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第二十一章 四边形 四边形中的线段最值问题 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
，
A．12 B．13 C． D．
3．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题
9．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________．
10．如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ．
11．如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______．
12．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________．
13．如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F，将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为______．
14．如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________．
15．如图，正方形的边长为分别是边上的两个动点，且，连接，，则的最小值为___________．
三、解答题
16．如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．
(1)当为的中点时，线段与有何位置关系？请说明理由．
(2)求线段的最小值．
17．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值．
18．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．
(1)求证：；
(2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值．
19．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
(1)当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
(2)当，求的最小值．
20．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　．
21．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．

(1)若点E为的中点，求证：F点为的中点；
(2)若点E为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
22．如图，正方形中，点P是线段上的动点．
(1)当交于E时，
①如图1，求证：．
②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．
23．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B B D C C B
1．C
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键．
作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，
，，
当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，
四边形是正方形，
，
点在边上，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
由勾股定理得，，
的最小值是13
故选：B．
3．B
【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
四边形是正方形，，
，
当最大时，最大，此时最大，
点是上的动点，
当点和点重合时，最大，即的长度，
此时，
，
的最大值为．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．B
【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解．
【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，

∵E关于的对称点为，
∴，，
∵正方形的边长为2，点为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵周长，
又∵，
∴周长，
∴周长最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．
5．D
【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
6．C
【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，连接与相交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O是菱形的中心，
连接，取中点M，连接，，则，为定长，
∵菱形的边长为8，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵M是的中点，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，，
∵，
当A，M，G三点共线时，最小为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．
7．C
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．
8．B
【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接OP、EF，
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF=OP，
∴EF最小时OP最小，
当OP⊥BC于P的时候OP最小，
而当OP⊥BC时，P为BC的中点，
∴OP=BC，
∵AC=，
则BC=2，
∴OP=1，
∴EF的长的最小值为1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．
9．
【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键．
由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长．
【详解】解：∵正方形的面积为12，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴、关于对称，
∴，
∴，
∴当、、共线时，的最小值为的长，
∴的最小值为．
故答案为：．
10．
【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解．
【详解】如图，连接，取的中点，连接，，
∵矩形中，，，，
∴，，
∴根据勾股定理，，
∵为的中点，为的中点，
∴，
∵，
∴，
由三角形的三边关系得三点共线时最大，
此时．
11．
【分析】先作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，根据对称性可得，所以，再根据两点之间线段最短可得最小值为，然后过点E作的平行线，交的延长线于点I，最后根据勾股定理得出答案．
【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，可知点E，M，N，F共线时最小，所以最小，即．
过点E作的平行线，交的延长线于点I，
根据题意可知四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理，得，
所以最小值是．
12．
【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点M，N分别是，的中点，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
作点C关于直线对称点Q，连接、，
，
当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度，
在中，，，，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
13．
【分析】在上截取，连接，过点作于点，易证明，得出，最短时，也就是最短，而当时，最短，进一步得出的最小值是，最后根据勾股定理计算出，的长，从而计算出的最小面积．
【详解】解：如图，在上截取，连接，过点作于点，
由折叠得：，
又，
，
，
最短时，也就是最短，
故当时，最短．
点O为矩形的对称中心，
，
即的最小值是．
矩形的对角线长度为，且点O为矩形的对称中心，
．
在中，
∵为定值，度数也不变，是定值，
当取最小值，即时，的面积最小．
点O为矩形的对称中心，，
．
在中，，
在中，，
，
面积的最小值是．
14．
【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小，
最后利用等面积法求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
由等面积得，
即的最小值为．
15．
【分析】连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线，连接，与的交点即为所求的E点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解．
【详解】解：如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
的最小值等于的最小值，
如图2，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线，
连接，与的交点即为所求的E点，
根据对称性可得，
，
在中，，，
，
的最小值等于．
16．(1) 见解析
(2)
【分析】（1）先通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再通过等腰三角形三线合一得到，分别为，的中点，则为的中位线，由此即可证明；
（2）连接，证明四边形是矩形，得到．则当时，最小，即此时最小．利用勾股定理求出，再用等面积法求出的最小值，即可得到答案．
【详解】（1）解：．
理由：如图①，连接．
，为的中点，
．
于点，于点，
，分别为，的中点，
为的中位线，
．
（2）解：如图②，连接．
，，
．
又，
四边形为矩形，
．
点在上，
当时，的值最小，此时的值最小．
，，，
．
当时，，
，
解得，
线段的最小值为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短、三角形中位线定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
17．5
【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值．
【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接．
易知，且，
，则，此时有最小值．
，，
．
由勾股定理，得，即的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解．
18．(1)见解析
(2)的大小是定值，定值为
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明；
（2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论；
（3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为4，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴的大小是定值，定值为；
（3）解：连接，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴是的高，
∵，
∴是的高，
由（2）得，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键．
19．(1)①作图见解析，；②
(2)
【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解；
（2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
20．[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2）
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
[问题原型]证明即可；
[问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解；
（2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可．
【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
[问题应用]（1）解：四边形是正方形，，
，，
，为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
为的中点，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
，，，
在和中，
，
，
，
，
延长到点，使，则，垂直平分，
连接、，则，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
21．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案．
【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，
，
，
又，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（3）取的中点，连接，，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①连接，根据证明，得到，，再求出，进一步证明得到，等量代换可得结果；②先根据得到，得到，结合勾股定理得到；
（2）连接交于点O，先根据正方形的性质得到，，进一步得到当点P与点O重合时，的最小值，的最小值，以及此时，，最后根据M为中点得到Q为中点，即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，，理由是：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，，
∴当点P与点O重合时，的最小值为，
∵的最小值为，
∴的最小值为，
∴当点P与点O重合时，，如图，
∴，
∵M为中点，
∴Q为中点，
∴．
【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，勾股定理，最值问题，有一定难度，解题的关键是数形结合，利用正方形的性质添加辅助线．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
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