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第二十一章 四边形 与三角形中位线有关的求解问题 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，求的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
5．如图，在中，，，平分，于点D，的延长线交于点F，E为的中点，求的长（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
8．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
10．如图，在中，平分，于点E，交于点F，点G是的中点，若，，则的长____．
11．如图，在中，，D，E，F分别是的中点，连接三个中点，若，则的面积是________．
12．如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________．
13．如图，在中，点M为的中点，为的外角平分线，且，若，，则的长为______．
三、解答题
14．如图，在中，M是的中点，平分，，，，求的长．
15．如图，为的中线，为的中线．
(1)在中作边上的高，垂足为F；
(2)若的面积为，．
①的面积为_________；
②求中边上的高的长；
(3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示）
16．如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，，，求的长．
17．如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点．
(1)若，求的面积；
(2)若，，，求的长度．
18．如下图，在中，点在上，且，连接，平分交于点，．求证：．
19．如图1，在等边中，D，E分别是边上的点，交于P点．
(1)若．①直接写出图中所有的全等三角形______；②的度数为______；
(2)如图2，在（1）条件下，连接，当时，求证：；
(3)如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（，），连接交于点E，当时，直接写出的值．
20．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)试猜想与的数量关系并给予证明．
21．如图，在中，，，是上一点，是上一点，连接，，，分别是，的中点．
(1)试探究线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
22．如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B B B B B C
1．B
【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即．
2．B
【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可．
【详解】、、、分别是、、、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长；
3．B
【分析】易知是的中位线，可得，再由中点的性质可得．
【详解】解：点、是边、的中点，
是的中位线，
，
点是边的中点，
．
4．B
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
5．B
【分析】先证明，得出，，求出，再结合三角形中位线定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴为的中位线，
∴．
6．B
【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
7．B
【分析】取的中点，连接，易得，证明为等边三角形，三线合一求出，线段的和差求出的长．
【详解】解： 取的中点，连接，
∵是等边三角形，的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．C
【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数．
【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
9．
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，
,
，
在和中，
,
，
，，
,
为的中点，，
是的中位线，
．
10．2
【分析】根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理以及三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
11．
【分析】过点作的垂线，垂足为，易证是等腰直角三角形，求出，由勾股定理求出，再根据E，F分别是的中点，得到，推出，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，
则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴的面积是．
12．
【分析】先根据三角形中位线定理求出和的长度，同时得到与平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，利用等角对等边得出，最后通过线段的差运算计算出的长度．
【详解】解：∵是的中位线，，，
∴，，．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
13．
【分析】延长交的延长线于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【详解】解：延长交的延长线于E，
∵为的外角平分线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴．
14．
【分析】延长交于点E，可证明，得到，，则可证明是的中位线，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点E，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，即D为的中点，
∴
又∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
15．(1)见解析
(2)①10，②2
(3)
【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质；
（1）根据题意画出垂线，
（2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积；
②由再求出三角形的面积，则得边上的高；
（3）由平行线可得，从而求得．
【详解】（1）解：如图，作垂足为，
（2）解：①为的中线，
，
的面积为，
的面积为；
②为的中线，
，
∴，
；
（3）解：∵ ，为的中线，
是的中位线，
是的中线，
，，
，
又
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形；
（2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得．
【详解】（1）证明：点E是的中点，
．
，
是的中位线，
∴，
∴．
∵，
四边形为平行四边形．
（2）解：由（1）知是的中位线，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
，，
．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、化为最简二次根式、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键．
17．(1)30
(2)
【分析】本题考查三角形的中位线的性质，根据三角形的中线求面积，等腰三角形的判定和性质勾股定理．
（1）过点作，得是的中位线，根据题意得，即可解答；
（2）过点作于M，证是等腰三角形，由勾股定理得求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵点是边的中点，
∴是的中位线，
可得，则，
∵点是边的三等分点，
∴，
∴则
∵，点A到直线的距离不变，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，，
∴由（1）得，，，
∴，，
∴是等腰三角形，
过点作于M，则，
∴， ，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理，掌握等腰三角形三线合一的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
先利用等腰三角形三线合一的性质证明是的中点，再结合是的中点，判定为的中位线，从而得出结论．
【详解】证明：在中，，平分，
．
，
是的中位线，
．
19．(1)和；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明和，即可；
（2）在上取点Q，使，证明，可得，，即可求证；
（3）延长至点G，使，连接，取的中点H，连接，则，，证明，可得，再由四边形为平行四边形，可得到，从而得到，进而得到，再结合，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：和；
（2）证明：在上取点Q，使，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，取的中点H，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)，证明见解析．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题．
（1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出；
（3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证．
【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
又∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵是的中点，
∴，
∴；
（3）解：猜想，证明如下：
由（1），，
∴，，
∴．
∵与同高，
∴，
同理可得：．
又，，
∴．
21．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点，由三角形中位线性质可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得与的数量关系；
（2）将代入与的关系式计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点，
∵，分别是，的中点，F是中点，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：∵，，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键．
（1）利用三角形中位线定理得与的关系，结合，证明与平行且相等，判定平行四边形
（2）结合平行四边形性质和角度条件推导出，再由得到与的数量关系，在直角三角形中用勾股定理求，进而得的长．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，即．
，
．
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，．
，
．
，
，
，
．
在中，，，
，
（负值已舍去），
．
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