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广东省佛山市禅城区华英学校2024-2025学年七年级下学期期中考数学卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（2025七下·禅城期中）如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，，
，
；
故答案为：B
【分析】
根据平行线的性质：得到同位角相等可求出的度数，再利用补角的定义求出的度数，解答即可．
2．（2025七下·禅城期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，故D选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据同类项的合并和同底数幂的乘法、除法、乘方法则进行运算。
3．（2025七下·禅城期中）如图，与是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由图可得：和是同位角，
故选：C．
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两直线同侧，并且在第三条直线的同旁，则这样一对角叫同位角”逐项判断解题即可．
4．（2025七下·禅城期中）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、不能用平方差公式计算，故A不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，故B不符合题意；
C、不能用平方差公式计算，故C不符合题意；
D、能用平方差公式计算，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据平方差公式：，前后两个括号分别具有相同的项和相反的项，逐一判断即可解答．
5．（2025七下·禅城期中）如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴(同位角相等，两直线平行），
故答案为：B．
【分析】根据如图所示的画平行线的过程可知，满足了一对同位角相等，故而得出依据是 同位角相等，两直线平行 ，即可得出对应答案。
6．（2025七下·禅城期中）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念辨析，属于统计概率基础题。解题核心是根据事件发生的确定性，逐一分析选项的事件类型.
7．（2025七下·禅城期中）若，则m，n的值分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
则，，
故答案为：C
【分析】
根据利用多项式乘多项式法则得到，再合并同类项，然后根据多项式对应系数相等可得m，n的值，解答即可．
8．（2025七下·禅城期中）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”.下列说法正确的是（　　）
A．抽101次也可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次不可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【答案】A
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖.
故答案为：A.
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可.
9．（2025七下·禅城期中）下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是垂线段最短．
故选：．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
10．（2025七下·禅城期中）如图，四边形ABED是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：，
，，
；
，
；
故答案为：B
【分析】
根据割补法求面积可得阴影部分的面积=梯形的面积-2个空白的三角形的面积，然后再利用三角形的面积公式代入计算，即可求解.
二、填空题（本大题8小题，每小题2分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上
11．（2025七下·禅城期中）　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据单项式乘以单项式法则：系数相乘，再把同底数幂相乘，计算即可解答.
12．（2025七下·禅城期中）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵圆被等分成份，其中阴影部分占份，
∴指针落在阴影部分的概率为，
故答案为：
【分析】
根据求几何概率的方法：指针落在阴影部分的概率=，计算即可解答.
13．（2025七下·禅城期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，使得直角的顶点落在直线上，另一顶点落在直线上，若，则的度数是　 　度．
【答案】20
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵三角板是含45°角的直角三角板，
∴，
，
∴，
∵
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据三角板是含45°角的直角三角板得性质，进而得出结论．
14．（2025七下·禅城期中）已知：，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆应用：，再代入数据计算即可解答.
15．（2025七下·禅城期中）如图，图①是一个花盆支架，图②为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，若，，则　 　度．
【答案】175
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：175．
【分析】
根据，和均与支架垂直可得到，，再由平行线的性质：内错角相等得到，同旁内角互补计算得到，再计算角度的和差，解答即可．
16．（2025七下·禅城期中）若与的两边分别平行，且，，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次方程；角的运算；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：根据与的两边分别平行，分两种情况讨论：
当两角相等时，如图所示：
，，
，解得，
；
当两角互补时，如图所示：
，，
，解得，
；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
根据角的两边分别平行可得：这两角相等或这两角互补；再分两种情况，列方程求解计算得到m的值，再代入计算得到的度数，解答即可.
17．（2025七下·禅城期中）一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满　 　个小立方体容器．（用科学记数法表示）
【答案】
【知识点】单项式除以单项式；科学记数法表示大于10的数；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：，
；
（个）；
故答案为：
【分析】根据正方体的体积公式=，先计算大正方形的体积，再计算小正方形的体积，再求出它们的比值，解答即可.
18．（2025七下·禅城期中）如图，个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】整式的加减运算；圆的面积；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：
；
故答案为：
【分析】
根据圆环面积公式：阴影部分的面积=由内到外的第一个圆的面积-第二个圆的面积+第三个圆的面积-第四个圆的面积，代入圆的面积公式计算得到，再利用连续自然数求和的公式=，计算即可解答.
三、解答题（一）（本大题共3题，19题15分，20题6分，21题7分，共28分）
19．（2025七下·禅城期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）用乘法公式简便计算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】
（1）先算负整数指数幂，再计算零指数幂，再计算，最后计算加减，解答即可；
（2）先算同底数幂的乘法，再计算幂的乘方，最后合并同类项，计算即可求解；
（3）先算积的乘方：，再根据多项式除以单项式的除法法则计算即可解答；
（4）根据多项式乘以多项式法则计算，再根据单项式乘以多项式法则计算，最后计算整式的加减计算即可求解；
（5）先将，再利用完全平方公式计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：．
20．（2025七下·禅城期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
；
当，时，
原式；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先利用乘法公式将展开，再合并同类项，最后根据多项式除以单项式法则进行计算，再代值计算即可解答．
21．（2025七下·禅城期中）已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵（已知），
∴（________），
∵AE平分，
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵与互补（已知），
∴________（互补的定义），
∴（________），
∴________（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【答案】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵与互补（已知），
∴（互补的定义），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义可得，在等量代换得到，再通过补角的定义得到，再由平行线的判定得到同旁内角互补，两直线平行，再由平行线的性质得到两直线平行，同位角相等，由此解答即可.
四、解答题（二）（本大题3小题，22题7分，23题6分，24题
22．（2025七下·禅城期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据．
摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率
100 32 400 130 a
200 62 500 150 b
300 90 600 183
（1）请将表中数据补充完整，　 　；　 　；
（2）画出“出现红球”的频率折线统计图；
（3）估计摸到红球的概率为　 　（精确到）．
（4）估计盒子里有红球　 　个和白球　 　个．
【答案】（1）；
（2）解：频率折线统计图，如图所示：
（3）0.3
（4）6；14
【知识点】频数与频率；频数（率）分布折线图；折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：；
（3）观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为；
故答案为：0.3
（4）估计盒子里有红球（个），
白球有：（个）．
故答案为：6；14
【分析】
（1）根据频率频数摸球次数，计算即可解答；
（2）根据表格提供的数据：描点，连线画出折线统计图即可；
（3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可；
（4）根据摸到红球的概率估计红球的个数得：，再用总数20减去红球得个数求出白球的个数即可解答．
（1）解：，
；
（2）解：频率折线统计图，如图所示：
（3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为；
（4）解：估计盒子里有红球（个），
白球有：（个）．
23．（2025七下·禅城期中）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
（1）画出线段，使，且点为格点；
（2）在线段上画出点，使；
（3）请直接写出与的位置关系________．
【答案】（1）解：如图，点M即为所求；
；
（2）解：如图，点Q即为所求；
（3）垂直
【知识点】平行线的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
故答案为：垂直．
【分析】（1）根据平移性质即可求出答案.
（2）根据处置定义作图即可.
（3）根据直线平行性质即可求出答案.
24．（2025七下·禅城期中），
，
，
，
，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①____________24；
②____________．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，且，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含m、n），并证明．
【答案】（1）264、462，54、45
（2）解：表示“数字对称等式”一般规律的式子为
．
证明：验证：等式左边
等式右边
左边右边．
即规律成立.
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数．
①
②．
故答案为：264、462，54、45．
【分析】
（1）观察几行等式发现规律：两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数，再根据规律求解即可解答；
（2）根据两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数，即可写出一般规律得等式，解答即可．
（1）解：两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数．
①
②．
故答案为：264、462，54、45．
（2）验证：等式左边
等式右边
左边右边．
答：表示“数字对称等式”一般规律的式子为
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
25．（2025七下·禅城期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出图2，由此可得等式．则：
（1）由图3可以得的等式是______；
（2）用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片______张，B纸片______张，C纸片______张（空格处填写数字）；
（3）如图4，在中，当时，三边长a、b、c，满足等式．
①已知，，求的值．
②如图5，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为4，求的面积．
【答案】（1）
（2）；；
（3）解：①，，
，
；
，
；
②在直角中，，，
的周长为4，
，
，
；
，
，，
，
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】
解：（1）根据题意可得：；
故答案为：
（2）；
则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张；
故答案为：；；；
【分析】
（1）根据等面积法由图2得面积为，再表示出图3的面积，即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式法则计算，即可得到A，B，C纸片得数量 ；
（3）①根据，再利用完全平方公式展开，再代值计算得到；②根据题意可得，分别表示，，再根据代入数据计算，再算多项式乘以多项式，代值即可求解.
（1）解：根据题意可得：；
故答案为：
（2）解：；
则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张；
故答案为：；；；
（3）解：①，，
，
；
，
；
②在直角中，，，
的周长为4，
，
，
；
，
，，
，
26．（2025七下·禅城期中）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．
情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射．
（1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______．
拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由；
应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值．
【答案】解：（1）；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，延长交于点，
则，，
，
，
，
，
即，
；
（3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒，
∴射线最多运动到，
当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点，
∵，
∴，
与互相垂直时，
，
，
解得，
②如图所示，当射线返回时，
，
，
解得；
③当回到时，刚好垂直，
，
综上所述，，，时，与互相垂直．
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据对顶角相等：，计算即可解答；
（2）延长交于点，延长交于点，根据对顶角相等得到，，即可得，再由角度得和差运算得到，再由内错角相等，两直线平行可判定得到得；
（3）分三种情况讨论：①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，由两直线平行得到，再由垂直建立方程，解方程可得t的值；②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，同样的方法根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
1 / 1广东省佛山市禅城区华英学校2024-2025学年七年级下学期期中考数学卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（2025七下·禅城期中）如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·禅城期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·禅城期中）如图，与是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·禅城期中）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·禅城期中）如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
6．（2025七下·禅城期中）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
7．（2025七下·禅城期中）若，则m，n的值分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2025七下·禅城期中）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”.下列说法正确的是（　　）
A．抽101次也可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次不可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
9．（2025七下·禅城期中）下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段的长度，其依据是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10．（2025七下·禅城期中）如图，四边形ABED是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（本大题8小题，每小题2分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上
11．（2025七下·禅城期中）　 　．
12．（2025七下·禅城期中）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是　 　．
13．（2025七下·禅城期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，使得直角的顶点落在直线上，另一顶点落在直线上，若，则的度数是　 　度．
14．（2025七下·禅城期中）已知：，，则的值为　 　．
15．（2025七下·禅城期中）如图，图①是一个花盆支架，图②为其正面结构示意图，底座为，支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，若，，则　 　度．
16．（2025七下·禅城期中）若与的两边分别平行，且，，则的度数为　 　．
17．（2025七下·禅城期中）一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满　 　个小立方体容器．（用科学记数法表示）
18．（2025七下·禅城期中）如图，个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是　 　．（结果保留）
三、解答题（一）（本大题共3题，19题15分，20题6分，21题7分，共28分）
19．（2025七下·禅城期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）用乘法公式简便计算：．
20．（2025七下·禅城期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（2025七下·禅城期中）已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵（已知），
∴（________），
∵AE平分，
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵与互补（已知），
∴________（互补的定义），
∴（________），
∴________（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
四、解答题（二）（本大题3小题，22题7分，23题6分，24题
22．（2025七下·禅城期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据．
摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率
100 32 400 130 a
200 62 500 150 b
300 90 600 183
（1）请将表中数据补充完整，　 　；　 　；
（2）画出“出现红球”的频率折线统计图；
（3）估计摸到红球的概率为　 　（精确到）．
（4）估计盒子里有红球　 　个和白球　 　个．
23．（2025七下·禅城期中）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
（1）画出线段，使，且点为格点；
（2）在线段上画出点，使；
（3）请直接写出与的位置关系________．
24．（2025七下·禅城期中），
，
，
，
，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①____________24；
②____________．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，且，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含m、n），并证明．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
25．（2025七下·禅城期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出图2，由此可得等式．则：
（1）由图3可以得的等式是______；
（2）用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片______张，B纸片______张，C纸片______张（空格处填写数字）；
（3）如图4，在中，当时，三边长a、b、c，满足等式．
①已知，，求的值．
②如图5，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为4，求的面积．
26．（2025七下·禅城期中）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．
情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射．
（1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______．
拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由；
应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，，
，
；
故答案为：B
【分析】
根据平行线的性质：得到同位角相等可求出的度数，再利用补角的定义求出的度数，解答即可．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，故D选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据同类项的合并和同底数幂的乘法、除法、乘方法则进行运算。
3．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由图可得：和是同位角，
故选：C．
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两直线同侧，并且在第三条直线的同旁，则这样一对角叫同位角”逐项判断解题即可．
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、不能用平方差公式计算，故A不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，故B不符合题意；
C、不能用平方差公式计算，故C不符合题意；
D、能用平方差公式计算，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据平方差公式：，前后两个括号分别具有相同的项和相反的项，逐一判断即可解答．
5．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴(同位角相等，两直线平行），
故答案为：B．
【分析】根据如图所示的画平行线的过程可知，满足了一对同位角相等，故而得出依据是 同位角相等，两直线平行 ，即可得出对应答案。
6．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念辨析，属于统计概率基础题。解题核心是根据事件发生的确定性，逐一分析选项的事件类型.
7．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
则，，
故答案为：C
【分析】
根据利用多项式乘多项式法则得到，再合并同类项，然后根据多项式对应系数相等可得m，n的值，解答即可．
8．【答案】A
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖.
故答案为：A.
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可.
9．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是垂线段最短．
故选：．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：，
，，
；
，
；
故答案为：B
【分析】
根据割补法求面积可得阴影部分的面积=梯形的面积-2个空白的三角形的面积，然后再利用三角形的面积公式代入计算，即可求解.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据单项式乘以单项式法则：系数相乘，再把同底数幂相乘，计算即可解答.
12．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵圆被等分成份，其中阴影部分占份，
∴指针落在阴影部分的概率为，
故答案为：
【分析】
根据求几何概率的方法：指针落在阴影部分的概率=，计算即可解答.
13．【答案】20
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵三角板是含45°角的直角三角板，
∴，
，
∴，
∵
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据三角板是含45°角的直角三角板得性质，进而得出结论．
14．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆应用：，再代入数据计算即可解答.
15．【答案】175
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵支撑杆于点，平台边框和均与支架垂直，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：175．
【分析】
根据，和均与支架垂直可得到，，再由平行线的性质：内错角相等得到，同旁内角互补计算得到，再计算角度的和差，解答即可．
16．【答案】或
【知识点】解一元一次方程；角的运算；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：根据与的两边分别平行，分两种情况讨论：
当两角相等时，如图所示：
，，
，解得，
；
当两角互补时，如图所示：
，，
，解得，
；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
根据角的两边分别平行可得：这两角相等或这两角互补；再分两种情况，列方程求解计算得到m的值，再代入计算得到的度数，解答即可.
17．【答案】
【知识点】单项式除以单项式；科学记数法表示大于10的数；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：，
；
（个）；
故答案为：
【分析】根据正方体的体积公式=，先计算大正方形的体积，再计算小正方形的体积，再求出它们的比值，解答即可.
18．【答案】
【知识点】整式的加减运算；圆的面积；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：
；
故答案为：
【分析】
根据圆环面积公式：阴影部分的面积=由内到外的第一个圆的面积-第二个圆的面积+第三个圆的面积-第四个圆的面积，代入圆的面积公式计算得到，再利用连续自然数求和的公式=，计算即可解答.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】
（1）先算负整数指数幂，再计算零指数幂，再计算，最后计算加减，解答即可；
（2）先算同底数幂的乘法，再计算幂的乘方，最后合并同类项，计算即可求解；
（3）先算积的乘方：，再根据多项式除以单项式的除法法则计算即可解答；
（4）根据多项式乘以多项式法则计算，再根据单项式乘以多项式法则计算，最后计算整式的加减计算即可求解；
（5）先将，再利用完全平方公式计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：．
20．【答案】解：
；
当，时，
原式；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先利用乘法公式将展开，再合并同类项，最后根据多项式除以单项式法则进行计算，再代值计算即可解答．
21．【答案】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵与互补（已知），
∴（互补的定义），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义可得，在等量代换得到，再通过补角的定义得到，再由平行线的判定得到同旁内角互补，两直线平行，再由平行线的性质得到两直线平行，同位角相等，由此解答即可.
22．【答案】（1）；
（2）解：频率折线统计图，如图所示：
（3）0.3
（4）6；14
【知识点】频数与频率；频数（率）分布折线图；折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：；
（3）观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为；
故答案为：0.3
（4）估计盒子里有红球（个），
白球有：（个）．
故答案为：6；14
【分析】
（1）根据频率频数摸球次数，计算即可解答；
（2）根据表格提供的数据：描点，连线画出折线统计图即可；
（3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可；
（4）根据摸到红球的概率估计红球的个数得：，再用总数20减去红球得个数求出白球的个数即可解答．
（1）解：，
；
（2）解：频率折线统计图，如图所示：
（3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为；
（4）解：估计盒子里有红球（个），
白球有：（个）．
23．【答案】（1）解：如图，点M即为所求；
；
（2）解：如图，点Q即为所求；
（3）垂直
【知识点】平行线的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
故答案为：垂直．
【分析】（1）根据平移性质即可求出答案.
（2）根据处置定义作图即可.
（3）根据直线平行性质即可求出答案.
24．【答案】（1）264、462，54、45
（2）解：表示“数字对称等式”一般规律的式子为
．
证明：验证：等式左边
等式右边
左边右边．
即规律成立.
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数．
①
②．
故答案为：264、462，54、45．
【分析】
（1）观察几行等式发现规律：两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数，再根据规律求解即可解答；
（2）根据两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数，即可写出一般规律得等式，解答即可．
（1）解：两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数．
①
②．
故答案为：264、462，54、45．
（2）验证：等式左边
等式右边
左边右边．
答：表示“数字对称等式”一般规律的式子为
．
25．【答案】（1）
（2）；；
（3）解：①，，
，
；
，
；
②在直角中，，，
的周长为4，
，
，
；
，
，，
，
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】
解：（1）根据题意可得：；
故答案为：
（2）；
则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张；
故答案为：；；；
【分析】
（1）根据等面积法由图2得面积为，再表示出图3的面积，即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式法则计算，即可得到A，B，C纸片得数量 ；
（3）①根据，再利用完全平方公式展开，再代值计算得到；②根据题意可得，分别表示，，再根据代入数据计算，再算多项式乘以多项式，代值即可求解.
（1）解：根据题意可得：；
故答案为：
（2）解：；
则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张；
故答案为：；；；
（3）解：①，，
，
；
，
；
②在直角中，，，
的周长为4，
，
，
；
，
，，
，
26．【答案】解：（1）；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，延长交于点，
则，，
，
，
，
，
即，
；
（3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒，
∴射线最多运动到，
当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点，
∵，
∴，
与互相垂直时，
，
，
解得，
②如图所示，当射线返回时，
，
，
解得；
③当回到时，刚好垂直，
，
综上所述，，，时，与互相垂直．
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据对顶角相等：，计算即可解答；
（2）延长交于点，延长交于点，根据对顶角相等得到，，即可得，再由角度得和差运算得到，再由内错角相等，两直线平行可判定得到得；
（3）分三种情况讨论：①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，由两直线平行得到，再由垂直建立方程，解方程可得t的值；②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，同样的方法根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
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