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第二十一章 四边形 章末检测试题 2025-2026学年下学期
初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将梯形分成了一个三角形和平行四边形，三角形的面积与平行四边形面积的比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．8
6．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
7．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
10．如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（ ）
A．、、均可求 B．、、均不可求
C．仅可求 D．不可求
11．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形为矩形
B．当时，四边形为平行四边形
C．当时，或
D．当时，或
12．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
13．若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______．
14．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______．
15．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________．
16．如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是________．（只需填写正确结论的序号）
三、解答题
17．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
(1)求这个多边形是几边形；
(2)求这个多边形的内角和．
18．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离．
19．如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
20．如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，平分，，求的长．
21．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
22．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求的长．
23．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为．
(1)求为何值时，四边形是矩形；
(2)求为何值时，四边形是菱形．
24．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．

25．[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”．
[问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称）
（2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C A B A B A
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键．
【详解】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得出，结合矩形的性质即可求解．
【详解】解：，
，
∵四边形是矩形，
，
，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可．
【详解】解：设两平行线间的距离为，
∴三角形的面积为：，平行四边形的面积为：，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到．
【详解】中，点D是斜边的中点，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：，
则．
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：由作法得：平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
8．A
【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解；
【详解】解：由题意得：，
∵比的周长多2，
∴，即；
∵矩形的周长为，
∴；
∴，
∴该矩形的面积为：，
故选：A
9．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
又，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
∴，
，，，
，
∴．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了矩形的性质，风筝模型．由矩形的性质可得，可得，，可求，据此计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
11．D
【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可．
【详解】解：当时，，cm，，
∴，
∴四边形不为矩形，故选项A结论错误；
当时，，，cm，
∴，
∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误；
当时，作，垂足分别为E、F，如图，
∵，
∴，
∴四边形，都是矩形，
∴，，
∴当时，，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，故选项C错误、选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键．
12．D
【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可．
【详解】解：由折叠得：，垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
故①②正确，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为等边三角形，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴
故④正确，
综上所述正确的有：①②③④；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
13．9
【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合，根据n多边形的内角和公式和外角和为列方程求解即可．
【详解】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，即该多边形的边数为9，
故答案为：9．
14．5
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵四边形的面积为20，
∴；
∵点E为的中点，
∴，
故答案为：5．
15．
【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，为的中点．
∵，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
∵，
∴是直角三角形；
∴；
故答案为：．
16．①②③
【分析】利用平行四边形的面积，若，则，即可由菱形的判定得出平行四边形是菱形，可判定①正确；由是等边三角形，得，由四边形内角和可求得，再利用菱形的性质求出，可判定②正确；利用菱形的面积，可得出，再利用等腰三角形的性质可得出，可判定③正确．
【详解】解：①∵，
又∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，故①正确；
②是等边三角形，
，
又，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，故②正确；
③∵平行四边形是菱形
∴
∵
∴
∴，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，熟练掌握等边三角形和菱形的判定与性质是解决问题的关键．
17．(1)六边形
(2)
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角的计算，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角的关系是解题的关键．
（1）设内角为，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出
（2）根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（1）解：设多边形的每一个内角为，则每一个外角为，
由题意得，，
解得，，，
这个多边形的边数为：，
答：这个多边形是六边形；
（2）解：由（1）知，该多边形是六边形，
内角和，
答：这个多边形的内角和为．
18．
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可．
【详解】点，分别为，的中点，
，
∴
答：、两地的距离为．
19．(1)见解析
(2)平行四边形的面积为
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，含角的直角三角形，平行四边形的面积公式，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据平行四边形的对角线互相平分的性质，和，即可证明，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，
（2）作四边形的边上的高，根据角直角三角形的性质求出高，即可求解，
【详解】（1）解：连接，交于，
在平行四边形中，，，
∵，
，
又，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
（2）解：作交的延长线与点，
，，
，
∴，
故平行四边形的面积为．
20．(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】（1）根据的性质可得，，由此即可求证；
（2）根据，在中，可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，根据四边形是矩形，可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵点在边上，点在边上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，则，
∴平行四线是矩形．
（2）解：∵，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，，
∵由（1）可知，四边形是矩形，
∴，
∵，平分，
∴，
已知四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，
，
，
．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理：
（1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形；
（2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长；
熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
；
由折叠可知，，，
，，
；
；
四边形是正方形．
（2）四边形是正方形，
，
又，，，
设的长为，则，．
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题．
(1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值；
(2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t．
【详解】（1）解：由题意，得，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，
故当时，四边形为矩形．
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
在中，，
时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形．
24．（）详见解析；（）．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，证明，即可求证；
（2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
由折叠可得，．
∵四边形为矩形，．
∵为的中点，，
∴．
在与中，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，点在移动过程中，不变．
∴点在以为圆心，10为半径的的弧上．
连接，，

∴，
当点在线段上时，有最小值．
∵，，，
∴．
∴，
∴的最小值为．
25．（1）菱形、正方形
（2）或
【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答；
（2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积．
【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形；
（2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：
①当对角线是“美妙线”时，如图，
平分和，，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点，
，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
综上所述，美妙四边形的面积为或．
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