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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的求面积问题 强化练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（ ）
A．96 B．84 C．66 D．48
6．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
8．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，．
（1）线段和的数量关系为__________；
（2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________．
10．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________．
11．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______．
12．将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______．
13．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________．
14．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________．
15．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______．
16．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________．
三、解答题
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
18．如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，=，求△的面积．
19．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，分别为、的中点，延长点，，连接，若，且，，求四边形的面积．
20．如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形；
(3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______．
21．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
(3)连接，若，，则四边形的周长___________．
22．如图，在中，．是边上的中线，是的中点．连接并延长到点，使．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求证：四边形是菱形．
(3)若，求菱形的面积．
23．如图，已知在中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，菱形的面积为40，求的长．
24．如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)试探究四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求四边形的面积．
25．已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为．
(1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积；
(2)如图②，若，求的周长．
26．如图，在边长为8的正方形中，点E、G分别在边、上，且，，作、，与交于点O，分别在、上截取，，连结、交于点I．
(1)四边形的面积 四边形的面积（填＞、＝，或＜）；
(2)比较与大小，并说明理由．
(3)求四边形的面积．
27．如图1，四边形是边长为10的正方形，是线段上的任意一点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当点是的中点时，求线段的长度；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并取的中点，连接、，求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C D D D B
1．B
【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴平行四边形是矩形，
∴四边形的面积为
故选：B．
2．C
【分析】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上，
此时，通过比较可得答案．
【详解】解：设点到的距离为，
∵的面积始终等于长方形面积的，，，
∴，，，，
∴，
∴，点到的距离为，
若点在长方形内，
如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，
在中，；
若点在长方形外，则点在的延长线上，
∴，
∴，
此时；
∵，
∴最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，

根据题意得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
即重叠部分图形的面积是．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
又∵，，
∴，
∴，
，
同理可知：，
∴阴影部分是矩形，
在中，由勾股定理得，
由面积公式得，即，
得，
同理可得：，
在中，由勾股定理得，
则，
同理可得：，
∴阴影部分是正方形，
图中阴影部分的面积与正方形的面积之比．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.
先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答．
【详解】解：过点E分别作，，如图所示：
∵四边形是正方形，正方形的边长为8，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵的两直角边分别交于点M，N，
∴
∴
∵，，
∴
∴
则重叠部分四边形的面积为，
∴，
即重叠部分四边形的面积为，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键．
根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，，，，
，
四边形是菱形，
，
，即，
四边形是正方形，
，，
∴设，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴四边形的面积是．
故选：B．
9． 12
【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．
（1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解；
（2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解．
【详解】解∶（1）∵，是的中点，
∴，
∴．
故答案为：
（2）如图，过点M作于点N，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积是．
故答案为：12
10．
【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积．
【详解】解：∵是的垂直的平分线，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形的面积为：．
故答案为：．
11．当时，四边形的面积总是矩形的面积一半
【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，，，
，，，，
，，
，
，
当时，四边形的面积总是矩形的面积一半，
故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半．
12．
【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积．
【详解】解：如图：
由题意得：，，
由折叠得：，
四边形是菱形，
．
13．
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积．
【详解】解：、、、分别是边、、、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键．
根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
，，
四边形的面积．
故答案为：600．
15．25
【分析】本题考查正方形的判定与性质．
根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积．
【详解】解：∵四边形为正方形，
，， ， ，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，，
∴四边形为正方形，
．
故答案为：25
16．1
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答．
【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
则，
故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积，
∴，
那么两个正方形重叠的部分的面积等于，
故答案为：．
17．(1)详见解析；
(2)75°；
(3)．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴，
∴矩形OEC的面积．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）证明：，
，
∵，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：在中，，
，
由（1）已证：四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
19．24
【分析】证明△ABO是等腰三角形，结合M是AO的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC也是等腰三角形，N是OC中点，得到∠DNO=90°，得到EM//DN，再证明得到，进而得到EM=DN，得出四边形EMND为矩形，进而求出面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即与为等腰三角形，
又∵、分别为底边、的中点，
∴，
即．
在与中：
∴
∴
又∵
∴
∴四边形为平行四边形，
又由可知为直角，
∴四边形为矩形，
∵，
∴
∴
又由、、分别为、、的中点
∴
即
∴，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，因为，所以，即可根据“”证明；
（2）由，E、F分别为边的中点，得，推导出，则四边形是平行四边形，由矩形的性质得，则，即可证明四边形是菱形；
（3）由交的延长线于点G，得，则四边形是平行四边形，所以，则，由菱形的性质推导出，则，可证明，而，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，E、F分别为边的中点，
∴，，
∴，
在和中，，
∴；
（2）证明：∵，E、F分别为边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）解：∵交的延长线于点G，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，推导出是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)24
(3)16
【分析】（1）由题意易证，即得出，即证明平行四边形是菱形．
（2）连接交于O，利用勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．
（2）由菱形的性质可知，即证明，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，即求出，最后利用含角的直角三角形的性质即可求出的长，进而可得的长，即求出菱形的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，
，，，
，，
∴，
，
；
（3）解：连接，
由（1）可知，平行四边形是菱形，
，，
，
，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∴四边形的周长，
故答案为：16．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)菱形的面积为24．
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得四边形是平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解；
（3）通过四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：F是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：，是中线，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
是直角中线，
，
，
，，
四边形是菱形，
∴菱形的面积为．
23．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质可得，对顶角相等得到，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵D是的中点，
∴
，
∴．
24．(1)见解析
(2)矩形，理由见解析
(3)18
【分析】（1）由可知，，进而可证；
（2）由，可得，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形；
（3）由且，可得，即，可证四边形是正方形，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的值，根据，求的值，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（3）解：∵且，
∴，即，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为18．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据正方形性质得出，，，求出，得证，得出四边形的面积等于的面积，根据正方形的面积求出即可；
（2）延长到Q，使，连接，得证，求出，，求出，得证，推出，根据三角形的周长得出的周长等于，代入求出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴
故四边形的面积是．
（2）解：延长到Q，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴的周长是：．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．
26．(1)
(2)，理由见解析
(3)3
【分析】（1）根据正方形的性质以及、，可知四边形和四边形是矩形，正方形的边长为8，，，则，，计算面积即可比较；
（2）证明即可；
（3）连接，过I作于点H，容易证明的面积等于面积的2倍，故阴影的面积等于的面积的一半．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，，
∵、，
∴四边形和四边形是矩形，
∵，，正方形的边长为8，
∴，，
∴四边形和四边形是正方形，
∴，
故答案为：＝；
（2），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）如图，连接，过I作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，属于四边形的综合题，有一定难度，解题的关键熟记正方形的性质并灵活运用．
27．(1)证明见解析
(2)2
(3)5
【分析】（1）利用同角的余角判断出∠BAF＝∠ADE，进而判断出△ABF≌△DAE，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出AG，再用三角形的面积求出BF，进而利用勾股定理，求出AF，最后借助（1）的结论，即可求出答案；
（3）连接BE，DF，利用面积的和差得出S△OEF＝（S△DEF S△BEF），最后用面积公式求解，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
∴∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝10，
∵点G是BC的中点，
∴BG＝BC＝5，
根据勾股定理得，，
∴S△ABG＝AB BG＝AG BF，
∴BF＝，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，，
由（1）知，AF＝BF＋EF，
∴EF＝AF BF＝4 2＝2；
（3）如图3，
由（2）知，BF＝EF＝2，AF＝4，
由（1）知，△ABF≌△DAE，
∴DE＝AF＝4，
连接BE，DF，
∵点O是BD的中点，
∴S△BOE＝S△BDE，S△BOF＝S△BDF，
∴S△OEF＝S四边形BEOF S△BEF
＝S△BOE＋S△BOF S△BEF
＝S△BDE＋S△BDF S△BEF
＝（S△BDE＋S△BDF） S△BEF
＝S四边形BEDF S△BEF
＝（S△BEF＋S△DEF） S△BEF
＝（S△DEF S△BEF）
＝（DE EF BF EF）
＝EF（DE BF）
＝×2×（4 2）
＝5．
即△OEF的面积为5．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，得出S△OEF＝（S△DEF S△BEF）是解（3）的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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