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山东济南市商河弘德中学2025-2026学年高二下学期阶段性教学质量检测（第一次）数学试题
一、单选题
1．若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
2．已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．从6名女生中选4人参加米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为
A．144 B．192 C．228 D．264
4．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在上的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．函数的零点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．函数存在唯一零点
B．若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是
C．存在唯一，使得
D．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
11．已知三次函数，，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，的单调递增区间为
C．当，时，存在实数使得点是曲线的对称中心
D．当时，恒成立，则的取值范围为
三、填空题
12．已知集合S={﹣1,0,1}，P={1,2,3,4}，从集合S，P中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有_____个．
13．十二生肖鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着一种生肖现有十二生肖的吉祥物各个，从中选出含牛的吉祥物在内的个吉祥物分给甲乙丙个人，每人至少分得个吉祥物，则不同的分法种数为__________．
14．已知函数的定义域为R，且，则不等式的解集为_________．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)画出函数的大致图像．
16．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对所有都有，求实数的取值范围；
17．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.
(1)求函数的极值；
(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
18．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：．
19．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
参考答案
1．B
【详解】，
因为，，所以，
故选：B．
2．B
【详解】易知，
将代入可得，解得.
故选：B.
3．D
【详解】当甲乙两人都入选时，再在4人中选2人，有种选法，
将这两人排定再将甲乙插空有种可能，因此共有种可能；
当甲乙两人只有一人当选时，从剩余的4个人中选3人进行排列，
因此共有种可能.
综上所述，共有种排法种数.
4．A
【详解】解：的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
若函数在区间上单调递减，
则且且，解得：，
故选：．
5．D
【详解】解：令，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也就是最大值，，所以恒成立，又当时，所以，所以恒成立，即的解集是
故选：D
6．D
【详解】由题意，，
∴当，x在和上，即单调增；
当，x在上，即单调减；
∴有极大值，有极小值，而端点值，，则，
∴在上的最大值为.
故选：D.
7．B
【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.
8．B
【详解】若在上恒成立，即在上恒成立，
令，故只需即可，
，令，得，
当时，；当时，，
所以在上是单调递增，在上是单调递减，
所以当，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
9．ABC
【详解】因为函数为三次函数，可设，，
由图可知：，，
即，即，
则，则，
由图可得，则，
即，，
由图可得当时，，则，
对A：，，由，故，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，由，
故，解得，故C正确；
对D：，则，
则，则，
即有，则，
故，故D错误.
10．ACD
【详解】对于选项A：由题易得，则在上单调递增，
且当时，，且当时，，
由零点存在定理，在上有且仅有1个零点，故A选项正确；
对于选项B：由题得，令，则，
故在上， ，单调递减，在上，，单调递增，
故在处取极小值，即最小值，
且易得当时，，
则有若在上有唯一解，则或，故B选项错误；
对于选项C：设，，
则，
故，则，令，，
故在上， ，单调递减，
则在上，，单调递增，故在处取极小值即最小值，
则有在上有且仅有1个零点，由选项A易得在上单调递增，
故有且仅有1个解使，即 有且仅有1个零点，故C选项正确；
对于选项D：若有在R上恒成立，讨论的范围后参变分离：
①若，则有，显然成立
②若，则有，令，则，
令，或（舍），易得当时，在处取极小值即最小值，因此；
③若，则有，
令，则，
令，（舍）或，
易得当时，在处取极大值即最大值，因此；
综上，的取值范围是
故选项D正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】对于选项A，当时，，
根据导数的定义，
又，代入得，故A正确；
对于选项B，当时，．
令，解得或，即单调递增区间为和，
而是单调递减区间，故B错误；
对于选项C，当，时，，若点是曲线的对称中心，则，即恒成立，
所以，解得，即存在实数满足条件，故C正确；
对于选项D，当时，，需对恒成立，
即对恒成立，
设，求导得．
令得，即．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．故的最大值为，
因此，即的取值范围为，故D正确．
12．23
【详解】由题意知：首先从S集合中选出一个数字共有3种选法，再从P集合中选出一个数字共有4种结果，
取出的两个数字可作为横坐标，也可作为纵坐标，将它们全排列，则共有，
其中(1,1)重复了一次．去掉重复的数字有种结果.
故答案为：23
13．
【详解】根据题意，分三步进行，
第一步：从个吉祥物中选出含牛吉祥物在内的个吉祥物，有种选法；
第二步：将个吉祥物分成三组，若分为，，的三组，有种分组方法，
若分为，，的三组，有种分组方法，则共有种分组方法
第三步：将分好的三组分配给甲、乙、丙人，有种情况，
则共有种分法．
14．
【详解】令，则，故在R上单调递增，
由，即，等价于，
故，所以，不等式解集为.
故答案为：
15．(1)极小值为，无极大值．
(2)图像见解析
【详解】（1），函数定义域为R，
，
，解得；，解得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，无极大值．
（2）当时，﹔，，，结合函数单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示︰
16．(1)
(2)
【详解】（1）的定义域是，，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝＝．
（2）∵，当时，恒成立，
等价于在时恒成立，
等价于在时恒成立，
令，，则即可；
∵，∴当时，恒成立，
∴在上单调递增，∴，
∴，即实数的取值范围为．
17．(1)极大值是，极小值是；
(2)
【详解】（1），由导数的几何意义可知，，
且，得，
所以，，得或，
，得或，，得，
所以的增区间是和，减区间是，
所以的极大值是，极小值是；
（2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间的最大值为，，
若存在，使得不等式成立，则，
所以.
18．(1)当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；，；
综上，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
所以，
要证，需证．
即需证恒成立，
令，
则
所以函数在区间单调递增，
故，
所以，恒成立，
所以当时，．
19．(1)
(2)在和上单调递增，在上单调递减；极大值为，极小值为
【详解】（1）由，有，
则，，
故切点坐标为，切线斜率为12，
切线方程为，即；
（2）令，解得x=0或x=1，
故当时，，当时，，当时，
故函数在和上单调递增，在上单调递减；
故函数的极大值为，极小值为.

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