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第二十一章 四边形 章末测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将梯形分成了一个三角形和平行四边形，三角形的面积与平行四边形面积的比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．8
6．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
7．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）
A．30 B．54 C． D．60
9．如图，在四边形中，对角线交于点．（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：四边形是正方形；，，正确的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________
14．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

15．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________．
16．如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是________．（只需填写正确结论的序号）
三、解答题
17．已知正x边形的内角和为，边长为2．
(1)求正x边形的周长；
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值．
18．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：．
19．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长．
20．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，四边形周长为32，求的长度．
21．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
22．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求的长．
23．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为．
(1)求为何值时，四边形是矩形；
(2)求为何值时，四边形是菱形．
24．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．

25．[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”．
[问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称）
（2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C A C B B A
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键．
【详解】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得出，结合矩形的性质即可求解．
【详解】解：，
，
∵四边形是矩形，
，
，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可．
【详解】解：设两平行线间的距离为，
∴三角形的面积为：，平行四边形的面积为：，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到．
【详解】中，点D是斜边的中点，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：，
则．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
8．B
【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成．
【详解】设两对角线的交点为E
∵
=54
故选：B．
【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半．
9．B
【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键．
根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
A．若时，平行四边形是菱形，
不能判定，故不符合题意；
B．若时，平行四边形是菱形，
∴，故符合题意；
C．若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意；
D．若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程．
连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长．
【详解】解：连接，如图，
设，则有，
在中，，
在中，，
在中，，
∵，即，
在中，，
即，解得，
∴．
故选：C．
12．D
【分析】先证明≌，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
根据，进行推理说明便可；
根据正方形的性质，得出与互相垂直平分，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形，
故正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故正确；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
故正确；
故选：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
13．
【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可．
【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形，
由于多边形的外角和是，且每一个外角为，
，
所以它是一个十八边形，且每条边都相等，
因此所走的路程为，
故答案为：．
14．60
【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
15．
【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，为的中点．
∵，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
∵，
∴是直角三角形；
∴；
故答案为：．
16．①②③
【分析】利用平行四边形的面积，若，则，即可由菱形的判定得出平行四边形是菱形，可判定①正确；由是等边三角形，得，由四边形内角和可求得，再利用菱形的性质求出，可判定②正确；利用菱形的面积，可得出，再利用等腰三角形的性质可得出，可判定③正确．
【详解】解：①∵，
又∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，故①正确；
②是等边三角形，
，
又，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，故②正确；
③∵平行四边形是菱形
∴
∵
∴
∴，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，熟练掌握等边三角形和菱形的判定与性质是解决问题的关键．
17．(1)
(2)5
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
（1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得．
正x边形的周长为；
故答案为：．
（2）解：正x边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
故答案为：5．
18．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，中点四边形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
利用三角形中位线定理，推导中点四边形各边与原四边形对角线的数量关系，再计算周长．
【详解】解：，，，分别是，，，的中点，
，，
四边形的周长是．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明可得结论；
（2）证明，可得结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：平行四边形的周长为32，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键．
（1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可．
（2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
，，
，
在直角三角形中，，
．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理：
（1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形；
（2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长；
熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
；
由折叠可知，，，
，，
；
；
四边形是正方形．
（2）四边形是正方形，
，
又，，，
设的长为，则，．
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题．
(1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值；
(2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t．
【详解】（1）解：由题意，得，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，
故当时，四边形为矩形．
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
在中，，
时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形．
24．（）详见解析；（）．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，证明，即可求证；
（2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
由折叠可得，．
∵四边形为矩形，．
∵为的中点，，
∴．
在与中，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，点在移动过程中，不变．
∴点在以为圆心，10为半径的的弧上．
连接，，

∴，
当点在线段上时，有最小值．
∵，，，
∴．
∴，
∴的最小值为．
25．（1）菱形、正方形
（2）或
【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答；
（2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积．
【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形；
（2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：
①当对角线是“美妙线”时，如图，
平分和，，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点，
，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
综上所述，美妙四边形的面积为或．
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