点，交于P点．
(1)若．①直接写出图中所有的全等三角形______；②的度数为______；
(2)如图2，在（1）条件下，连接，当时，求证：；
(3)如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（，），连接交于点E，当时，直接写出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A A B B B B
1．A
【分析】连接，勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果.
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点E，G分别是的中点，
∴.
2．A
【分析】由三角形中位线定理推出，由线段的中点定义得到，于是得到的周长．
【详解】解：为的中位线，
，
、分别是和的中点，
，
的周长．
3．A
【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵的平分线与边相交于点F，
∴
∴
∴
∴，
∵E是的中点，
∴．
4．A
【分析】利用三角形中位线的性质进行求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴．
5．B
【分析】延长交的延长线于点，证明，可得，，在中可求得，即可得的长，再可得为的中位线，即可求得的长．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴为的中位线，
∴．
6．B
【分析】根据三角形中位线定理，等腰三角形的判定等证明即可求解．
【详解】解：∵点，分别为，的中点，
∴是的中位线，，
，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．B
【分析】由题易证，得到，，再根据中点构造中位线，取中点G，易证为等边三角形，进而求出，由的面积求出的长度，即可得解．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
如图，取中点G，连接、，
∵的中点为N，中点为M，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】取中点，连接，，根据三角形中位线定理求出，证明是等边三角形，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据 ，可知当点在上时，的值最小，即可求解．
【详解】解：如图，取中点，连接，，
点是的中点，点是的中点，
，
是等腰三角形，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
当点在上时，的值最小，此时，
即的最小值为．
9．
【分析】首先根据平行四边形的对角线互相平分得到，进而求出的长；然后根据的周长是，结合的长，求出的长；最后利用三角形的中位线定理求出的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵的周长是18，
∴．
∵E、F分别是线段的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】如图，取的中点H，连接、、，其中，的交点为，证明，可得，，，再证明，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，然后证明是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后求出的值即可．
【详解】解：如图，取的中点H，连接、、，其中，的交点为，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵F、G分别是线段和的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴且，且，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
11．1
【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长．
【详解】解：取的中点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∵，是的中点，
∴，，
∴是的中点．
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
12．
【分析】作的中点F，连接、，利用中位线可求得、的长度，并且可证得，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作的中点，连接、，
点是的中点，
，且，
，
同理：，且，
，
，
．
13．4
【分析】由，可得，，结合、分别是、的中点，可得，进一步可得答案．
【详解】解：连接．

∵的面积为24，，
∴，，
、分别是、的中点，
，，，
．
14．/
【分析】先利用勾股定理求得，再证明，利用全等三角形的性质可得，，然后利用中位线定理求得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
又，
，
，，
又E是斜边的中点，
是的中位线，
，
15．
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，
,
，
在和中，
,
，
，，
,
为的中点，，
是的中位线，
．
16．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理，掌握等腰三角形三线合一的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
先利用等腰三角形三线合一的性质证明是的中点，再结合是的中点，判定为的中位线，从而得出结论．
【详解】证明：在中，，平分，
．
，
是的中位线，
．
17．(1)30
(2)
【分析】本题考查三角形的中位线的性质，根据三角形的中线求面积，等腰三角形的判定和性质勾股定理．
（1）过点作，得是的中位线，根据题意得，即可解答；
（2）过点作于M，证是等腰三角形，由勾股定理得求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵点是边的中点，
∴是的中位线，
可得，则，
∵点是边的三等分点，
∴，
∴则
∵，点A到直线的距离不变，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，，
∴由（1）得，，，
∴，，
∴是等腰三角形，
过点作于M，则，
∴， ，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形；
（2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得．
【详解】（1）证明：点E是的中点，
．
，
是的中位线，
∴，
∴．
∵，
四边形为平行四边形．
（2）解：由（1）知是的中位线，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
，，
．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、化为最简二次根式、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)①10，②2
(3)
【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质；
（1）根据题意画出垂线，
（2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积；
②由再求出三角形的面积，则得边上的高；
（3）由平行线可得，从而求得．
【详解】（1）解：如图，作垂足为，
（2）解：①为的中线，
，
的面积为，
的面积为；
②为的中线，
，
∴，
；
（3）解：∵ ，为的中线，
是的中位线，
是的中线，
，，
，
又
．
20．
【分析】延长交于点E，可证明，得到，，则可证明是的中位线，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点E，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，即D为的中点，
∴
又∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键．
（1）利用三角形中位线定理得与的关系，结合，证明与平行且相等，判定平行四边形
（2）结合平行四边形性质和角度条件推导出，再由得到与的数量关系，在直角三角形中用勾股定理求，进而得的长．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，即．
，
．
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，．
，
．
，
，
，
．
在中，，，
，
（负值已舍去），
．
22．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点，由三角形中位线性质可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得与的数量关系；
（2）将代入与的关系式计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点，
∵，分别是，的中点，F是中点，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：∵，，
∴．
23．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)，证明见解析．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题．
（1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出；
（3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证．
【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
又∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵是的中点，
∴，
∴；
（3）解：猜想，证明如下：
由（1），，
∴，，
∴．
∵与同高，
∴，
同理可得：．
又，，
∴．
24．(1)和；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明和，即可；
（2）在上取点Q，使，证明，可得，，即可求证；
（3）延长至点G，使，连接，取的中点H，连接，则，，证明，可得，再由四边形为平行四边形，可得到，从而得到，进而得到，再结合，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：和；
（2）证明：在上取点Q，使，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，取的中点H，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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