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吉林省长春市净月区2025年中考一模数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2025·长春模拟）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长春模拟）长春冰雪新天地是一个大型冰雪主题乐园，园区面积156万平方米，包括7大主题区域，200余座冰雕雪塑，数据156万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长春模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·长春模拟）下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·长春模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长春模拟）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．（2025·长春模拟）如图，在 ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025·长春模拟）如图，双曲线与矩形的边交于点，且，交于点．若四边形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2025·长春模拟） 分解因式：　 　．
10．（2025·长春模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是　 　．
11．（2025·长春模拟）一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，方差为．若再填一个数据4，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则　 　（填“”，“”或“”）．
12．（2025·长春模拟）如图，正方形网格中每个小正方形边长为1．点、、都在格点上，、分别与网格线交于点、，则的长为　 　．
13．（2025·长春模拟）如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为　 　．
14．（2025·长春模拟）已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（2025·长春模拟）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·长春模拟）甲、乙两名同学报名参加学校图书馆的志愿者活动，他们将被随机分配到四个不同的图书区域：文学区（A），科普区（B），历史区（C），艺术区（D）进行整理书籍的工作，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率．
17．（2025·长春模拟）为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？
　 红枣 小米
规格／（kg/袋） 1 2
成本／（元／袋） 40 38
售价／（元／袋） 60 54
18．（2025·长春模拟）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，四边形的面积为24，则________．
19．（2025·长春模拟）其校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A．；B．；C．；D．）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94；c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数，中位数，众数如下：根据信息，解答下列问题：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 90 90 m
九年级 90 n 100
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示：
（1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数：________，________，D组________；
（2）估计________年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”）
（3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？
20．（2025·长春模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
（1）在图1中，作的中线；
（2）在图2中，在上找一点E，使：
（3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接，并在线段上找到一点Q，连接，使．
21．（2025·长春模拟）某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________；
（2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式；
（3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时．
22．（2025·长春模拟）【问题呈现】数学兴趣小组利用一副三角板进行实验探究活动．若在与中，，，，点D在线段上，、分别交边，于点E、F若将绕点D旋转，则在旋转过程中点A、E、D、F共圆．
【问题解决】证明过程如下：
证明：如图①，连接，取中点O，连接、．
证明过程缺失
点A、E、D、F在以点O为圆心为半径的圆上．
补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图②，若将绕点D旋转，使得，连接，直接写出的度数__________．
【拓展提升】如图③，若点D为中点，连接、交于点Q，下列结论正确的是__________（填序号）①；②；③若，则四边形周长的最小值为4；④．
23．（2025·长春模拟）如图，在矩形中，，，连结，点E为上一点，且，点P为上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、．
（1）__________；
（2）当点Q落在上时，__________；
（3）当时，求此时的长；
（4）当与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出的取值范围．
24．（2025·长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴交于点、，与轴交于点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求该拋物线对应的函数表达式及顶点的坐标；
（2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求点的坐标；
（3）过点作轴画线，交直线于点．平面内有一点，连结．
①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围；
②当点不与点重合时，直接写出和面积相等时的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为，
故答案为：B．
【分析】运用有理数的减法列式即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：156万
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，据此可求解.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，并结合各选项可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；然后利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转对称图形
【解析】【解答】解：由题意得，正八边形的中心角为，
∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为，
故答案为：．
【分析】利用正n边形的每一个内角的度数为，据此可求出旋转角的度数.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
故答案为：．
【分析】利用已知可求出∠ABC的度数，再利用解直角三角形表示出AC的长.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
即AG＝3，
故答案为：B．
【分析】设BG＝x，可表示出DG的长，再根据线段垂直平分线的性质可证得AG＝BG，然后根据勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，，，
，
，
点在双曲线上，
，
，，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设，，，利用已知条件可表示出点E的坐标，再根据点D、E在双曲线上，可表示出 △AOD、△COE的面积，根据，据此可求出k的值.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵，
故答案为：.
【分析】先将式子按照提公因式法分解，最后利用平方差公式分解因式即可.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程有两个不相等的实数根，列出关于m的不等式，即可解答.
11．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，
∴，
∴
，
添加一个数据后的平均数为，
∴
，
∵，即，
故答案为：．
【分析】利用平均数求出的值，利用方差公式求出S02的值；再求出添加一个数据后的平均数，再根据方差公式求出，然后比较大小即可.
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接
正方形网格中每个小正方形边长为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】取格点，连接利用平行线分线段成比例可求出CE与CB的比值，再由DE∥AB可证得，利用相似三角形的性质可求出DE的长.
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解∶ 过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
．
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在中，
点到桌面的高度，
故答案为：．
【分析】过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，易证四边形是矩形，利用矩形和正方形的性质可求出CD的长，同时可证得CG=FH，∠HCG=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CG的长，可得到HF的长；再证明∠DCH=60°，利用解直角三角形求出DH的长，即可得到DF的长.
14．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
∴，
∵当时，，
∴，
当时，则或，
∴函数图象大致如下：
结合函数图象知，当时，x的取值范围是：，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的顶点坐标可得到a与b的关系式，再表示出y1-y2，再利用已知条件：当时，，可得到b的取值范围，由此可得到y1-y2=0时x的值，画出函数的大致图象，观察图象可得到当时，x的取值范围.
15．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号里的分式加法通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．【答案】解：根据题意画树状图如下：
由图知，一共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的有7种，
所以，甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意画出树状图，利用树状图得出所有等可能的情况数和甲、乙两人至少有1人被分配到历史区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
17．【答案】解：设这3个月该网店销售红枣袋，小米袋，
由题意得，
解得；
答∶这个月小明家网点销售红枣袋，小米袋
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】抓住关键已知条件： 该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，这里包含了两个等量关系，设这3个月该网店销售红枣袋，小米袋，利用表中数据列出关于x，y的方程组，解方程求出x，y的值即可.
18．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，且，
四边形是平行四边形
，，
，即
四边形是矩形
（2）
【知识点】矩形的判定与性质；求余弦值
【解析】【解答】解：（2），，
由（1）知四边形是矩形，
，EF∥AD，AF 不平行于DE，
∴四边形ADEF是梯形，
四边形的面积为24，
，解得，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用平行四边形的性质可知AB=EF，AB∥EF，由此可证得EF=BC，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BCEF是平行四边形，利用等腰三角形三线合一的性质可证得∠BCE=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用已知可求出AB的长，利用矩形的性质可求出EF的长，同时可证得四边形ADEF是梯形，再利用梯形的面积公式求出BF的长；然后利用勾股定理求出AF的长，利用余弦的定义求出cosA的值.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，且，
四边形是平行四边形
，，
，即
四边形是矩形．
（2）解：，
，
由（1）知四边形是矩形，
，
设
四边形的面积为24，
，解得，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
19．【答案】（1）95，91.5，30
（2）九
（3）解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占，
八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人），
答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有260人
【知识点】中位数；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故；
九年级A组人数为（人），
B组数据为（人），故中位数在C组，
为，故，
D组所占的百分数为：，
故答案为：95；91.5；30；
（2）解：九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
理由：抽取的20人中，八年级学生成绩高于平均分的有9人，九年级学生成绩高于平均分的有11人，由此可推断出九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
故答案为：九；
【分析】（1）利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可得到m的值；再利用中位数的定义可求出n的值，利用已知C组的人数和扇形统计图可求出D组人数所占的百分比.
（2）利用样本中八、九年级学生成绩高于平均分的人数，即可解答；
（3）算出八、九年级20名学生中，竞赛成绩不低于95分的占比，乘以各年级全部人数，相加即可．
（1）解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故；
九年级A组人数为（人），
B组数据为（人），故中位数在C组，
为，故，
D组所占的百分数为：，
故答案为：95；91.5；30；；
（2）解：九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
理由：抽取的20人中，八年级学生成绩高于平均分的有9人，九年级学生成绩高于平均分的有11人，由此可推断出九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
故答案为：九；
（3）解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占，
八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人），
答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有260人．
20．【答案】（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求
【知识点】矩形的性质；作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线互相平分，作出△ABC的中线AD即可.
（2）如图，取点，连接交于点，则点即为所求，利用相似三角形的性质即可解答.（3）利用平移可确定出点P的位置，取点，连接交于点，则点即为所求，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可作出点Q的位置．
（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线；
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求．
21．【答案】（1）80；5.5
（2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，
把点代入，得：
，
解得：，
则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为
（3）
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时）
甲车的速度为：（千米／小时），
则，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故．
故答案为：80；5.5
（3）解：，
解得，
根据图象可知两车第一次相遇的时间为2.5，
∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置，
且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时，
则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，
乙车到达目的地的时间为：，
故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时）
故答案为：.
【分析】（1）利用函数图象，可以分别求出甲车和乙车的速度.，再根据甲车的速度可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图象上，将两点坐标分别的函数解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到y关于x的函数解析式.
（3）利用函数图象可求出两车第一次相遇的时间，再分情况讨论：当时；当时，分别求出两车相距不超过20千米的时间，再求出当x=3时，乙车的路程可知甲仍在120千米的位置，同时可得到直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，可求出乙车到达目的地的时间，再求出当，则两车相距不超过20千米的时间，然后求出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长即可.
（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时）
甲车的速度为：（千米／小时），
则，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故．
故答案为：80；5.5
（2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，
把点代入，得：
，
解得：，
则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为．
（3）解：，
解得，
根据图像可知两车第一次相遇的时间为2.5，
∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置，
且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时，
则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，
乙车到达目的地的时间为：，
故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时）
22．【答案】[问题解决]证明：如图①，连接，取中点O，连接、．
，
，
，
点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上
[结论应用]
[拓展提升] ①③
【知识点】旋转的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】；[结论应用]解：由[问题解决]中结论：点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上，如图所示：
，
，，
，
，
故答案为：；
[拓展提升]
解：由[问题解决]中结论：点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上，如图所示：
，①正确；
，
，②错误；
，，
，
，
点D为中点，
，，
，
，
，
，
，，
四边形周长，
当时，最小，四边形的周长最小，
，此时，，
四边形周长的最小值为4，③正确；
，④错误；
综上所述，正确的是：①③，
故答案为：①③．
【分析】[问题解决]如图①，连接，取中点O，连接、，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可证得结论.
[结论应用] 利用[问题解决]中的结论，利用同弧所对的圆周角相等可证得，再利用平行线的性质可求出∠AEF的度数，即可得到∠ADF的度数.
[拓展提升] 利用[问题解决]中的结论，利用同弧所对的圆周角相等，可对①作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例，可对②作出判断；再证明∠EDA=∠FDC，利用ASAS可证得△EDA≌△FDC，利用全等三角形的性质可证得DE=DF，AE=CF，由此可推出四边形AEDF的周长就是AC+2DE的长，当时，最小，四边形的周长最小，可求出四边形AEDF周长的最小值，可对③作出判断；然后可推出，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
23．【答案】（1）
（2）4
（3）解：当点在下方，如图，过点作交于点，
根据对称可得，
，
，
，
，，
，
则，
，
，
；
当点在上方，如图，过点作交于点，
同上述原理可得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述，当时，为或
（4） 或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：四边形为矩形，
，
根据勾股定理可得，
，
，
故答案为：；
（2）
解：作点B关于的对称点Q，
当点落在上时，，
，
，
作点B关于的对称点Q，
，
，
故答案为：4；
（4）解：当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，
①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
根据折叠可得为的平分线，
根据角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离为，
则，即，
；
②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
则，，
根据勾股定理可得，，
根据上述面积法原理可得，
设，则，
可得方程，
解得，
经检验是原方程的解，
即；
当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，
，
为等腰三角形，
即与矩形重合部分的图形为轴对称图形
此时，
综上，或或．
【分析】（1）利用矩形的性质可求出DC的长，再利用勾股定理求出BD的长，然后求出BE的长.
（2）作点B关于的对称点Q，可得到当点落在上时，，利用解直角三角形求出BP的长；作点B关于的对称点Q，利用轴对称的性质及等腰三角形的性质可求出BQ的长.
（3）分两种情况：当点在下方，如图，过点作交于点，利用轴对称的性质可证得PB=PQ，EB=EQ，利用SSS可证得△EBP≌△EQP，利用全等三角形的性质可证得∠EBP=∠EQP，再证明，利用解直角三角形求出EN的长，即可得到QN的长，然后利用解直角三角形求出BP的长；当点在上方，如图，过点作交于点，同上述原理可得，易证△EMP是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出EM、BM的长，然后求出BP的长；综上所述可得到符合题意的BP的长.
（4）当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，设，可表示出HM的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值；利用折叠的性质可得为的平分线，然后利用角平分线的性质及三角形的面积公式可求出BP的长；②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，可求出BH、MH的长，利用勾股定理求出EH的长，再利用面积法求出BP与PH的比值，设，可表示出PH的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BP的长；当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，可证得与矩形重合部分的图形为轴对称图形，据此可求出BP的取值范围；综上所述，可得到BP的长及BP的取值范围.
（1）解：四边形为矩形，
，
根据勾股定理可得，
，
，
故答案为：；
（2）解：作点B关于的对称点Q，
当点落在上时，，
，
，
作点B关于的对称点Q，
，
，
故答案为：4；
（3）解：当点在下方，如图，过点作交于点，
根据对称可得，
，
，
，
，，
，
则，
，
，
；
当点在上方，如图，过点作交于点，
同上述原理可得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述，当时，为或；
（4）解：当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，
①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
根据折叠可得为的平分线，
根据角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离为，
则，即，
；
②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
则，，
根据勾股定理可得，，
根据上述面积法原理可得，
设，则，
可得方程，
解得，
经检验是原方程的解，
即；
当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，
，
为等腰三角形，
即与矩形重合部分的图形为轴对称图形
此时，
综上，或或．
24．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
，
（2）解：令，则，
，
设，
，
抛物线开口向下，最高点为，
点在点的下方，
当点在点的右侧时，在之间的部分最高点为
，
解得：或（舍去），
；
当点在点的左侧时，在之间的部分最高点为，
，
，
解得或（舍去），
综上所述，点的坐标为或
（3）①或②
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：①如图所示：
当落在抛物线上且点在轴左侧时，
此时有最小值，当点与点重合时有最大值，
由题意得，
解得，，
当线段与抛物线有公共点时，
的取值范围为：或；
②过点作交轴于点，作于点，过点作交轴于点，作于点，设直线交轴于点，
，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，，
，
设直线为，代入，，
得，，
解得，
，
，
设直线为，
，
，
，
，
可得直线为，直线为，
将代入，得，，
，
，
，
即，
将代入，得，
，
，
，
，
解得(舍去)；
当点在之间时，如图所示：
的高大于的高，
当点在点下方时，如图所示：
的高大于的高，
综上所述，当和面积相等时的值为．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到二次函数解析式；然后将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，
（2）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，设，由a＜0，可得到抛物线的最高点为点D，可推出点在点的下方，再分情况讨论：当点在点的右侧时，在之间的部分最高点为，代入函数解析式可求出点P的坐标；当点在点的左侧时，在之间的部分最高点为，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
（3）①当落在抛物线上且点在轴左侧时，此时有最小值，当点与点重合时有最大值，即可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，由此可知当线段与抛物线有公共点时，m的取值范围；②过点作交轴于点，作于点，过点作交轴于点，作于点，设直线交轴于点，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，当时，，可推出，再求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，可表示出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，可得到点H的坐标，同时可求出可得直线为，直线为，可求出点U的坐标，同时可表示出点V的坐标，将点P的坐标代入函数解析式可求出b4，由此可求出点V的坐标，即可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；当点在之间时，如图所示：可知的高大于的高；当点在点下方时，可知的高大于的高；综上所述可得到m的值.
（1）解：抛物线与轴交于点、，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
，
；
（2）解：令，则，
，
设，
，
抛物线开口向下，最高点为，
点在点的下方，
当点在点的右侧时，在之间的部分最高点为
，
解得：或（舍去），
；
当点在点的左侧时，在之间的部分最高点为，
，
，
解得或（舍去），
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：①如图所示：
当落在抛物线上且点在轴左侧时，
此时有最小值，当点与点重合时有最大值，
由题意得，
解得，，
当线段与抛物线有公共点时，
的取值范围为：或；
②过点作交轴于点，作于点，过点作交轴于点，作于点，设直线交轴于点，
，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，，
，
设直线为，代入，，
得，，
解得，
，
，
设直线为，
，
，
，
，
可得直线为，直线为，
将代入，得，，
，
，
，
即，
将代入，得，
，
，
，
，
解得(舍去)；
当点在之间时，如图所示：
的高大于的高，
当点在点下方时，如图所示：
的高大于的高，
综上所述，当和面积相等时的值为．
1 / 1吉林省长春市净月区2025年中考一模数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2025·长春模拟）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为，
故答案为：B．
【分析】运用有理数的减法列式即可．
2．（2025·长春模拟）长春冰雪新天地是一个大型冰雪主题乐园，园区面积156万平方米，包括7大主题区域，200余座冰雕雪塑，数据156万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：156万
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，据此可求解.
3．（2025·长春模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，并结合各选项可判断求解．
4．（2025·长春模拟）下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则，可对A作出判断；再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；然后利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
5．（2025·长春模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转对称图形
【解析】【解答】解：由题意得，正八边形的中心角为，
∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为，
故答案为：．
【分析】利用正n边形的每一个内角的度数为，据此可求出旋转角的度数.
6．（2025·长春模拟）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
故答案为：．
【分析】利用已知可求出∠ABC的度数，再利用解直角三角形表示出AC的长.
7．（2025·长春模拟）如图，在 ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
即AG＝3，
故答案为：B．
【分析】设BG＝x，可表示出DG的长，再根据线段垂直平分线的性质可证得AG＝BG，然后根据勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
8．（2025·长春模拟）如图，双曲线与矩形的边交于点，且，交于点．若四边形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，，，
，
，
点在双曲线上，
，
，，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设，，，利用已知条件可表示出点E的坐标，再根据点D、E在双曲线上，可表示出 △AOD、△COE的面积，根据，据此可求出k的值.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2025·长春模拟） 分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵，
故答案为：.
【分析】先将式子按照提公因式法分解，最后利用平方差公式分解因式即可.
10．（2025·长春模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程有两个不相等的实数根，列出关于m的不等式，即可解答.
11．（2025·长春模拟）一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，方差为．若再填一个数据4，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据3，2，4，2，6，5，a（其中a为常数）的平均数为4，
∴，
∴
，
添加一个数据后的平均数为，
∴
，
∵，即，
故答案为：．
【分析】利用平均数求出的值，利用方差公式求出S02的值；再求出添加一个数据后的平均数，再根据方差公式求出，然后比较大小即可.
12．（2025·长春模拟）如图，正方形网格中每个小正方形边长为1．点、、都在格点上，、分别与网格线交于点、，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接
正方形网格中每个小正方形边长为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】取格点，连接利用平行线分线段成比例可求出CE与CB的比值，再由DE∥AB可证得，利用相似三角形的性质可求出DE的长.
13．（2025·长春模拟）如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解∶ 过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
．
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在中，
点到桌面的高度，
故答案为：．
【分析】过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，易证四边形是矩形，利用矩形和正方形的性质可求出CD的长，同时可证得CG=FH，∠HCG=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CG的长，可得到HF的长；再证明∠DCH=60°，利用解直角三角形求出DH的长，即可得到DF的长.
14．（2025·长春模拟）已知直线经过抛物线的顶点．若当时总有，则当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
∴，
∵当时，，
∴，
当时，则或，
∴函数图象大致如下：
结合函数图象知，当时，x的取值范围是：，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的顶点坐标可得到a与b的关系式，再表示出y1-y2，再利用已知条件：当时，，可得到b的取值范围，由此可得到y1-y2=0时x的值，画出函数的大致图象，观察图象可得到当时，x的取值范围.
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（2025·长春模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号里的分式加法通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．（2025·长春模拟）甲、乙两名同学报名参加学校图书馆的志愿者活动，他们将被随机分配到四个不同的图书区域：文学区（A），科普区（B），历史区（C），艺术区（D）进行整理书籍的工作，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率．
【答案】解：根据题意画树状图如下：
由图知，一共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的有7种，
所以，甲、乙两人至少有一人被分配到历史区的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意画出树状图，利用树状图得出所有等可能的情况数和甲、乙两人至少有1人被分配到历史区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
17．（2025·长春模拟）为实现乡村振兴战略，解决山区老百姓优质土特产销售问题，某地政府帮助小强家开通了网络商店（简称“网店”），将红枣，小米等土特产迅速销往全国，已知相关的销售信息如下：今年前3个月，该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元．问：这3个月该网店销售红枣和小米多少袋？
　 红枣 小米
规格／（kg/袋） 1 2
成本／（元／袋） 40 38
售价／（元／袋） 60 54
【答案】解：设这3个月该网店销售红枣袋，小米袋，
由题意得，
解得；
答∶这个月小明家网点销售红枣袋，小米袋
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】抓住关键已知条件： 该网店销售了红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，这里包含了两个等量关系，设这3个月该网店销售红枣袋，小米袋，利用表中数据列出关于x，y的方程组，解方程求出x，y的值即可.
18．（2025·长春模拟）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，四边形的面积为24，则________．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，且，
四边形是平行四边形
，，
，即
四边形是矩形
（2）
【知识点】矩形的判定与性质；求余弦值
【解析】【解答】解：（2），，
由（1）知四边形是矩形，
，EF∥AD，AF 不平行于DE，
∴四边形ADEF是梯形，
四边形的面积为24，
，解得，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用平行四边形的性质可知AB=EF，AB∥EF，由此可证得EF=BC，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BCEF是平行四边形，利用等腰三角形三线合一的性质可证得∠BCE=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用已知可求出AB的长，利用矩形的性质可求出EF的长，同时可证得四边形ADEF是梯形，再利用梯形的面积公式求出BF的长；然后利用勾股定理求出AF的长，利用余弦的定义求出cosA的值.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，且，
四边形是平行四边形
，，
，即
四边形是矩形．
（2）解：，
，
由（1）知四边形是矩形，
，
设
四边形的面积为24，
，解得，
∴，
∴在中，
．
故答案为：．
19．（2025·长春模拟）其校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A．；B．；C．；D．）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94；c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数，中位数，众数如下：根据信息，解答下列问题：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 90 90 m
九年级 90 n 100
d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示：
（1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数：________，________，D组________；
（2）估计________年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”）
（3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？
【答案】（1）95，91.5，30
（2）九
（3）解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占，
八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人），
答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有260人
【知识点】中位数；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故；
九年级A组人数为（人），
B组数据为（人），故中位数在C组，
为，故，
D组所占的百分数为：，
故答案为：95；91.5；30；
（2）解：九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
理由：抽取的20人中，八年级学生成绩高于平均分的有9人，九年级学生成绩高于平均分的有11人，由此可推断出九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
故答案为：九；
【分析】（1）利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可得到m的值；再利用中位数的定义可求出n的值，利用已知C组的人数和扇形统计图可求出D组人数所占的百分比.
（2）利用样本中八、九年级学生成绩高于平均分的人数，即可解答；
（3）算出八、九年级20名学生中，竞赛成绩不低于95分的占比，乘以各年级全部人数，相加即可．
（1）解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故；
九年级A组人数为（人），
B组数据为（人），故中位数在C组，
为，故，
D组所占的百分数为：，
故答案为：95；91.5；30；；
（2）解：九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
理由：抽取的20人中，八年级学生成绩高于平均分的有9人，九年级学生成绩高于平均分的有11人，由此可推断出九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；
故答案为：九；
（3）解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占，
八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人），
答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有260人．
20．（2025·长春模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
（1）在图1中，作的中线；
（2）在图2中，在上找一点E，使：
（3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接，并在线段上找到一点Q，连接，使．
【答案】（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求
【知识点】矩形的性质；作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线互相平分，作出△ABC的中线AD即可.
（2）如图，取点，连接交于点，则点即为所求，利用相似三角形的性质即可解答.（3）利用平移可确定出点P的位置，取点，连接交于点，则点即为所求，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可作出点Q的位置．
（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线；
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求．
21．（2025·长春模拟）某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件．甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离y（千米）与甲车出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙车的行驶速度为__________千米／小时，__________；
（2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式；
（3）若两车相距不超过20千米时可通过内部系统联络，直接写出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为__________小时．
【答案】（1）80；5.5
（2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，
把点代入，得：
，
解得：，
则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为
（3）
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时）
甲车的速度为：（千米／小时），
则，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故．
故答案为：80；5.5
（3）解：，
解得，
根据图象可知两车第一次相遇的时间为2.5，
∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置，
且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时，
则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，
乙车到达目的地的时间为：，
故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时）
故答案为：.
【分析】（1）利用函数图象，可以分别求出甲车和乙车的速度.，再根据甲车的速度可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图象上，将两点坐标分别的函数解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到y关于x的函数解析式.
（3）利用函数图象可求出两车第一次相遇的时间，再分情况讨论：当时；当时，分别求出两车相距不超过20千米的时间，再求出当x=3时，乙车的路程可知甲仍在120千米的位置，同时可得到直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，可求出乙车到达目的地的时间，再求出当，则两车相距不超过20千米的时间，然后求出乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长即可.
（1）解：乙车的行驶速度为：（千米／小时）
甲车的速度为：（千米／小时），
则，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故．
故答案为：80；5.5
（2）解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，
把点代入，得：
，
解得：，
则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为．
（3）解：，
解得，
根据图像可知两车第一次相遇的时间为2.5，
∴当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
当时，乙车的路程为：（千米），而甲仍在120千米的位置，
且甲的速度为60千米／小时，乙车的行驶速度为80千米／小时，
则直到乙车到达目的地时，两车之间没有不超过20千米的时间，
乙车到达目的地的时间为：，
故当，则两车相距不超过20千米的时间有：（小时），
综上：乙车在行驶过程中可通过内部系统联络甲车的总时长为：（小时）
22．（2025·长春模拟）【问题呈现】数学兴趣小组利用一副三角板进行实验探究活动．若在与中，，，，点D在线段上，、分别交边，于点E、F若将绕点D旋转，则在旋转过程中点A、E、D、F共圆．
【问题解决】证明过程如下：
证明：如图①，连接，取中点O，连接、．
证明过程缺失
点A、E、D、F在以点O为圆心为半径的圆上．
补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图②，若将绕点D旋转，使得，连接，直接写出的度数__________．
【拓展提升】如图③，若点D为中点，连接、交于点Q，下列结论正确的是__________（填序号）①；②；③若，则四边形周长的最小值为4；④．
【答案】[问题解决]证明：如图①，连接，取中点O，连接、．
，
，
，
点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上
[结论应用]
[拓展提升] ①③
【知识点】旋转的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】；[结论应用]解：由[问题解决]中结论：点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上，如图所示：
，
，，
，
，
故答案为：；
[拓展提升]
解：由[问题解决]中结论：点A、E、D、F在以点O为圆心，为半径的圆上，如图所示：
，①正确；
，
，②错误；
，，
，
，
点D为中点，
，，
，
，
，
，
，，
四边形周长，
当时，最小，四边形的周长最小，
，此时，，
四边形周长的最小值为4，③正确；
，④错误；
综上所述，正确的是：①③，
故答案为：①③．
【分析】[问题解决]如图①，连接，取中点O，连接、，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可证得结论.
[结论应用] 利用[问题解决]中的结论，利用同弧所对的圆周角相等可证得，再利用平行线的性质可求出∠AEF的度数，即可得到∠ADF的度数.
[拓展提升] 利用[问题解决]中的结论，利用同弧所对的圆周角相等，可对①作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例，可对②作出判断；再证明∠EDA=∠FDC，利用ASAS可证得△EDA≌△FDC，利用全等三角形的性质可证得DE=DF，AE=CF，由此可推出四边形AEDF的周长就是AC+2DE的长，当时，最小，四边形的周长最小，可求出四边形AEDF周长的最小值，可对③作出判断；然后可推出，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
23．（2025·长春模拟）如图，在矩形中，，，连结，点E为上一点，且，点P为上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、．
（1）__________；
（2）当点Q落在上时，__________；
（3）当时，求此时的长；
（4）当与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）4
（3）解：当点在下方，如图，过点作交于点，
根据对称可得，
，
，
，
，，
，
则，
，
，
；
当点在上方，如图，过点作交于点，
同上述原理可得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述，当时，为或
（4） 或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：四边形为矩形，
，
根据勾股定理可得，
，
，
故答案为：；
（2）
解：作点B关于的对称点Q，
当点落在上时，，
，
，
作点B关于的对称点Q，
，
，
故答案为：4；
（4）解：当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，
①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
根据折叠可得为的平分线，
根据角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离为，
则，即，
；
②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
则，，
根据勾股定理可得，，
根据上述面积法原理可得，
设，则，
可得方程，
解得，
经检验是原方程的解，
即；
当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，
，
为等腰三角形，
即与矩形重合部分的图形为轴对称图形
此时，
综上，或或．
【分析】（1）利用矩形的性质可求出DC的长，再利用勾股定理求出BD的长，然后求出BE的长.
（2）作点B关于的对称点Q，可得到当点落在上时，，利用解直角三角形求出BP的长；作点B关于的对称点Q，利用轴对称的性质及等腰三角形的性质可求出BQ的长.
（3）分两种情况：当点在下方，如图，过点作交于点，利用轴对称的性质可证得PB=PQ，EB=EQ，利用SSS可证得△EBP≌△EQP，利用全等三角形的性质可证得∠EBP=∠EQP，再证明，利用解直角三角形求出EN的长，即可得到QN的长，然后利用解直角三角形求出BP的长；当点在上方，如图，过点作交于点，同上述原理可得，易证△EMP是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出EM、BM的长，然后求出BP的长；综上所述可得到符合题意的BP的长.
（4）当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，设，可表示出HM的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值；利用折叠的性质可得为的平分线，然后利用角平分线的性质及三角形的面积公式可求出BP的长；②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，可求出BH、MH的长，利用勾股定理求出EH的长，再利用面积法求出BP与PH的比值，设，可表示出PH的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BP的长；当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，可证得与矩形重合部分的图形为轴对称图形，据此可求出BP的取值范围；综上所述，可得到BP的长及BP的取值范围.
（1）解：四边形为矩形，
，
根据勾股定理可得，
，
，
故答案为：；
（2）解：作点B关于的对称点Q，
当点落在上时，，
，
，
作点B关于的对称点Q，
，
，
故答案为：4；
（3）解：当点在下方，如图，过点作交于点，
根据对称可得，
，
，
，
，，
，
则，
，
，
；
当点在上方，如图，过点作交于点，
同上述原理可得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述，当时，为或；
（4）解：当点在下方时，设与的交点为，分两种情况，
①如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
根据折叠可得为的平分线，
根据角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离为，
则，即，
；
②如图，当时，为等腰三角形，为轴对称图形，过点作交于点，
则，，
根据勾股定理可得，，
根据上述面积法原理可得，
设，则，
可得方程，
解得，
经检验是原方程的解，
即；
当点落在上方或上时，整个或线段落在矩形内部，
，
为等腰三角形，
即与矩形重合部分的图形为轴对称图形
此时，
综上，或或．
24．（2025·长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴交于点、，与轴交于点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求该拋物线对应的函数表达式及顶点的坐标；
（2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求点的坐标；
（3）过点作轴画线，交直线于点．平面内有一点，连结．
①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围；
②当点不与点重合时，直接写出和面积相等时的值．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
，
（2）解：令，则，
，
设，
，
抛物线开口向下，最高点为，
点在点的下方，
当点在点的右侧时，在之间的部分最高点为
，
解得：或（舍去），
；
当点在点的左侧时，在之间的部分最高点为，
，
，
解得或（舍去），
综上所述，点的坐标为或
（3）①或②
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：①如图所示：
当落在抛物线上且点在轴左侧时，
此时有最小值，当点与点重合时有最大值，
由题意得，
解得，，
当线段与抛物线有公共点时，
的取值范围为：或；
②过点作交轴于点，作于点，过点作交轴于点，作于点，设直线交轴于点，
，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，，
，
设直线为，代入，，
得，，
解得，
，
，
设直线为，
，
，
，
，
可得直线为，直线为，
将代入，得，，
，
，
，
即，
将代入，得，
，
，
，
，
解得(舍去)；
当点在之间时，如图所示：
的高大于的高，
当点在点下方时，如图所示：
的高大于的高，
综上所述，当和面积相等时的值为．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到二次函数解析式；然后将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，
（2）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，设，由a＜0，可得到抛物线的最高点为点D，可推出点在点的下方，再分情况讨论：当点在点的右侧时，在之间的部分最高点为，代入函数解析式可求出点P的坐标；当点在点的左侧时，在之间的部分最高点为，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
（3）①当落在抛物线上且点在轴左侧时，此时有最小值，当点与点重合时有最大值，即可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，由此可知当线段与抛物线有公共点时，m的取值范围；②过点作交轴于点，作于点，过点作交轴于点，作于点，设直线交轴于点，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，当时，，可推出，再求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，可表示出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，可得到点H的坐标，同时可求出可得直线为，直线为，可求出点U的坐标，同时可表示出点V的坐标，将点P的坐标代入函数解析式可求出b4，由此可求出点V的坐标，即可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；当点在之间时，如图所示：可知的高大于的高；当点在点下方时，可知的高大于的高；综上所述可得到m的值.
（1）解：抛物线与轴交于点、，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
，
；
（2）解：令，则，
，
设，
，
抛物线开口向下，最高点为，
点在点的下方，
当点在点的右侧时，在之间的部分最高点为
，
解得：或（舍去），
；
当点在点的左侧时，在之间的部分最高点为，
，
，
解得或（舍去），
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：①如图所示：
当落在抛物线上且点在轴左侧时，
此时有最小值，当点与点重合时有最大值，
由题意得，
解得，，
当线段与抛物线有公共点时，
的取值范围为：或；
②过点作交轴于点，作于点，过点作交轴于点，作于点，设直线交轴于点，
，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，，
，
设直线为，代入，，
得，，
解得，
，
，
设直线为，
，
，
，
，
可得直线为，直线为，
将代入，得，，
，
，
，
即，
将代入，得，
，
，
，
，
解得(舍去)；
当点在之间时，如图所示：
的高大于的高，
当点在点下方时，如图所示：
的高大于的高，
综上所述，当和面积相等时的值为．
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