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二次函数的实际应用 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
1．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
2．某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件．
(1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
(2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围．
3．项目化研究：
项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算
项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度．
数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为．
数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：．
数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为．
探究问题：
(1)桥塔的高度 ；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)若此时测得
①求水平塔架的长度；
②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值．
4．如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值．
(3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据：
5．隧道的开通，大大缩短了行车距离，节约了土地资源．截至2025年初，我国的隧道超45000座，这些隧道首尾相连的总长度足以绕地球一圈，展示了我国在隧道建设方面无与伦比的技术实力和恢弘的规模，其中郑万高铁上的香树湾隧道入口处初步设计为抛物线的形状，洞口底部宽，洞顶最高处高度为．如图所示，以洞口底部为轴，过洞口顶部的竖直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在实地勘探后，因现场施工有难度，有人提议将隧道洞口在原计划位置处向左平移，再向下平移，仍保持原抛物线形状不变，洞底仍在轴上．
①请先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点，画出轴上方抛物线的图象，并求平移后的抛物线解析式；
②我国铁轨标准宽度为，双向铁轨之间的安全距离不得少于，郑万高铁设计为双向轨道，通车后车型为型动车组，车高约为，则平移后的隧道是否符合安全标准？
6．如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决：
(1)如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式；
(2)在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称．
①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ；
②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内 请说明理由．
7．某生物兴趣小组研究温度对酶活性的影响，实验发现：温度为时，酶活性为（酶活性用0到1之间的数值表示，1为最高活性）；当温度在及以下或者及以上时，酶丧失活性（即酶活性为0）．已知酶活性与所处温度在活性范围内呈二次函数关系，设温度为，酶活性为．
(1)求酶活性关于温度的函数解析式；
(2)根据函数性质回答：
①酶活性最高时的温度是多少？最高活性是多少？
②若要求酶活性不低于时，温度应控制在什么范围内 （结果保留根号）
8．通过对物理知识的学习，我们知道发射器从地面竖直向上发射的小球的高度（单位：m）满足关系式，其中（单位：s）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的速度．
(1)若，则小球从发射到落回地面需要____________s．
(2)在（1）的条件下，小球被竖直向上射出后，若先后两次经过离发射点竖直高度为5.8米处，求这两次间隔的时间差．
(3)小丽说：“当时，小球的最大高度是．”你认为她的说法正确吗？请通过计算说明你的理由．
9．科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．
两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：
(1)对于方案1，设．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求的最大值；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
10．小明在距离球门10米的点处射门，球沿抛物线轨迹运动．球在飞行6米时达到最高点，高度为3米．以球门底部点为原点，建立平面直角坐标系，球门高度为米，防守球员能拦截的最大高度为米．球的运动轨迹可用抛物线来描述．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在无人防守的情况下，球能否射进球门，请说明理由；
(3)当球飞过最高点后，防守球员才开始拦截．问防守球员站在离球门最大多远的距离，可有效拦截射来的足球，请直接写出你的答案．
11．大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点．
(1)解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式；
(2)已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险．
12．某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例．
(1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由；
(2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据．
表三
3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50
的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00
当有风且风力不超过3级时，
①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由；
②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，）
13．学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角．
(1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式；
(2)求平屋面的长；（结果精确到）
(3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到）
（参考数值：，，，）
14．如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处，如图3．延长交于点，求的长．
参考答案
1．(1)
(2)能，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题．
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可；
（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可；
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，即
（2）解：能，理由如下：
当时，，
当时，，
解得（舍去），，
∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处，
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子；
2．(1)50件
(2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元
(3)或
【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键．
（1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解；
（2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可；
（3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解．
【详解】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，
由题意得：，
解得：；
答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
（2）解：当时，，
当时，y有最大值，最大值为；
当时，，
即；
由于，当时，y有最大值12250；
当时，，
当时，y有最大值，最大值为；
综上，当时，y有最大值12250；
答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元；
（3）解：当时，最大值为6000，不符合题意；
当时，由题意知；
考虑二次函数，当时，解得，
由二次函数的图象与性质，当时，；
当时，，
解得：，
由于x为正整数，且不超过60件，则；
综上，或．
3．(1)
(2)抛物线的函数表达式
(3)①；②
【分析】本题平行投影的应用，二次函数的实际应用；
（1）根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求解即可；
（2）先求出，，再设抛物线的函数表达式，代入，，计算即可；
（3）①根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求出，再令时，求出，，得到；
②由题意可得“弓形”的面积为，四边形的面积为，代入计算求值，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点，
∴，，
设抛物线的函数表达式，代入，，可得，
解得，
∴抛物线的函数表达式；
（3）解：①由题意可得，
∵，
∴，
当时，解得，
∴，，
∴；
②由题意可得“弓形”的面积为，
四边形的面积为，
∴．
4．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的图象一性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出悬挂灯笼的两个端点的距离大约是，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼．
根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需撑杆长度和的最大值为；
因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼．
【详解】（1）解：，，
抛物线顶点的坐标是，
为的中点，，
点的坐标是，
设抛物线的解析式为，
则有，
解得：，
抛物线的函数表达式是；
（2）解：设点的坐标是，
则，，
则撑杆的长度和是，
整理得：，
当时，所需撑杆长度和的最大值为；
（3）解：当时，可得：，
整理得：，
，，
最多可以悬挂灯笼的数量是个．
5．(1)抛物线的解析式为
(2)①平移后的抛物线的解析式为；②平移后的隧道符合安全标准；
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用；
（1）由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入即可；
（2）①先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点和，再进一步求解解析式即可；②把代入中，可得，，进一步求解，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：∵洞顶最高处高度为，
∴抛物线的顶点为．
设抛物线解析式为，
∵洞口底部宽，
∴经过点，
即，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①如图所示：
对称轴为直线，顶点坐标为，描出两个格点和，
画出平移后的抛物线解析式．
∵抛物线的顶点为，且抛物线形状不变，
因此平移后的抛物线的解析式为；
②把代入中，得，
解得：，，
则，
∵米，
∴平移后的隧道符合安全标准．
6．(1)
(2)①，；②在安全距离内，理由见解析
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）①由中心对称的性质求出抛物线的顶点坐标，即得腾空飞出后的最大高度，再利用待定系数法求出抛物线所对应的二次函数函数表达式即可；②求出的坐标，可得的长，再求出的长，进而即可判断；
本题考查了二次函数的实际应用，中心对称的性质，正确求出二次函数解析是解题的关键．
【详解】（1）由题意得，，，
∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴腾空飞出后的最大高度为，
设抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：，；
②在安全距离内，理由如下：
把代入，得，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴人飞出后落地点在安全距离内．
7．(1)
(2)①酶活性最高时的温度是，最高活性是；②
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意知，，，在该二次函数图象上，因此可设该二次函数的解析式为，将代入解得值即可得到答案；
（2）①将（1）中解析式化成顶点式，可知该函数图象开口向下，顶点坐标为，即可得到答案；
②解出当时，的值，根据该函数图象开口向下，可推出当时，的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，，，在该二次函数图象上，
设该二次函数的解析式为，
将代入，
得，
解得，
该二次函数的解析式为．
（2）解：①，
，
该函数图象开口向下，顶点坐标为，
酶活性最高时的温度是，最高活性是，
②酶活性不低于，
，
当时，，
解得，，
该函数图象开口向下，
当时，，
温度的范围为．
8．(1)6
(2)5.6秒
(3)不正确，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，因式分解法求一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，把代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，把代入，得，即可作答．
（3）把代入，得最大高度是，不可能是，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
当时，则，
解得，
故小球从发射到落回地面需要．
故答案为：6
（2）解：∵，
当时，，
∴，
∴，
解得，
则两次间隔的时间差为．
（3）解：不正确．
理由如下：
∵，
当时，，
∵，
∴开口方向向下，在时，则，且为最大高度，
即当时，小球的最大高度是，不可能是．
9．(1)①，②3600
(2)选择两种方案均可，理由见解析
【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积．
（1）①根据矩形的性质表示即可；
②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可．
【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
②由题意得，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3600；
（2）解：两种方案任选其一即可，理由如下：
设方案2中的，
∵，
∴，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∴，即
，
∵，
∴当时，y 有最大值，最大值为3600．
∵，
∴两种方案养殖区总面积最大值相等，
∴选择两种方案均可．
10．(1)
(2)球能射进球门，理由见解析
(3)1米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可求出顶点坐标为，再把解析式设为顶点式，再把代入解析式中计算求解即可；
（2）求出当自变量为0时的函数值即可得到答案；
（3）求出函数值为时的自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为，即，
设抛物线的表达式为，
把代入到中得：，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：球能射进球门，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴球能射进球门；
（3）解：在中，当时，
解得或，
，
答：防守球员站在离球门最大1米的距离，可有效拦截射来的足球．
11．(1)意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米；
(2)试驾者有安全风险，计算说明见解析
【分析】此题考查了二次函数的应用，
（1）根据题意得到点P的意义，然后设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）首先将代入求出，然后代入求解比较即可．
【详解】（1）解：意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米；
∵点是抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为．
将原点坐标代入可得，
∴；
（2）解：当时，，
解得：，
把代入得：，
∵，
答：试驾者有安全风险．
12．(1)不同意；理由见解析
(2)①不可能达到；理由见解析 ②不会穿进；理由见解析
【分析】（1）首先求出，然后得到，，由求出，然后在中，解直角三角形求出，然后得到，求出，得到，进而求解即可；
（2）①首先求出，然后求出当有风且风力不超过3级时，，然后由，求出，进而判断求解即可；
②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线形喷泉的解析式为，然后得出，，当时，，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题可知，．
过点作于，交地面水平线于点，则，．
所以．
所以．
因为喷泉为抛物线形状，
所以点，关于直线成轴对称．
所以．
过点作，交的延长线于点，
则．
因为，
所以．
在中，，
所以，即．
因为此时该喷泉正好达到最佳观赏比例，
所以，即．
所以．
解得．
所以．
考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形，
所以该喷泉的水泵的压水扬程应大于，故不同意小桐的推断．
（2）①根据表三，当有风且风力不超过3级时，长度随着喷泉的最大高度的增大大致呈现出均匀增大的规律．
设．
把，代入可得，
解得
所以．
由（1）可知，无风时．
由题可知，当有风且风力不超过3级时，，即．
若喷泉达到最佳观赏比例，则，即．
又因为，可得．
解得，不符合的条件．
所以，有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例；
②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为．
过点作于，交轴于点，则，顶点的坐标为．
设该抛物线的解析式为：，
因为，，
所以．
所以．
把代入，得．
可得，即．
若设该抛物线的解析式为，则，可得．
又因为抛物线经过，可得．
即抛物线形喷泉的解析式为．
由①可知，，而，
所以．
对于，
因为，在每个象限内，随的增大而增大．
所以．
因为当时，，
可得，即无论取何值，无人机飞行终点的位置（射线正上方且与点水平距离处）都在抛物线外．
对于该抛物线，因为，当时，随的增大而减小．
所以当时，都有．
也即，无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，不会穿进喷泉．
【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解直角三角形．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
13．(1)
(2)
(3)设计符合要求
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）令，得，解得，．即可求出答案；
（3）过点作于点．求出．得到．过点作，交延长线于点，交轴于点．求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，．
设抛物线的表达式为，
将，代入，得：
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）∵平屋面离底面的距离为，
∴令，得，
解得，．
∴．
∴平屋面的长为．
（3）如图，过点作于点．
在中，，，
，
．
在中，，，
．
∴．
如图，过点作，交延长线于点，交轴于点．
易得四边形为矩形，
在中，，
，
∴，
∵，
∴．
∴设计符合要求．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）延长，交于点，延长，交于点．由旋转的性质得，，求出，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴平移后的解析式为．
∴此时抛物线的对称轴为直线，，
∴的对称点为，平移后．
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴．
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，延长，交于点．
由题意得，，．
∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，求二次函数，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，求二次函数是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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