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二次函数的综合题（解答题） 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
1．如图1，边长为4的正方形放置在平面直角坐标系中，动点从点出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动，同时点从点出发．沿着折线以与点相同的速度运动，到达点时停止运动，连接．设点运动的时间为秒、的面积为．
(1)当的值为___________时，是以为斜边的等腰直角三角形．
(2)求与的函数解析式，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出所求函数的图象，结合函数图象，写出该函数的两条性质．
(3)当时，求的值．
2．已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧．
(1)求抛物线W经过的定点坐标；
(2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线．
①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）；
②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，边在第一象限，，抛物线恰好经过点与点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上一点，点在直线上．
①若为该抛物线的顶点，求证：点A，P，C三点共线；
②若，直接写出点的坐标．
4．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
(1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①；②；③
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值；
(3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系．
5．已知二次函数．
(1)当时，此函数图象的顶点坐标为________．
(2)若此函数图象经过点，求m的值．
(3)求证：此函数图象与直线必有两个不同的交点．
(4)设（3）中的交点为A，B，请判断：的长是否是一个定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线的顶点为，与轴交于点，．
(1)点的坐标为_____，（用含的代数式表示），点_____直线上（填“在”或“不在”）；
(2)将直线向上平移4个单位长度得到直线，若直线经过点，求直线的解析式；
(3)将直线向下平移得到直线，直线交轴于点．交抛物线的对称轴于点，且点的纵坐标为．
①若四边形为菱形，求的值；
②若直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，求点的坐标．
7．已知抛物线的顶点为D．
(1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点．
(1)若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴．
(2)点为轴上一点，，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，若，求点的纵坐标的取值范围．
9．如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标．
10．如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为．
(1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象；
(3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围．
11．已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 5 …
… 0 0 3 8 …
(1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______；
求抛物线的解析式及的值．
(2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线．
抛物线的解析式为______；
记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若是抛物线上的“雁点”，求的面积．
(3)若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标．
13．已知二次函数．
(1)求证：该二次函数的图象与轴始终有两个交点；
(2)若该二次函数图象的顶点坐标为．
①当取不同值时，发现点均在一个函数图象上，求这个函数图象的解析式；
②若①中函数图象上的点在直线的上方，写出点的横坐标的取值范围，并求点到直线的最大距离．
14．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．

(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标；
(2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______；
②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
参考答案
1．(1)2
(2)与的函数解析式为；函数图象见解析；该函数的性质见解析
(3)或
【分析】本题考查了函数解析式的建立，画函数图象，二次函数的图象与性质等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）可得当时，是以为斜边的等腰直角三角形，用的代数式表示这些线段，即可建立方程求解；
（2）分两种情况讨论，用的代数式表示底和高，即可求解函数关系式，再用描点作图即可画出函数图象，然后根据图象即可得出有关增减性和函数最值的性质；
（3）把代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：如图：
∵，
∴当时，是以为斜边的等腰直角三角形
∴，
解得：；
∴当的值为2时，是以为斜边的等腰直角三角形；
（2）解：当时，如图：
，，
∴；
当时，如图：
，，
∴，
∴与的函数解析式为：，
函数图象如图：
该函数的性质：①当或时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小；②在自变量取值范围内，该函数有最大值，当时，y有最大值8；
（3）解：当时，由图可知，直线与函数图象有3个交点，
令，解得：；
令，解得：（舍去），
综上，当时，或．
2．(1)抛物线W经过的定点坐标为和
(2)①a；②
【分析】（1）将变形为，即可解答；
（2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，；当时，，
∴抛物线W经过的定点坐标为和．
（2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，
∴，
即抛物线的解析式为．
②由得抛物线W的顶点坐标为，
整理得，代入抛物线的解析式，得，
整理得，
解得．
∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧，
∴，即，
∴或
∴，则不合题意，舍去，
故a的值为．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．
3．(1)
(2)①见解析；②或
【分析】本题考查了求二次函数解析式，一次函数、菱形的性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是添加适当的辅助线来求解；
（1）利用菱形的性质，求出相应点的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）①过点作轴于点，得到线段间的关系，再利用勾股定理求参数，利用两点得出直线方程，再证明另一点也在直线上即可证明；
②作的垂直平分线交于点，交于点，利用锐角三角函数，先求出各自点的坐标，得出一次函数的解析式，联立二次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，
点的坐标为，
该抛物线的解析式为；
（2）解：①证明：如图1，过点作轴于点．
点在直线上，
，
设，则，
．
由勾股定理得，，即，
，即，
点的坐标为，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将点，点代入得，，解得，
直线的解析式为．
抛物线的解析式为，
点的坐标为．
当时，，
点在直线上，即点A，P，C三点共线；
②点的坐标为或．
解析：如图2，作的垂直平分线交于点，交于点．
由①可知，，
，点的坐标为，
由①可知，
，
，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
求得直线的解析式为．
联立，得，
整理得，解得或．
当时，．
当时，．
综上所述，点的坐标为或．
4．(1)①③
(2)；
(3)．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质．
（1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可；
（2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可；
（3）由（2）的结论，列式整理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同，
∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等；
故答案为：①③；
（2）解：设交轴于，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
设点坐标为，代入抛物线，
得，
∴，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等，
∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴，∴；
（3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
∵，
∴，
整理得．
5．(1)
(2)或2
(3)见解析
(4)是一个定值，
【分析】（1）把代入解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）把代入解析式，然后解关于m的解析式即可；
（3）令，求出根的判别式即可判断；
（4）先求出，，然后根据求解即可．
【详解】（1）把代入，得
，
∴此函数图象的顶点坐标为．
故答案为：；
（2）解：根据题意，得．
解得，，即m的值为或2．
（3）证明：令，化简得．
，
此函数图象与直线必有两个不同的交点．
（4）解：AB的长是一个定值．
根据题意，设点A，B的坐标分别为，，则，，
．
，为定值，
的长为定值，且．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与几何综合等知识，熟练掌握，二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
6．(1)，在
(2)
(3)①；②点的坐标为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入一次函数解析式，进行判断即可；
（2）令，求出点坐标，利用平移规则求出的解析式，将点坐标代入，求出直线的解析式．
（3）①求出的长，根据菱形的边长相等，列出方程进行求解即可；
②设直线的解析式为，令，根据抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，得到直线与抛物线有且只有一个交点，得到，得到，平移得到，进而得到，求出的值，进而求出的值，进一步求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，
．
∵当时，，
点在直线上．
故答案为：，在；
（2）解：令，
解得，，
点的坐标为，
由平移可得直线的解析式为．
将代入．
得，解得．
直线的解析式为；
（3）解：①点的纵坐标为，，
，
若四边形为菱形，则，
，
，
或0（舍去）；
②设直线的解析式为，
令，则．
抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小．
，
解得．
．
由平移可得，
，解得，
．
由，得，
解得，
点的横坐标为，
将代入，得，
点的坐标为．
7．(1)，
(2)①；②
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想．
（1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标；
（2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式；
②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，
当时，，代入抛物线得：，
，
∴抛物线的方程为：．
∴抛物线的对称轴方程为：，
把代入，得，
∴点坐标为．
（2）解：在（1）中抛物线的方程为：，
①当时函数的图象记为，
∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点，
将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称，
∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点，
∴图象的解析式为：．
②直线与图象有3个交点，分两种情况，
当直线与有2个交点且与有1个交点时，，
∴，
令，得，
结合图象可得：，
同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，，
∴，
令，得，
结合图象可得：．
∴．
8．(1)直线
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）由题意可得，由题意得到，求出或，进一步即可得到m的取值范围．
【详解】（1）解：把代入得到，
解得
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）当时，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴或
当时，，
即此时抛物线的最高点为，则，
当时，，
即此时抛物线的最高点为，则，
∴m的取值范围是
9．(1)抛物线的解析式为；
(2)的面积最大值是，此时点的横坐标为
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数与几何图形面积的计算是关键．
（1）根据题意，，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，，根据图示列式得到，结合二次函数最值的计算求解即可；如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，点在点右边与条件矛盾；由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∵点是中点，
∴，且，
∴，
设二次函数解析式为，把点代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在抛物线上选取一点，
如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值是为；
如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵，即点在点右边与条件矛盾；
综上所述，的面积最大值是，此时点的横坐标为．
10．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查二次函数的应用、函数的图象和性质等知识，准确求出函数解析式是关键．
（1）分和两种情况求出函数解析式即可；
（2）根据列表描点连线画出函数图象即可；
（3）求出时的自变量的值，根据图象写出答案即可．
【详解】（1）解：当时，如图，过点P作于点H，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
当时，如图，过点P作于点H，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）根据（1）中的解析式列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 0 0
描点连线如下，
（3）把代入得到，，
解得或（不合题意，舍去）
把代入得到，，
解得或（不合题意，舍去）
∴
由图象可知，当时，的取值范围．
11．(1)；；，；
(2)；．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴的求法即可求出对称轴，利用利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求点的坐标；
由可得出抛物线的解析式，把点代入即可求出；
（2）设的顶点为，的顶点为，由题意可知点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，利用中点坐标公式求出点的坐标，即可求解；
直线经过点，即直线为，当过点的直线与、有且仅有一个交点时，解得，当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，或，
对称轴为，
把，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：，；
由可知，抛物线的解析式为，
把代入，得：，
解得：；
（2）解：如图：设的顶点为，的顶点为，
当时，，
，
将抛物线绕点旋转后，得到抛物线，
点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，
，
，，
，
抛物线的解析式为；
直线经过点，
，即直线为，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，
故图象与过点的直线有且仅有一个交点时，的取值范围是．
12．(1)
(2)或或
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求解．
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，设，由为抛物线上的“雁点”，得或，求出点的坐标，再根据求解即可．
（3）分为①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，若，若，②当点在点右侧时，若，若，分别求解即可．
【详解】（1）解：抛物线过点和，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
．
设，由为抛物线上的“雁点”，
得或，
解得：，
点的坐标为或或或．
，
的值为或或．
（3）解：存在．
①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，如图所示．
已知，设，
若，则．
则，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时，
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解一元二次方程，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
13．(1)见解析
(2)①；②，
【分析】（1）根据题意，列出判别式，得出即可作答．
（2）①先整理原式，得次函数图象的顶点坐标为．再设故，则，即这个函数图象的解析式为．②先运算出函数的图象与直线的交点的横坐标为0，2．再证明是等腰直角三角形，过点作轴，交直线于点，过点作，整理得，结合，当时，的值最大为1，满足，最后在中，则，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵二次函数，
∴
该二次函数的图象与轴始终有两个交点；
（2）解：①∵二次函数，
∴对称轴为，
把代入，
得
∴二次函数图象的顶点坐标为．
设
．
．
这个函数图象的解析式为．
②∵①中函数图象上的点在直线的上方，
∴令，
整理得
解得．
函数的图象与直线的交点的横坐标为0，2．
记直线与轴，轴的交点坐标分别为点，
令时，则，
∴，
即，
令时，则，
即，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
抛物线的开口向下，
点的横坐标的取值范围为．
过点作轴，交直线于点，过点作，
设，
则
∵
当时，的值最大为1，满足，
∵轴，
∴，
∵，
∴在中，则，
∴
当最大时，就有最大值，
∵当时，的值最大为1，
∴．
点到该直线的最大距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形的相关性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14．(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为
(2)①，，，；②是，这条直线的解析式为
【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标；
（2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，；
②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式．
【详解】（1）解：抛物线为，
，
“衍生直线”的表达式为．
“衍生直线”与x轴交于点B，
点B的坐标为．
抛物线与x轴交于点，，
抛物线的表达式为．
令，解得或，
把代入，得，
点A的坐标为；
（2）解：①对于，令，则，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上，
∴，
∴．
同理可求出，…，．
故答案为：，，，；
②点，，…，在同一条直线上．
令，，
∴，
∴，
这条直线的表达式为．
【点睛】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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