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湖南省三湘大联考教育联盟2024-2025学年九年级下学期3月联考试卷.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025·湖南模拟）下面各数中，最小的有理数是（　　）
A． B． C． D．3
2．（2025·湖南模拟）下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖南模拟）下面分式在时有意义的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南模拟）2024年国庆档10部新片中的《志愿军：存亡之战》《危机航线》《出入平安》三部影片率先开映，《749局》《浴火之路》等七部影片于次日上映．根据国家电影局统计，2024年国庆档（2024年10月1日至7日）全国电影票房为亿元，观影人次为5209万．用科学记数法表示5209万时，下列写法正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南模拟）如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．不确定
6．（2025·湖南模拟）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
7．（2025·湖南模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南模拟）如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南模拟）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·湖南模拟）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·湖南模拟）　 　．
12．（2025·湖南模拟）若关于x的方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合条件的整数k的值为　 　．
13．（2025·湖南模拟）为庆祝建国75周年，某校开展了红色经典故事演讲比赛.8位评委给九（2）班某选手的打分（单位：分）分别为80，81，80，83，87，84，86，79．这组数据的中位数和平均数分别是　 　．
14．（2025·湖南模拟）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则　 　．
15．（2025·湖南模拟）如图是一顶用竹篾编制的圆锥形斗笠，若斗笠高为厘米，斗笠底部边沿的周长为厘米，则这个斗笠的表面积是　 　平方厘米．
16．（2025·湖南模拟）若，则　 　．
17．（2025·湖南模拟）如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是　 　．
18．（2025·湖南模拟）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·湖南模拟）计算．
20．（2025·湖南模拟）解方程组：．
21．（2025·湖南模拟）今年我市的阳光玫瑰葡萄喜获丰收，阳光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000元购进一批阳光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元购进第二批阳光玫瑰葡萄，所购数量是第一批的2倍，但进价比第一批每千克少了2元．
（1）第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是多少元？
（2）王老板以每千克12元的价格销售第二批阳光玫瑰葡萄，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批阳光玫瑰葡萄的销售利润不少于1200元，剩余的阳光玫瑰葡萄每千克的售价最低打几折？（结果保留整数）
22．（2025·湖南模拟）小明随机调查了部分市民一周时间内在网络平台上的购物次数m（单位：次），将获得的数据分成四组，绘制了如图所示的统计图（A：，B：，C：，D：），根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的总人数；
（2）求C组的人数，并补全条形统计图；
（3）根据以上信息，你能得到什么结论？
（4）如果小明想从D组的甲、乙、丙三人中随机选择两人了解在平台上购物的经验，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
23．（2025·湖南模拟）如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E．
（1）求直线，的解析式；
（2）求的值．
24．（2025·湖南模拟）如图，是半圆的直径，圆心为．，是劣弧上一点，过点作的切线交的延长线于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）设，过点作交半圆于点，请用含的代数式表示的长，并求出当是多少时，点与点重合．
25．（2025·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
（3）在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
26．（2025·湖南模拟）【问题背景】
（1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：．
【问题拓展】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：．
【拓展探究】
（3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：、是无理数，
只需要比较和的大小，
，
最小的有理数是，
故选：C．
【分析】本题核心考查实数分类与有理数比较大小法则，解题关键在于先筛选出有理数，再利用正数负数的核心规则判断大小．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的双重概念，解题需准确掌握两个定义的核心特征，逐一验证选项即可.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、当时，分母，分式有意义，符合题意；
B、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
C、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
D、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题核心是牢记“分式分母不为0，二次根式被开方数非负”的双重约束条件，将x=2代入逐一验证即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5209万，
故选C．
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，核心是掌握的形式以及a、n的确定方法，先进行单位换算，再确定a=5.209，n=7（小数点向右移动7位），即可进行规范书写．
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，
故选：A
【分析】本题考查的是菱形的性质和三角形的中位线定理，先根据菱形四条边相等得，再利用三角形的中位线平行于第三条边且等于第三边的一半求解即可.
6．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念辨析，属于统计概率基础题。解题核心是根据事件发生的确定性，逐一分析选项的事件类型.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选B．
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征、有理数大小的比较. 解题关键是将各点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出对应横坐标的具体数值，再根据有理数大小比较规则排序.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
∴；
故选：D．
【分析】本题考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的半径相等性质. 连接，利用垂径定理得，结合平行线性质与等腰三角形性质，证明为等边三角形，进而求出的度数.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，
，则，
，
故选：A．
【分析】本题考查位似图形的性质、相似三角形的面积比与相似比的关系（面积比=相似比的平方）、比例的性质. 由面积比求出位似比即，再根据线段和的关系，计算的比值.
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，，，
∴．
故选：A
【分析】本题考查了利用相似三角形解决实际测量问题、复杂比例式的推导与化简. 由，得到两组相似三角形，即，列出比例式，再通过比例的交叉相乘、移项变形，推导出中间线段AE的表达式，最后结合，代入相似三角形比例式化简，得到海岛高度AB的最终公式.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题围绕整式乘除中的幂运算展开，核心考查同底数幂的乘法运算，牢记核心法则“底数不变，指数相加”，准确识别题目中底数与对应指数，避免混淆运算法则.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的求解. 牢记“一元二次方程中，当判别式时，方程有两个不相等的实数根”这一核心结论. 本题的核心思路是：先根据方程有两个不相等实数根的条件，列出关于k的判别式不等式，解出k的取值范围，再在范围内选取一个整数作为答案，解题的关键是准确计算判别式并正确求解不等式.
13．【答案】
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排序得79，80，80，81，83，84，86，87，则这组数据的中位数是；
这组数据的平均数是；
故答案为：．
【分析】本题考查中位数的定义、算数平均数的计算公式. 计算中位数前必须先将数据从小到大（或从大到小）排序，再根据数据个数的奇偶性取中间值；计算平均数时，用所有数据的总和除以数据的总个数. 本题的解题流程是：先将8位评委的打分按从小到大排序，再根据数据个数为偶数，取第4、5个数的平均数作为中位数；最后用所有分数得总和除以8，得到这组数据的平均数.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
， ∴
垂直平分
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图与性质、三角形的内角和定理. 本题的解题逻辑是：先根据等腰三角形两底角相等求出底角，再利用垂直平分线的性质得到，最后在直角三角形中计算的度数.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：斗笠底部边沿的周长为厘米，
斗笠底部半径为，
圆锥的母线长为，
这个斗笠的表面积．
故答案为：．
【分析】本题考查了圆锥的结构特征、勾股定理、圆锥的侧面积（扇形面积）计算公式. 先由斗笠底部周长求出底面半径，再结合斗笠的高，用勾股定理算出圆锥的母线长；最后将底面周长和母线长代入侧面积公式弧长半径，计算出斗笠的表面积.
16．【答案】
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：10．
【分析】本题考查代数式的恒等变形、整体代入法求值. 通过因式分解，将高次代数式用已知的低次式表示，再整体代入已知条件进行计算，避免直接求解方程的根. 先由已知方程，得到；再将所求的四次代数式因式分解，变形为的形式；最后把整体代入，逐步化简计算出结果.
17．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过作于，
∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，，，
∴，，，设垂足为K，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点F到边的距离是；
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式. 解题关键在于利于折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合勾股定理和面积法求出相关线段长度，再通过作垂线计算点到边的距离.
18．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查取整函数（高斯函数）的定义、不等式组的求解. 解题关键：先根据，判断出每个取整项的取值只能是0或1，再结合总和为2023，确定只有1项为0、其余2023项为1，进而列出关于a的不等式组，求出2025a的范围，最后根据取整函数定义得到结果.
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查立方根的计算，零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算. 解题关键：按照运算顺序，先分别计算立方根、零次幂、三角函数、负指数幂，再进行乘除运算，最后合并同类项，注意每一步的运算规则.
20．【答案】解：，
由①②得；
将代入②得，
解得；
原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数存在整数倍关系时，可利用等式的基本性质给其中一个方程两边扩大相应的倍数，使这个未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法求解即可．
21．【答案】（1）解：设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元
（2）解：设剩余的葡萄每千克售价打y折．根据题意，得
得到．
答：剩余的葡萄每千克的售价最少打8折
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、利润的计算公式.
（1）设第一批葡萄的进价为x元/千克，用总金额除以单价表示出两批的数量，根据“第二批数量是第一批的2倍”列分式方程，求解并检验后得到答案.
（2）先算出第二批葡萄的数量和进价，再根据“已售部分利润+打折部分利润1200元”列一元一次不等式，求解后得到最低折扣，解题的关键是正确找到等量关系和不等关系.
（1）解：设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元．
（2）解：设剩余的葡萄每千克售价打y折．根据题意，得
得到．
答：剩余的葡萄每千克的售价最少打8折．
22．【答案】（1）解：这项调查被调查的总人数是：（人）
（2）解：∵C组的人数为：（人），补全图形如下：

（3）解：根据条形图与扇形图可得：网上购物已经被众多的市民接受，成为生活需要
（4）解：从类的甲、乙、丙三人中随机选择两人的情况：画树状图如下：
所有等可能的结果数为6种，恰好选中甲有4种，则恰好选中甲的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的信息读取，样本估计总体，列表法与树状图法求概率.
（1）由扇形图中B组所占比例与条形图对应人数，可算出本次调查的总人数；
（2）用总人数减去A、B、D三组的人数，得到C组人数，据此补全条形统计图；
（3）根据各组人数占比，对市民网络购物情况做出合理判断，用样本特征估计整体情况；
（4）采用列表或画树状图的方式，列出从若干人中随机选取的所有等可能情形，找出符合条件的结果数，利用概率公式算出对应事件的概率.
（1）解：这项调查被调查的总人数是：（人）；
（2）解：∵C组的人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：根据条形图与扇形图可得：网上购物已经被众多的市民接受，成为生活需要.
（4）解：从类的甲、乙、丙三人中随机选择两人的情况：画树状图如下：
所有等可能的结果数为6种，恰好选中甲有4种，则恰好选中甲的概率为．
23．【答案】（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为，∴，，
∴，
设为，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为
（2）解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；求正切值
【解析】【分析】
本题考查矩形性质，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系，勾股定理，锐角三角函数.（1）根据矩形对边平行且相等的性质，由已知点A、C坐标推导出点B坐标，再利用待定系数法分别求出直线与的函数关系式；
（2）过点A向直线BC作垂线，利用坐标求出BC的长度，再用三角形面积的两种表达方式算出垂线段长度；联立两条直线解析式求得交点E坐标，在直角三角形中利用正切的定义，求出的正切值.
（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
24．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的切线，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，则
（2）解：如图所示：
，
，
，，
，
由垂径定理可知，，
，
，
，
，则，
，解得，
则；
当点与点重合，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，则，
由上面求解过程可知，则，
解得
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、等腰三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、垂径定理等. 本题以圆为载体，综合切线、相似、等腰三角形等知识进行证明与计算.（1）连接半径，由切线性质得. 利用半径相等得到等角，结合产生互余角，推出，从而证明；
（2）根据题目给出的线段关系表示出OP长度，由及切线性质得到，再由垂径定理得出BG与BF的数量关系；通过角的等量代换证明，利用相似三角形对应边成比例求出BF的表达式；在特殊位置F与C重合时，结合等腰直角三角形边长关系列方程求解m.
（1）证明：连接，如图所示：
是的切线，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，则；
（2）解：如图所示：
，
，
，，
，
由垂径定理可知，，
，
，
，
，则，
，解得，
则；
当点与点重合，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，则，
由上面求解过程可知，则，
解得．
25．【答案】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，∴，
∴，
解得，
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为
【知识点】二次函数图象的对称变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数解析式求解，抛物线的对称变换，二次函数与正方形的综合应用.
（1）将点A坐标代入抛物线表达式，结合对称轴公式与题目给出的关系式，联立方程求出c的值；
（2）利用抛物线与x轴两交点间距离，结合对称轴位置求出交点坐标，再代入求得原抛物线L的解析式，进而写出关于x轴对称的抛物线及其顶点坐标；
（3）设出直线上点的横坐标，表示出对应抛物线上点的坐标，根据正方形边长相等建立等式，解方程得到点P坐标与正方形边长.
（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为．
26．【答案】证明：（1）∵D是的中点，∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴分别为的中点，
又∵D是的中点，
∴，，
∴；
（3）如图，延长至，使，
∵，，
∴，
∴，，
在上取点，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
当在线段上，如图，
同理可得：
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查三角形全等判定SAS，平行线分线段成比例，相似三角形判定与性质.（1）由D是AE中点得，结合已知边与角相等，用证明；
（2）由全等得到对应边与角相等，推出，再利用得到线段成比例，判断为中点，从而证明；
（3）对D为AE上任意一点的一般情形，通过添加辅助线构造全等三角形，证明，再利用两组相似三角形的比例关系，最终证明.
1 / 1湖南省三湘大联考教育联盟2024-2025学年九年级下学期3月联考试卷.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025·湖南模拟）下面各数中，最小的有理数是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：、是无理数，
只需要比较和的大小，
，
最小的有理数是，
故选：C．
【分析】本题核心考查实数分类与有理数比较大小法则，解题关键在于先筛选出有理数，再利用正数负数的核心规则判断大小．
2．（2025·湖南模拟）下面的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的双重概念，解题需准确掌握两个定义的核心特征，逐一验证选项即可.
3．（2025·湖南模拟）下面分式在时有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、当时，分母，分式有意义，符合题意；
B、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
C、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
D、当时，分母，分式无意义，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题核心是牢记“分式分母不为0，二次根式被开方数非负”的双重约束条件，将x=2代入逐一验证即可.
4．（2025·湖南模拟）2024年国庆档10部新片中的《志愿军：存亡之战》《危机航线》《出入平安》三部影片率先开映，《749局》《浴火之路》等七部影片于次日上映．根据国家电影局统计，2024年国庆档（2024年10月1日至7日）全国电影票房为亿元，观影人次为5209万．用科学记数法表示5209万时，下列写法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5209万，
故选C．
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，核心是掌握的形式以及a、n的确定方法，先进行单位换算，再确定a=5.209，n=7（小数点向右移动7位），即可进行规范书写．
5．（2025·湖南模拟）如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．不确定
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，，
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴，
故选：A
【分析】本题考查的是菱形的性质和三角形的中位线定理，先根据菱形四条边相等得，再利用三角形的中位线平行于第三条边且等于第三边的一半求解即可.
6．（2025·湖南模拟）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念辨析，属于统计概率基础题。解题核心是根据事件发生的确定性，逐一分析选项的事件类型.
7．（2025·湖南模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选B．
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征、有理数大小的比较. 解题关键是将各点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出对应横坐标的具体数值，再根据有理数大小比较规则排序.
8．（2025·湖南模拟）如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
∴；
故选：D．
【分析】本题考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的半径相等性质. 连接，利用垂径定理得，结合平行线性质与等腰三角形性质，证明为等边三角形，进而求出的度数.
9．（2025·湖南模拟）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，
，则，
，
故选：A．
【分析】本题考查位似图形的性质、相似三角形的面积比与相似比的关系（面积比=相似比的平方）、比例的性质. 由面积比求出位似比即，再根据线段和的关系，计算的比值.
10．（2025·湖南模拟）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，，，
∴．
故选：A
【分析】本题考查了利用相似三角形解决实际测量问题、复杂比例式的推导与化简. 由，得到两组相似三角形，即，列出比例式，再通过比例的交叉相乘、移项变形，推导出中间线段AE的表达式，最后结合，代入相似三角形比例式化简，得到海岛高度AB的最终公式.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·湖南模拟）　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题围绕整式乘除中的幂运算展开，核心考查同底数幂的乘法运算，牢记核心法则“底数不变，指数相加”，准确识别题目中底数与对应指数，避免混淆运算法则.
12．（2025·湖南模拟）若关于x的方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合条件的整数k的值为　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的求解. 牢记“一元二次方程中，当判别式时，方程有两个不相等的实数根”这一核心结论. 本题的核心思路是：先根据方程有两个不相等实数根的条件，列出关于k的判别式不等式，解出k的取值范围，再在范围内选取一个整数作为答案，解题的关键是准确计算判别式并正确求解不等式.
13．（2025·湖南模拟）为庆祝建国75周年，某校开展了红色经典故事演讲比赛.8位评委给九（2）班某选手的打分（单位：分）分别为80，81，80，83，87，84，86，79．这组数据的中位数和平均数分别是　 　．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排序得79，80，80，81，83，84，86，87，则这组数据的中位数是；
这组数据的平均数是；
故答案为：．
【分析】本题考查中位数的定义、算数平均数的计算公式. 计算中位数前必须先将数据从小到大（或从大到小）排序，再根据数据个数的奇偶性取中间值；计算平均数时，用所有数据的总和除以数据的总个数. 本题的解题流程是：先将8位评委的打分按从小到大排序，再根据数据个数为偶数，取第4、5个数的平均数作为中位数；最后用所有分数得总和除以8，得到这组数据的平均数.
14．（2025·湖南模拟）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
， ∴
垂直平分
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图与性质、三角形的内角和定理. 本题的解题逻辑是：先根据等腰三角形两底角相等求出底角，再利用垂直平分线的性质得到，最后在直角三角形中计算的度数.
15．（2025·湖南模拟）如图是一顶用竹篾编制的圆锥形斗笠，若斗笠高为厘米，斗笠底部边沿的周长为厘米，则这个斗笠的表面积是　 　平方厘米．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：斗笠底部边沿的周长为厘米，
斗笠底部半径为，
圆锥的母线长为，
这个斗笠的表面积．
故答案为：．
【分析】本题考查了圆锥的结构特征、勾股定理、圆锥的侧面积（扇形面积）计算公式. 先由斗笠底部周长求出底面半径，再结合斗笠的高，用勾股定理算出圆锥的母线长；最后将底面周长和母线长代入侧面积公式弧长半径，计算出斗笠的表面积.
16．（2025·湖南模拟）若，则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：10．
【分析】本题考查代数式的恒等变形、整体代入法求值. 通过因式分解，将高次代数式用已知的低次式表示，再整体代入已知条件进行计算，避免直接求解方程的根. 先由已知方程，得到；再将所求的四次代数式因式分解，变形为的形式；最后把整体代入，逐步化简计算出结果.
17．（2025·湖南模拟）如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过作于，
∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，，，
∴，，，设垂足为K，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点F到边的距离是；
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积公式. 解题关键在于利于折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合勾股定理和面积法求出相关线段长度，再通过作垂线计算点到边的距离.
18．（2025·湖南模拟）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查取整函数（高斯函数）的定义、不等式组的求解. 解题关键：先根据，判断出每个取整项的取值只能是0或1，再结合总和为2023，确定只有1项为0、其余2023项为1，进而列出关于a的不等式组，求出2025a的范围，最后根据取整函数定义得到结果.
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·湖南模拟）计算．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查立方根的计算，零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算. 解题关键：按照运算顺序，先分别计算立方根、零次幂、三角函数、负指数幂，再进行乘除运算，最后合并同类项，注意每一步的运算规则.
20．（2025·湖南模拟）解方程组：．
【答案】解：，
由①②得；
将代入②得，
解得；
原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数存在整数倍关系时，可利用等式的基本性质给其中一个方程两边扩大相应的倍数，使这个未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法求解即可．
21．（2025·湖南模拟）今年我市的阳光玫瑰葡萄喜获丰收，阳光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000元购进一批阳光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元购进第二批阳光玫瑰葡萄，所购数量是第一批的2倍，但进价比第一批每千克少了2元．
（1）第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是多少元？
（2）王老板以每千克12元的价格销售第二批阳光玫瑰葡萄，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批阳光玫瑰葡萄的销售利润不少于1200元，剩余的阳光玫瑰葡萄每千克的售价最低打几折？（结果保留整数）
【答案】（1）解：设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元
（2）解：设剩余的葡萄每千克售价打y折．根据题意，得
得到．
答：剩余的葡萄每千克的售价最少打8折
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、利润的计算公式.
（1）设第一批葡萄的进价为x元/千克，用总金额除以单价表示出两批的数量，根据“第二批数量是第一批的2倍”列分式方程，求解并检验后得到答案.
（2）先算出第二批葡萄的数量和进价，再根据“已售部分利润+打折部分利润1200元”列一元一次不等式，求解后得到最低折扣，解题的关键是正确找到等量关系和不等关系.
（1）解：设第一批葡萄每千克进价x元，则第二批葡萄的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一批阳光玫瑰葡萄每千克的进价是元．
（2）解：设剩余的葡萄每千克售价打y折．根据题意，得
得到．
答：剩余的葡萄每千克的售价最少打8折．
22．（2025·湖南模拟）小明随机调查了部分市民一周时间内在网络平台上的购物次数m（单位：次），将获得的数据分成四组，绘制了如图所示的统计图（A：，B：，C：，D：），根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的总人数；
（2）求C组的人数，并补全条形统计图；
（3）根据以上信息，你能得到什么结论？
（4）如果小明想从D组的甲、乙、丙三人中随机选择两人了解在平台上购物的经验，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
【答案】（1）解：这项调查被调查的总人数是：（人）
（2）解：∵C组的人数为：（人），补全图形如下：

（3）解：根据条形图与扇形图可得：网上购物已经被众多的市民接受，成为生活需要
（4）解：从类的甲、乙、丙三人中随机选择两人的情况：画树状图如下：
所有等可能的结果数为6种，恰好选中甲有4种，则恰好选中甲的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的信息读取，样本估计总体，列表法与树状图法求概率.
（1）由扇形图中B组所占比例与条形图对应人数，可算出本次调查的总人数；
（2）用总人数减去A、B、D三组的人数，得到C组人数，据此补全条形统计图；
（3）根据各组人数占比，对市民网络购物情况做出合理判断，用样本特征估计整体情况；
（4）采用列表或画树状图的方式，列出从若干人中随机选取的所有等可能情形，找出符合条件的结果数，利用概率公式算出对应事件的概率.
（1）解：这项调查被调查的总人数是：（人）；
（2）解：∵C组的人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：根据条形图与扇形图可得：网上购物已经被众多的市民接受，成为生活需要.
（4）解：从类的甲、乙、丙三人中随机选择两人的情况：画树状图如下：
所有等可能的结果数为6种，恰好选中甲有4种，则恰好选中甲的概率为．
23．（2025·湖南模拟）如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E．
（1）求直线，的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为，∴，，
∴，
设为，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为
（2）解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；求正切值
【解析】【分析】
本题考查矩形性质，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系，勾股定理，锐角三角函数.（1）根据矩形对边平行且相等的性质，由已知点A、C坐标推导出点B坐标，再利用待定系数法分别求出直线与的函数关系式；
（2）过点A向直线BC作垂线，利用坐标求出BC的长度，再用三角形面积的两种表达方式算出垂线段长度；联立两条直线解析式求得交点E坐标，在直角三角形中利用正切的定义，求出的正切值.
（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为，
∴，，
∴，
设为，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
24．（2025·湖南模拟）如图，是半圆的直径，圆心为．，是劣弧上一点，过点作的切线交的延长线于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）设，过点作交半圆于点，请用含的代数式表示的长，并求出当是多少时，点与点重合．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的切线，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，则
（2）解：如图所示：
，
，
，，
，
由垂径定理可知，，
，
，
，
，则，
，解得，
则；
当点与点重合，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，则，
由上面求解过程可知，则，
解得
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、等腰三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、垂径定理等. 本题以圆为载体，综合切线、相似、等腰三角形等知识进行证明与计算.（1）连接半径，由切线性质得. 利用半径相等得到等角，结合产生互余角，推出，从而证明；
（2）根据题目给出的线段关系表示出OP长度，由及切线性质得到，再由垂径定理得出BG与BF的数量关系；通过角的等量代换证明，利用相似三角形对应边成比例求出BF的表达式；在特殊位置F与C重合时，结合等腰直角三角形边长关系列方程求解m.
（1）证明：连接，如图所示：
是的切线，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，则；
（2）解：如图所示：
，
，
，，
，
由垂径定理可知，，
，
，
，
，则，
，解得，
则；
当点与点重合，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，则，
由上面求解过程可知，则，
解得．
25．（2025·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
（3）在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
【答案】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，∴，
∴，
解得，
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为
【知识点】二次函数图象的对称变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数解析式求解，抛物线的对称变换，二次函数与正方形的综合应用.
（1）将点A坐标代入抛物线表达式，结合对称轴公式与题目给出的关系式，联立方程求出c的值；
（2）利用抛物线与x轴两交点间距离，结合对称轴位置求出交点坐标，再代入求得原抛物线L的解析式，进而写出关于x轴对称的抛物线及其顶点坐标；
（3）设出直线上点的横坐标，表示出对应抛物线上点的坐标，根据正方形边长相等建立等式，解方程得到点P坐标与正方形边长.
（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为．
26．（2025·湖南模拟）【问题背景】
（1）如图1，已知，，若D是的中点，求证：．
【问题拓展】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作，交于点F，交于点G，求证：．
【拓展探究】
（3）如图3，在（2）的问题中，若D是上的任意一点，其他条件不变，求证：．
【答案】证明：（1）∵D是的中点，∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴分别为的中点，
又∵D是的中点，
∴，，
∴；
（3）如图，延长至，使，
∵，，
∴，
∴，，
在上取点，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
当在线段上，如图，
同理可得：
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查三角形全等判定SAS，平行线分线段成比例，相似三角形判定与性质.（1）由D是AE中点得，结合已知边与角相等，用证明；
（2）由全等得到对应边与角相等，推出，再利用得到线段成比例，判断为中点，从而证明；
（3）对D为AE上任意一点的一般情形，通过添加辅助线构造全等三角形，证明，再利用两组相似三角形的比例关系，最终证明.
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