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第二十一章 四边形 四边形中的线段最值问题 专题练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
2．如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为( )
A．5 B． C． D．
5．如图，矩形中，，，点分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（ ）
A．15 B． C． D．12
8．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__．
10．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______．
11．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ．
12． 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______．
13．如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ．
14．如图，在矩形中，，，、分别是边、上的动点，连接、，为的中点，为的中点，连接，则的最大值是______．
三、解答题
15．如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值．
16．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．

17．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值．
18．如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值．
19．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，．
(1)若，则的长为____________．
(2)当的值最小时，的长度为____________．
20．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值．
21．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
(1)当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ；
②若，求此时的长；
(2)当，求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D C A A A
1．C
【分析】本题考查菱形的性质，以及线段最值问题，准确添加辅助线是解题的关键．
如图构造全等三角形，使得，点A、G在直线两端，再根据三角形三边的性质，判断出，利用角度关系得出，结合直角三角形边长关系求出的长度，则为的最小值．
【详解】解：在下方取点，使，
连接、，如图所示：
又∵，
∴，
，故当、、三点共线时最小，
∵四边形为菱形，
∴，，
故，且，
得等腰，
，
则，
故选．
2．A
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹．如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，先证明四边形是矩形，得到点是中点，再证明是的中位线，由中位线定理可得，再证明是的中位线，由中位线定理可得，推出点在线段上，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解；
【详解】解：如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，
四边形是矩形，
，，，
∵矩形中，点是中点，点是中点，
，，
∴四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
又是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵为的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点在线段上，
即为点的运动轨迹，
当时，有最小值，
，
的最小值为．
故选：A．
3．C
【分析】如图，取的中点，连接，作于．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点，连接，作于．
∵四边形是平行四边形，，，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
在 中，∵，
，
，
，
则的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
4．D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，
过点作于点，设与相交于点，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得，
，
即的最小值为．
故选：D．
5．C
【分析】先证明四边形是平行四边形，延长，使得，连接，，则和关于对称，由得，当、、共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过作垂足是，则四边形是矩形，进而可得，，由勾股定理求得，则最小值为，由四边形周长为求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
延长，使得，连接，，则和关于对称，
∴，
∴，
∴当、、共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，
过作垂足是，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
由勾股定理得，
∴最小值为，
则四边形周长的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，以及为的最小值是解答的关键．
6．A
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用勾股定理解三角形等知识点，熟练掌握以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键．在线段上截取，过点作于点交于点、交于点，连接、，先由菱形的性质，利用菱形的面积公式求出菱形的高，即的最小值，从而找到动点F、动点P的位置，再过点作交的延长线于点，连接，利用勾股定理解三角形，即可求出线段的长．
【详解】解：如图所示，在线段上截取，过点作于点交于点、交于点，连接、，
在菱形中，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
若，说明如图所示，此时，动点F是边上的点，动点P是线段上的点，过点作交的延长线于点，连接，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值．
【详解】如图所示，连接，
∵点与点关于对称，
，
当在同一直线上时，
的最小值等于的长，
∴的最小值等于15，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可．
【详解】解：中，，如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为，
∵中，，
∴，
∴最小即为，
故选：A．
9．
【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴，
当点三点共线时，取最小值，即取最小值，
此时∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴此时，即的最小值为．
10．
【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答．
【详解】解：在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
，
．
取的中点，连接、，如图所示：
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，得，
当、、三点共线时，的长度最小，最小值．
11．
【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解．
【详解】解：连接，如下图：
正方形中，，，
，
又，，
四边形是矩形，
，
则的最小值即为的最小值，
当时，最短，
此时，
，
即的最小值为．
12．
【分析】本题主要考查轴对称 最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．
连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得．
【详解】解：连接，交于，连接交于，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
，
当点与重合时，取得最小值．
四边形是边长为2的菱形，，
，是等边三角形，
∵E为的中点，
∴，，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
13．
【分析】作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，由勾股定理得，根据，得的最小值为，即得的最小值是．
【详解】解：长方形中，， ，点为的中点，
∴，
作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，由折叠知，，
∴的最小值为，
∴的最小值是．
14．5
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形中位线定理，关键是利用三角形中位线定理将求的最大值转化为求的最大值，通过分析动点的位置确定的最大值．
【详解】解：连接、，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，，
∴由勾股定理可得；
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
根据三角形中位线定理得，
∴当有最大值时，有最大值；
∵点是边上的动点，
∴当点与点重合时，的长度等于的长度，此时取得最大值，则的最大值为．
故答案为：5．
15．6.5
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键．
连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值．
【详解】解：如图，连接．
，分别为，的中点，
为的中位线，
，
当的值最大时，的值最大．
当点与点重合时，的值最大，
此时，
的最大值为．
16．（）详见解析；（）．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，证明，即可求证；
（2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
由折叠可得，．
∵四边形为矩形，．
∵为的中点，，
∴．
在与中，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，点在移动过程中，不变．
∴点在以为圆心，10为半径的的弧上．
连接，，

∴，
当点在线段上时，有最小值．
∵，，，
∴．
∴，
∴的最小值为．
17．
【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是正方形，是其对角线，
∴点与点关于直线C对称，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长；
∵正方形的面积为6，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
故的最小值为；
故答案为：．
18．
【分析】作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，可得四边形是平行四边形，从而可得，由勾股定理可得的长，即可求解．
【详解】解：作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，且，．
∵四边形是矩形，
∴，．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，，为的中点，
∴，
∴，，
∴由勾股定理可得，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质．
19．(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解；
（2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）（1）如图①，
过点作于点，则四边形是矩形．
由题意知，，，，
．
是的中点，
，
．
在中，，
．
（2）解：如图②，
以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，
此时，，．
当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，
即的值最小，则，
易知．
过点作于点，则是的中点，
．
在中，，，
．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．
【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，将求的最小值问题转化为求线段的长度问题，再结合特殊四边形的性质求出构成直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∵为线段上的动点，
∴如图，可以看作是定线段沿菱形在方向上水平运动，
点的运动轨迹为线段，过点作关于线段的对称点．
由对称性，得，
∴，
如图，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，
设与交于点，交于点，延长交延长线于点，菱形中，，，
∴，，．
由题意可得，
∴由对称性可得，∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
即的最小值为．
21．(1)①作图见解析，，；②
(2)
【分析】（1）①取中点作图，根据中位线的性质可判断．根据正方形的性质容易证明，进而可证明，因此；
②使用勾股定理可得，运用正方形的性质和勾股定理计算出和，进而求出；
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，，，，，根据中位线的性质可得，．由线段公理可得，当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为的长．同理①可得，是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可．
【详解】（1）解：点、、如图所示，，，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：且；
②由①可知，，
∴，
由勾股定理可得，，，，，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接，，，，，
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，，；
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①可得，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴在直角中，，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题是四边形中点问题的综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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