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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的线段长度问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，，，P为边上一动点（且点P不与点B、C重合），于E，于F．则的最小值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5.2 D．6
2．如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
3．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．5
5．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（ ）
A．10 B． C． D．5
6．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
7．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．的平分线交于点，连接．若小正方形的面积为9，大正方形的面积为45，则的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ）
A． B．9或6 C．9或 D．3或
二、填空题
10．如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______．
11．如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______．
12．如图，在平行四边形中，延长至点E，使得，连接，延长至点F，使得，点G为线段的中点，连接，，若，，，则线段的长为______．
13．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______．
14．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________．
15．如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为_______．
三、解答题
16．矩形的对角线交于点O，E是射线上一点（不与B，C重合），过点O作交直线于点F，连接．
(1)如图1，当E是的中点时，若，，求的长；
(2)当E在的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
17．如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．
(1)求的长；
(2)若为等腰三角形，求t的值．
18．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，求的长．
19．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点O，若，，求的长．
20．已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，当时，作的中线；
(2)如图2，当是的中点时，作的中线．
21．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
22．如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长．
23．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、．
(1)如图1，当时，连接，且．
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
(2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值．
24．如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于．
(1)填空：的度数______；
(2)求证：；
(3)若，求的长；
(4)如图，在中，，高，，求的长度．
25．【模型建立】
（1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：．
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D B A D B D B C
1．A
【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
【详解】解：如图，连接．
在中，，，，
，
．
又于点，于点．
，
四边形是矩形．
．
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，
即，
线段长的最小值为2.4．
2．D
【分析】连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可．
【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
3．B
【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，，
∴当最短时，．
4．A
【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论．
【详解】解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
∵点是的中点，点是四边形边上的动点，
∴当垂直于菱形的一边时，有最小值，
过点作于点，
当点为的中点时，连接，
则为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，
解得：，
∴，
即的最小值是．
5．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键．
证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点，
∴四边形是菱形，
∴
∵平行四边形的周长为40，
∴,
∵是中点，是中点，
∴.
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
又，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
∴，
，，，
，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】先根据题意得到，，，，然后在中利用勾股定理建立方程，求得和，接着过点M作于点Q，作于点P，连接，由角平分线的性质定理可知，可证得四边形为正方形，为直角三角形，再利用面积的关系，求得，最后由勾股定理求得和，即可解答．
【详解】解：∵四个直角三角形全等，小正方形的面积为9，大正方形的面积为45，
∴，，，，
设，则，
∵，即，
解得（负值舍去），
∴，，
如图，过点M作于点Q，作于点P，
则，
∴四边形为矩形，
又∵的平分线交于点，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接，则，，
∴，
∴．
8．B
【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长.
【详解】： 连接，

∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边，
∴， ，
∴四边形为正方形，
∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵为等边三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴有最小值为，
故选： B．
9．C
【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
当落在对角线上时，
，，，
设，则，，
∴，
解得：，即，
如图，当时，
∴，
同理可得：，，
∴四边形为正方形，
∴．
综上：当为直角三角形，则的长为或．
故选：C
10．/
【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
如图所示，连接，
∴，
∴当取最小值时，的值最小，
根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为．
11．
【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】如图，连接．
∵矩形中，，，，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴，
即的最小值为．
12．
【分析】连接，相交于点，先证明，，，从而，再由，得，可证明四边形是菱形，从而可求得的长．
【详解】解：如图，连接，相交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，点G为线段的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，点G为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴．
13．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴．
故答案为：．
14．或
【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长．
【详解】解：①如图，若，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵将沿着翻折，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
②如图，若，
∵将沿着翻折，
∴，，，
∵，
∴点，点，点三点共线，
∵，
∴．
③若，
∵，
∴点不可能落在直线上，
∴不存在，
综上所述：或．
15．3或6
【分析】本题考查了矩形与折叠，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，注意分类讨论；掌握折叠的性质是解题关键．分两种情况：；，利用矩形的性质，折叠的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：若，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知：，
∴A、E、C三点共线，
由勾股定理得：，
∴，
设，则，
在中，,
即，
解得：，
即；
若，如图，
则，
∴四边形为矩形，
由折叠知，，
∴四边形为正方形，
∴；
综上，的长为3或6；
故答案为：3或6．
16．(1)
(2)补全图形见解析，，证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得，利用勾股定理可得长，则可得到的长，证明四边形是矩形，得到，据此可得答案；
（2）先根据题意补全图形，分别延长交于G，连接，证明，得到，，证明垂直平分，得到；再证明；由勾股定理得，则．
【详解】（1）解：∵矩形的对角线交于点O，
∴，
∴，
∴；
∵E是的中点，
∴，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴；
（2）解：补全图形如下所示，，证明如下：
如图所示，分别延长交于G，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
17．(1)
(2)或或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，以及解勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
先求出，在中根据勾股定理计算即可；
先证得四边形为矩形，再作，，垂足分别为点，，再证得，，，，然后分3种情况、和，然后分别列出等式，即可求解；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
（2）解：∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
作，，垂足分别为点，，如图：
∴四边形、和都是矩形，
∴，，，，，
若为等腰三角形，则有三种可能，
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴秒；
②当时，
∴，
∴秒；
③当时，设，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴秒，
综上所述：或或时，为等腰三角形；
18．6
【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，
在矩形中，，，
四边形和四边形为矩形，
又，，
，，
是的中点，
，
又，
，
又，
，
，
垂直平分，
，
令，则，
又，
，
，，
在中，，
解得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论；
（2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形的中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）如图：连接相交于点D，连接交于E，即是的中线；
（2）如图：连接相交于点G，连接交于F，即是的中线；
【详解】（1）解：如图：即为所求．
证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线为的垂直平分线，即是的中线．
（2）解：如图：即为所求．
，
证明：如图：设与相交于H，
∵和都为等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵是的中点，
∴是的中线，
由三角形三条中线在三角形内相交于一点，即是的中线．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据四边形是平行四边形，得，结合，得四边形是平行四边形，结合，则，故四边形是菱形，即可作答．
（2）根据菱形的性质，得，因为四边形是平行四边形，则，，运用勾股定理得，则，即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立；
()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，分别是和的中点，
，.
，，
四边形为平行四边形.
，
，
四边形为菱形；
（2）如图，过点作于点，
由（）知四边形为菱形，
∵，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
23．(1)①10；②
(2)
【分析】（1）①首先由得到，证明出四边形是正方形，然后利用勾股定理求解即可；
②如图所示，延长到点G使，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，进而求解即可；
（2）如图所示，连接，设，，证明出，得到，，然后表示出，勾股定理得到，表示出，由得到，然后代入求出，，进而求解即可．
【详解】（1）①∵在矩形中，已知，
∴当时，
∴
∴四边形是正方形
∴
∵，
∴；
②如图所示，延长到点G使
∵四边形是正方形，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）如图所示，连接
∵
∴设，
∵四边形是矩形
∴，设
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴代入得，
∴，即
∴
∴
∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
24．(1)；
(2)证明过程见解析；
(3)的长为；
(4)的长度．
【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质，得出角之间的数量关系，即可求解；
（2）由三角形全等的性质，结合等量代换，即可证得结论；
（3）由三角形全等的性质，得出线段之间得到数量关系，结合勾股定理即可求解；
（4）通过翻折和三角形全等的性质，构造正方形，得出线段之间的数量关系，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵的延长线于，的延长线于，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
如图，作于G，
∴，
∵平分，平分
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图，作于G，
由（1）可知，，，
∴，，
∴．
（3）解：由（1）（2）知，四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
设，
又∵，
∴
∴，
由（1）可知，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，．
（4）解：∵是的高，
∴，
即，
如图，把沿翻折，得到，
∴，，，，
∴，
把沿翻折，得到，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
延长，交于点，则四边形是正方形，
设，则，
∵，，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴，
解得，．
【点睛】本题考查了正方形与三角形综合，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的判定和性质，并且能正确作出辅助线．
25．（1）见详解（2）见详解（3）
【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明，从而得出；
（2）延长至F，使．连接，根据（1）知，即可证明，根据，得，利用全等三角形的判定方法得出，即，即可得出答案；
（3）过作，交延长线于D，则四边形 为正方形，设，根据（1）（2）可知，，在中，利用勾股定理即可求解，即可作答．
本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴；
（2）如图2，
延长至F，使．连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，即，
又∵，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过作，交延长线于D，
∵在直角梯形中，，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
根据（1）（2）可知，，
在中，∵，
即，
得：，
∴．
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