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山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高一3月测试数学试题
一、单选题
1．如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是（ ）
A．( UB)∪A B．A∩( UB)
C．( UA)∩B D．A∩B
2．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．
5．已知集合，，若，则所有实数m组成的集合是（ ）
A． B．0， C． D．0，
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．关于的不等式解集是，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，集合的积集
B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个
C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个
D．存在4个正实数构成的集合，使其积集
二、多选题
9．已知集合，，若，则的值可以为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
10．已知实数，，，其中，以下叙述正确的是（ ）
A．若，那么. B．若，那么.
C．若，那么 D．若，那么
11．（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（ ）
A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则；
C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域．
三、填空题
12．已知对于实数，，满足，，则的最大值为______.
13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________．
14．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________
四、解答题
15．已知集合，集合.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知为实数，集合，集合．
(1)若，且满足，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
17．设集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求；（用表示）
(3)若，求实数的取值范围．
18．（1）若方程的两根分别为，求的值.
（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则
证明：因为一元二次方程的两个根为 ，所以二次三项式可以因式分解为
由于
从而等式恒成立.
根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等.
因此
类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系；
（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根 满足，求实数的值.
19．已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)证明：；
(3)已知数集具有性质，若，，求数集.
参考答案
1．B
【详解】阴影中的任意元素x满足x∈A但x B，故x∈A∩( UB)．
故选：B.
2．C
【详解】由，得，即，解得，
则，由，得，
所以.
3．A
【详解】“”的否定是，
故选：A
4．A
【详解】，或，
故.
故选：.
5．C
【详解】因为，所以，
若，则，此时满足条件；
若，则，
则或，
解得或，
综上，所有实数m组成的集合是．
故选：C．
6．D
【详解】若，则不妨取，，此时；若，则不妨取，，此时．故“”是“”的既不充分也不必要条件．
7．D
【详解】当时，，若，则显然对成立，所以满足，
若，则，显然解集不是，所以不满足；
当时，若要解集是，
则，解得，
综上可知：，
故选：D.
8．C
【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有，
即，故A错误；
对于B，设，不妨设，
因为，
所以中元素个数小于等于10个，
如设，则，
所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误；
对于C，因为，
所以中元素个数大于等于7个，
如设，
此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确；
对于D，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集，
不妨设，则集合的积集，
则必有，其4个正实数的乘积，
又或，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，
使其生成集，故D错误.
故选：C.
9．AC
【详解】由，得，所以或，
若，则，此时，，符合题意；
若，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，集合不满足互异性，不合题意；
综上，的值可以为或2.
故选：AC.
10．AB
【详解】A选项，由于，则，若，则由不等式的性质可得，，A正确；
B选项，若，则， 则，所以，B选项正确；
C选项，若，则，则，C错误；
D选项，若，则，则，D错误；
故选：AB.
11．ABD
【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确；
若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确；
记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误；
因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确．
故选：ABD
12．7
【详解】由，可得，，
因为，，
所以，故，则的最大值为7，
故答案为：7
13．
【详解】已知命题“”为假命题，
则该命题的否定：“”为真命题.
此时二次函数的判别式满足 .
即，
化简可得：
综上，实数的取值范围是 .
故答案为：
14．
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以有，
所以，或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
15．(1)，
(2)或
【详解】（1）解不等式，等价于，解得，
补集.
当时，.
，，
或，，
所以
（2），，
若，得，或.
当时，解得；当时，
因此，实数的取值范围为：或
16．(1)或
(2)
【详解】（1）由已知可得，是关于的方程的两个不等实数根，
则，即
由韦达定理可得
所以．
解得或，均满足．
因此或．
（2）由得．
当时，，此时；
当时，中有一个元素或两个元素，
若中有一个元素时，，解得，此时，满足条件；
若中有两个元素时，，即1、3是关于的方程的两个根，
此时需满足，解得，且，没有满足条件的．
综上所述，实数的取值范围是.
17．(1)或
(2)
(3)
【详解】（1）解，得或，则集合，
题意得，是的解，
即，解得或，
当时，，即，，满足题意，
当时，，即，，满足题意，
故或.
（2）若集合中有2个元素，则二次函数有2个解，
即，解得，
由韦达定理得，
则.
（3）若，则集合是集合的子集，
由（1）知集合，
①当集合，此时无解，
有，解得；
②当集合，则有，解得，
且，解得，此时的取值冲突，故舍；
③当集合，则有，解得或，
且，解得，故此时；
④当集合，则有，解得，
此时的取值冲突，故舍；
综上，的取值范围是
18．（1）；（2）答案见解析；（3）
【详解】（1）由题意，
所以.
（2）设有三个不相等的实数根，
则可分解因式为，
展开得，
所以有恒成立，
所以等式两边对应系数相等，
所以有.
（3）由（2）可知，，
易知，
因为，
所以有，解得.
19．(1)不具有性质，具有性质；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）对于集合：取，则，
所以数集不具有性质；
对于数集：，
即对中任意，与中至少有一个属于，
所以数集具有性质.
（2）由已知，
若，则，，所以，
又，所以数集不具有性质，不符合题意，
所以；
（3）由（2）可知，，
因为，
所以，所以，
因为数集具有性质，所以，
所以，
所以，即，
因为，则，所以，
由，又，所以，
所以，所以
所以.

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