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2026学年高一下学期数学期中模拟试卷（一）（贵州专用）
分值：150分；考试时间：120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，是不同的直线，，，是不重合的平面，下列命题中正确的个数为( )
若，，则；若，，则
若，，则；，，则．
A. B. C. D.
2.已知，，设，，，，则( )
A. B. ，，
C. ， D.
3.等边三角形边长为，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则( )
A. 至多与，中的一条相交 B. 与，均相交
C. 与，均平行 D. 至少与，中的一条相交
5.已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.一个四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是( )
A. ，，，有两解
B. ，，，有两解
C. ，，，有两解
D. ，，，无解
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是( )
A. 当时，面积的最小值为
B. 当时，直线与平面所成的角为
C. 二面角的平面角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
10.下列结论正确的是( )
A. 在中，若，则是钝角三角形
B. 若点为的重心，则
C. 若且，则
D. 若，，三点满足，则，，三点共线．
11.已知对任意，，，且，则( )
A.
B.
C. 的图象关于直线对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点直线，圆相交于，两点，满足，，则点坐标为 ．
13.已知，，则 ______； ______．
14.如图所示，在正方体中，点，分别在线段，上运动包括端点，且始终满足，则下列说法中正确的是______填写相应的序号．
存在点，，使；
存在点，，使；
当点与点不重合时，四棱锥的体积为定值；
存在点，，使直线与直线所成的角为；
当点与点不重合时，平面平面始终成立．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”．
请说明是否为“导可控函数”；
若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有．
16.本小题分
已知平面直角坐标系中，点为原点，，，．
Ⅰ求的坐标及；
Ⅱ若，求实数的值；
Ⅲ若，，三点共线，求实数的值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别是，，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
18.本小题分
在中，，，．
求证：；
若，，求实数的值．
19.本小题分
已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
求动点的轨迹的方程；
过点作直线与轴不垂直与轨迹交于、两点，与轴交于点，若，，证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：假设，则过有两个平面，都与垂直，矛盾．
假设错误，故正确．
以直三棱柱为例，设直三棱柱的两个侧面为，，底面为，
则，，但与相交．故错误．
当时，若，，，则，，显然与不平行；故错误．
以正方体为例，平面，平面，但与不平行，故错误．
故选：．
结合常见几何体模型进行举反例判断．
本题考查了空间线面位置关系的判断，结合常用的几何模型举出反例是关键．
2.【答案】
【解析】解：由题可得：，，，，
所以．
故选：．
中，，故为，为或，而中，，为，为或，用列举法写出和，再求即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，属于基础题．
由条件可得，根据向量的数量积运算即可求得．
【解答】
解：，
．
4.【答案】
【解析】解：因为，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，
又，，，且与异面，
所以与平行或相交，与平行或相交，但直线与，不能同时平行，
若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾，
所以与，中的一条相交或与，都相交．
故选：．
根据线线之间的位置关系分析即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
则在复平面内对应的点的坐标为．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：方程，若表示为双曲线，则需满足，也即，
充分性：若，不一定能推出，因此“”不是“方程表示双曲线”的充分条件；
必要性：若方程表示双曲线，即，则一定满足，
因此“”是“方程表示双曲线”的必要条件；
综上，“是“方程表示双曲线”的必要而不充分条件．
故选：．
方程表示双曲线，需满足，据此推出满足的范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法即可分析出正确选项．
本题考查了双曲线的性质，充分条件、必要条件，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图：四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多是个．
故选：．
在正方体中画出四棱锥判断即可．
本题考查棱锥的结构特征，基本知识的考查．
8.【答案】
【解析】解：选项A，由正弦定理知，，即，
所以，
因为，所以，
所以只能有一个值，即三角形有一解，故选项A错误；
选项B，由于，即，所以三角形有两解，故选项B正确；
选项C，由于，所以三角形为直角三角形，只有一解，故选项C错误；
选项D，由余弦定理知，，
所以三角形有一解，故选项D错误．
故选：．
根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可．
本题考查三角形解的个数的判断，熟练掌握正余弦定理，三角形的几何性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：当时，点在上，
，
又，，
≌，
，
即，
，
是底边为的等腰三角形，当腰最小时，该三角形的面积最小，
，当，
即点为线段的中点时，的面积取得最小值，故A正确；
对于选项B：，，
，
，
平面，
为与平面所成的角，
又平面平面，
即为与平面所成的角，
与平面所成角的正切值，
即直线与平面所成的角为，故B错误；
如图所示，过点作，垂足为，连接，
平面，平面，，
又，平面，平面，，
即为二面角的平面角，
∽，
，
，，
，故选项C正确；
设为线段的中点，线段，的中点分别为，，连接，
如图所示．，平面，
为直角三角形，点为外接圆的圆心，
设三棱锥外接球的球心为，
则球心在上，且，
设，，三棱锥外接球的半径为，
，
，
解得，
，
三棱锥外接球的表面积为，故D正确．
故选：．
当时，点在上，分析可得是底边为的等腰三角形，当腰最小时，即点为线段的中点时，该三角形的面积最小，即可判断选项A；
当时，根据及数量积的运算律可求得，进而可知即为与平面所成的角，即可判断选项B；
过点作，垂足为，连接H.根据线面垂直的判定定理与性质可得，从而即为二面角的平面角，即可求出即可判断选项C；
设为线段的中点，线段，的中点分别为，，连接设三棱锥外接球的球心为，分析可知球心在上．设，，根据结合勾股定理即可求出三棱锥外接球的半径为，即可判断选项D．
本题考查立体几何综合问题，以及向量法的应用，属于难题．
10.【答案】
【解析】解：对：由于，所以，故是钝角三角形，故A正确；
对：取的中点，连接，并延长至，使，则四边形为平行四边形，
因为是的三边中线的交点，即有，所以，故B正确；
对：若若，则与不一定相等，故C错误；
对于：点、、满足共线，则，由于，，三点满足，则，，三点共线，故D正确．
故选：．
对：由，可得为钝角，即可判断；
对：取中点，由重心的性质得，即可判断；
对：，即可进行判断；
对：根据平面向量基本定理即可判断．
本题考查命题的真假的判断，向量的基本运算法则的应用，三角形的性质的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为对任意，，，且，
所以，所以，
令，则，故A正确．
令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确．
令，则，结合选项，
可得，所以有，则为奇函数．
又，所以，
所以，所以，
所以，所以的周期为，
所以，故B错误．
令，则，，故D错误．
故选：．
通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，以及利用这些性质进行数列求和逐步推导函数的各项性质，进而判断选项的正确性．
本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
则，
因为，
所以，
所以点为椭圆的下顶点，
即，
由余弦定理得，
所以，
解得，
所以，
则椭圆方程为，
所以，，
因为，
所以点的坐标为．
故答案为：．
由题意，根据椭圆的定义得到点，利用余弦定理以及，，之间的关系求出椭圆的方程以及，两点的坐标，结合，即可求出点的坐标．
本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
13.【答案】；
【解析】解：，，
；
，
．
故答案为：，．
根据平面向量的坐标运算，结合数量积的概念，求出向量的模长．
本题考查了平面向量的坐标运算以及利用平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：因为与平面相交，所以与不可能平行，故不正确；
当与，与重合时，即为，连接，，
易知，，，，所以面，
所以，即成立，故正确；
四边形的面积为矩形的一半，点到面的距离为定值，故正确；
因为，所以与所成的角即为与所成的角，
若直线与直线所成的角为，则，
而最长为，且，不存在与所成的角为，故不正确．
易知，又平面，平面，所以平面，
因为，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又因为，所以平面平面，故正确．
故答案为：．
根据与平面相交，即可得出与不可能平行；
当与，与重合时，有；
根据题意得出四棱锥的底面积和高都为定值，从而四棱柱的体积为定值；
根据题意分析出与所成的角即为与所成的角，从而即可求出角的最大值；
根据，，即可得出平面平面F.
本题主要考查锥体体积的计算，异面直线所成的角，面面平行的判定，空间直线的平行关系等知识，属于中等题．
15.【答案】不是“导可控函数”，说明见解析；
个，理由见解析；
证明见解析．
【解析】解：若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”．
，则，
当时，，
故不是“导可控函数”．
依题意，，
所以，在上为减函数，所以至多一个零点；
，
当时，，
当时，，
所以存在零点，
综上存在个零点；
因为，由导数的定义得 ，
即，
不妨设，
若，则，
若，
则
，命题得证．
对函数求导，依条件判断即可；
利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数；
利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证．
本题主要考查以新定义为载体，主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的应用，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ平面直角坐标系中，点为原点，，，．
，
．
，，
，
，
解得实数．
，，三点共线，
，，
，
，
实数．
【解析】Ⅰ由平面直角坐标系中，点为原点，，，，能求出的坐标及；
先求出，，由，能求出实数．
求出，，由，能求出实数．
本题考查向量的坐标、向量的模、实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17.【答案】证明：由题意：四棱锥的底面为平行四边形，
点，，分别是，，的中点，
是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
由，知，
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，，
平面，平面，，
平面平面．
【解析】推导出四棱锥的底面为平行四边形，，由此能证明平面．
推导出，，由此能证明平面平面．
本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】证明：在中，由余弦定理得：，
所以，
，，
所以；
因为，为三角形的内角，且，所以；
解：因为，，所以点在上．
由知，设，
在中，由余弦定理知：
，化简得：解得或．
当时，，；
当时，，．
综合上述，或．
【解析】首先根据余弦定理得到，从而得到，即可得到答案．
首先，再利用余弦定理得到或，即可得到答案．
本题主要考查三角形的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据已知条件设：，，则：；
，；
，，；
；
设，，，直线的斜率为，则：；
由得：；


；
不与轴垂直，；
；
同理
；
将带入上式得：．
【解析】根据已知条件可设这几个点的坐标：，，，根据是的中点，即可用，分别表示，，根据的长为，即可建立关于，的方程；
设，，，设出直线的方程，联立轨迹的方程消去，便得到关于的方程，由韦达定理便可求出：，，而由，可用表示，由，可用表示，这时候就可以求．
考查轨迹方程，及轨迹方程的求法，中点坐标公式，两点间距离公式，韦达定理，向量的坐标．
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卡） 16.
姓名： 班级：
考场/座位号：
贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 （正面朝上，切勿贴出虚线方框）
留痕迹。
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答
无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记
4．在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
客观题
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
填空题
17.
12.
13.
14.
解答题
15.
第1页 共4页 第2页 共4页
18.
请勿在此区域作答或
者做任何标记
19.
第3页 共4页 第4页 共4页

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