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山东商河弘德中学2025-2026学年高二下学期开学考试测试卷数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．1
3．若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．3或1 B．3 C．2 D．1
5．已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数，则满足的的取值范围为
A． B．
C． D．
8．设函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
10．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．0是函数的零点
B．函数仅有一个极小值
C．若，且，则
D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
11．已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知学生会中有人，若没有人同时担任两种职务，那么从这人中选出名主席、名副主席的选法共有______种．
13．已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________.
14．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有且仅有一个零点，求的值.
16．1.已知函数.
(1)若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若恒成立，求的取值范围.
②若仅有两个零点，求的取值范围.
17．已知函数，．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间内有零点，求实数a的取值范围．
18．已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点．
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：．
19．已知函数，若方程有三个不同的实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若，求实数的值；
(3)证明：.
参考答案
1．B
【详解】易知，
将代入可得，解得.
故选：B.
2．A
【详解】因为，则，可得，
即曲线在处的切线斜率，
且直线的斜率，
由题意得，解得.
故选：A.
3．C
【详解】由可得，
构造函数，其在上单调递增，
∴，
∴，即，
令，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
∴，
故选：C
4．B
【详解】因为函数，定义域为R，
所以，
又因为在处取得极大值，所以，所以或，
若，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以在处取得极小值，不符合题意，所以；
若，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以在处取得极大值，符合题意.
综上，.
5．B
【详解】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
6．D
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
7．B
【详解】解：函数，定义域为，
且满足 ，
∴为上的奇函数；
又恒成立，
∴为上的单调增函数；
又，
得，
∴，
即，
解得或，
所以的取值范围是．
故选B．
8．C
【详解】因为函数为奇函数，
所以，故；
所以，
因此,
所以，
因此曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选C
9．AD
【详解】，，
当时，，故在上单调递减；
当或时，，故在上单调递增，
函数在处取得极小值，在处取得极大值．
令，解得或，
函数在上存在最小值，且为开区间，
，解得．
故选：AD.
10．AC
【详解】对于选项A，，所以A正确.
对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减；
当时，单调递增，所以当时，，
当时，，当时，单调递减；当时，单调递增；
图象如图：
所以，函数的极小值为和，选项B错误；
对于选项C，设，求导得，所以在上单调递增，
所以，
若，则，
因为，在上单调递增，所以，即，选项C正确.
对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根
关于的方程有两个不相等的实数根
关于的方程有一个非零的实数根
函数与图象有一个公共点，且，
由图象易知，或，或，
从而的取值集合为，D错误.
故选：AC.
11．ACD
【详解】对于A，令，则，
故时，，单调递增；
时，，单调递减，
所以，且时，
因为直线与曲线相交于两点，
所以与图象有2个交点，如图：
所以，故A正确；
对于B，，不妨设，可得，
在点处的切线程分别为，
则得，
即，
因为，所以，即是变化的，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，即
，所以，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
得，即，
因为①，所以，
所以，故D正确.
其中不等式①的证明如下：不妨令，
由得，即，令，
则即证，
构造函数，，
所以在上单调递减，所以，
所以不等式成立，即①成立.
故选：ACD
12．
【详解】本题相当于从10个不同元素中选出2个不同元素进行排列，所以共有种选法.
13．和
【详解】，设切点为，则切线方程为，
由该直线过点，则，整理得，
即为，解得或，
则切线方程为与，
即为与.
14．
【详解】，
令，
时，时，
所以在单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上单调，
所以或，解得或.
故答案为：.
15．(1)
(2)9
【详解】（1）当时，，，
得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）方法一：，，
，
令，，得，
故在内单调递增，又，
则当，，得，单调递减，
当，，得，单调递增，
从而在处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为.
又当且时，，当时，，
由函数有且仅有一个零点，可得，
则a的值为9.
方法二：，，
令得，
令，，
则，
令，，得，
故在内单调递增，又，
则当，，得，单调递减，
当，，得，单调递增，
从而在处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为.
又当且时，，当时，，
由函数有且仅有一个零点，可得，
则的值为9.
16．(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)选择①时，；选择②时，
【详解】（1）定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）①选择若恒成立，
若恒成立，即，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以
所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：
故当时，恒成立.
②选择若仅有两个零点，
即有两个根，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以=
所以只需有两个根，令，.
，当时，，当时，，故在处取得极大值，，
要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为
17．(1)极小值为，无极大值
(2)
【详解】（1）由函数，则，．
当时，令得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
（2）方法一：由，，
①当时，，即恒成立，
所以在上单调递减，
要使在内有零点，则，即，
所以．
②当时，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，所以需，
所以．
③当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，
此时，所以恒成立，不符合条件．
综上可知，a的取值范围为．
方法二：令得，
设，，则，
令，得，
在上递增，在上递减，
且，，，
所以．
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）当时，函数定义域为，则，
令，则在上恒成立，则在上单调递增，
则，即在上恒成立，在上单调递增，
而，，
所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．
（2）当时，等价于，
令，求导得，令，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，于是当时，，单调递增，
当时，，单调递减，因此，
所以a的取值范围为．
（3）由（2）可知，当时，有，则，
因此，
所以．
19．(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1），
令得或，令得，
故在内单调递增，在内单调递减，内单调递增，
的极大值为的极小值为，且时，，
方程有三个不同的根，所以；
（2）设，则，
故的对称中心为，恰好是点和点所连线段的中点.
对，都有，
由可得，，解得，需要满足.
下证时，恒成立，即证.
即证，即，
即证，
设，令得，令得，
在上单调递减，在上单调递增，
，从而成立，
所以当且仅当时，恒成立；
（3）由（1）知.先证，即证明：，
由于在内单调递增，即证，又，
即证，
设，
，
设，，
在区间内存在零点，设为在区间上单调递减，
在区间上单调递增，，.
所以在上存在零点，在，
在所以在上单调递减，在上单调递增，
，
所以时，，即有对恒成立.
成立．
下证，由题意知，又，
故，解得，
所以成立．

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