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浙江省衢州市2025年中考预测三模数学试卷
一、选择题（有10个小题，每小题3分，共30分），每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2025·衢州模拟）2025的倒数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义可直接得出答案。
2．（2025·衢州模拟）下列几何体中，其侧面展开图是扇形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：在圆柱体，圆锥，三棱锥，长方体中，只有圆锥的侧面展开图是扇形；
故答案为：B．
【分析】根据简单几何体的展开图特征即可求出答案.
3．（2025·衢州模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方，合并同类项运算法则逐项判断解题．
4．（2025·衢州模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
5．（2025·衢州模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》“中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.设长为x步，则可列方程为（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（2x-12）=864
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设长为x步，则宽为（x-12）步，
根据题意可得： x（x-12）=864 ，
故答案为：A.
【分析】设长为x步，则宽为（x-12）步，根据“ 矩形面积864平方步 ， 宽比长少12 步”列出方程x（x-12）=864 即可.
6．（2025·衢州模拟）如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过作于，
四边形是正方形，
，
平分交于点，
，
正方形的边长为1，
，
，
∵，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】过作于，根据勾股定理求出对角线AC长，即可得到CO长，然后再根据勾股定理求出DE长即可．
7．（2025·衢州模拟）骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵
∴∠DEC=67°，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可知，再根据计算即可得出答案.
8．（2025·衢州模拟）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，，
，，
，，
．
故答案为：B．
【分析】根据条件，利用解直角三角形得到，，代入化简解题．
9．（2025·衢州模拟）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则s的值可能是（　　）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如下图，
根据题意可知，该二次函数图象开口向下，其对称轴为直线，
∵，
∴，
∴与点相比，点更靠近对称轴，
∴，整理得，
∴当时，有，
解得；
当时，有，
解得，
综上所述，或，
∴选项D，B，C不符合题意，选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据离对称轴近的函数值小，求出s的取值范围解题．
10．（2025·衢州模拟）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
如图， 连接AC， CD， DE.
∵ED=EB，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD=α，
(对着同一个圆周角)，
∴AC=CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC =∠EDB+∠EBD=2α，
∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴4α=90°，
∴α=22.5°，
故答案为： B.
【分析】连接AC， CD， DE.证明∠CAB=3α， 利用三角形内角和定理求出α，可得结论.
二、填空题（有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·衢州模拟）若a，b，c是的三边长，则代数式的值　 　0(填“”“”或“”)．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题可知：，且a，b，c是的三边，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平方差公式和三角形三边关系的应用。首先通过平方差公式对给定的表达式进行因式分解，然后结合三角形三边关系的性质进行分析和判断。
12．（2025·衢州模拟）一个等腰三角形的两边长x、y恰是二元一次方程组的解，则此等腰三角形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】解二元一次方程组；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：解二元一次方程组，
可得：，
由于等腰三角形两边长分别为x和y，且满足三角形三边关系，
因为，
所以等腰三角形的三边分别为5、5、2，
所以它的周长为．
故答案为：12.
【分析】先求出二元一次方程组的解，再根据三角形的三边的关系确定等腰三角形的三边的长，即可得出三角形的周长．
13．（2025·衢州模拟）如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是　 　．
【答案】＝
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：过AB间任意一点作AD的平行线，被小路①截得的线段长都是2米，平移后可发现小路①的面积相当于一个底为2米，高为b米的平行四边形的面积，
∴（平方米），
同理可得：（平方米），
，
故答案为：.
【分析】根据平移的方法可知小路①、②的面积等于长为米、 宽为2米的长方形的面积，即可得出结论.
14．（2025·衢州模拟）如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面　 　．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在梯形中，斜坡，坡度为，
，
设，，则在中，，解得，
，
在中，，解得，则，
故答案为：．
【分析】设，，在中，根据勾股定理求出，再在中，得到然后根据勾股定理计算解题．
15．（2025·衢州模拟）如图，过外一点作圆的切线，，点，为切点，为直径，设，，则m，n的等量关系为　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，
，是的切线，，
，，
，，
，，，．
故答案为：．
【分析】本题重点考查切线的性质、四边形内角和定理（360°）以及圆周角定理的应用，解题关键在于灵活运用这些几何知识。首先，连接线段OB。根据切线的性质，可以得出：。
由于四边形PAOB的内角和为，因此可得：。再根据圆周角定理，圆心角∠AOB与圆周角∠C的关系为：。将上述关系代入前式，即可推导出最终结论。
16．（2025·衢州模拟）数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在，上取点，，连，，使，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图2，连接，交于点，设与交于点，
由题意，，，
垂直平分，
在中，，
，
，
解得：，
，
，，
，，，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，交于点，根据勾股定理求出长，然后根据面积求出的长，利用两角相等的两个三角形相似得到，再根据对应边成比例解题即可．
三、解答题（有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（2025·衢州模拟）（1）计算：
（2）化简：．
【答案】解：（1）原式=-1+1+2×1-
=-1+1+2-
=2-；
（2）原式=÷
=÷
=·
=.
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先算、tan45°、（π-2）0、，然后计算加减法即可；
（2）先算括号，再算乘除即可.
18．（2025·衢州模拟）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵AB是⊙O的之直径，OC是⊙O的半径，且为⊙O切线，
∴OC⊥PC，∠ACB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠PCA=∠BCO，
∵CD⊥AB，
∴∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠DCA=∠B，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B，
∴∠PCA=∠DCA，
∴AC平分∠PCD.
（2）解：由（1）得：OC⊥PC，∠PCA=∠DCA=∠B，
又∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴，
即AP·CB=AC·CP，
设⊙O的半径为r，则，AB=2r，
在中，，
∴，
又∵PA=3，
∴PO=3+r，
同理可得：PC=，
∴ 3·=·，
解得：r=或r=-1（不合题意舍去），
∴⊙O的半径为.
【知识点】勾股定理；切线的性质；角平分线的判定；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据AB是⊙O的之直径，且为⊙O切线，可得OC⊥PC，∠ACB=90°，易得∠PCA+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∠B+∠CAD=90°，再根据CD⊥AB，进而即可得出∠PCA=∠BCO=∠DCA=∠B，即可得出结论；
（2）由（1）易得，得出，变形为AP·CB=AC·CP，再结合勾股定理可得出3·=·，求解即可得出结论.
19．（2025·衢州模拟）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG＝　 　米．
（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若，则点G的上升高度为　 　米．
【答案】4；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：如图，连接AB，过A点作AF⊥BC于F，
∵AD=AC=3米，CD=3.6米，
CF=DF=1.8米，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AG的长为4米，
故答案为：4．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△AEF中，，
，
∴，
∴，
故点G上升的高度为，
故答案为：．
【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三线合一”和勾股定理求出AF长，然后证明，即可求出BF长，再根据勾股定理解题即可；
（2）根据比例先出CE的长，根据勾股定理求出AE长，然后利用正弦的定义解题即可．
20．（2025·衢州模拟）中华文化源远流长，在文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某学校为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽样调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（2）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
（3）若该校共有3200名学生，请你估计该校读完“4部”的学生有多少人？
【答案】（1）补全统计图如下
72
（2）1；2
（3）解：由部分估计总体可知：读完“4部”的学生有人，
∴估计该校读完“4部”的学生有640人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可知：调查中读完1部的人数为14人，占比为35%，
∴一共调查了：人，
∴读完“2部”的人数为：人，
因此，补全统计图如下
∴读完“4部”的学生的圆心角为：，
∴扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为72度；
（2）根据条形统计图和扇形统计图可知读完“1部”的人数最多，因此众数为1部，
将40名学生读完的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，因此，中位数为2部，
故答案为：1；2；
【分析】（1）根据图表可以得出读完1部的人数和其所占百分比，进而可以得出参与调查的总人数，即可求出读完2部的人数补全条形统计图，再根据读完4部的人数求出它占比在乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（2）根据图表运用众数和中位数的定义即可求解；
（3）根据样本和总体的关系即可得到答案．
21．（2025·衢州模拟）如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若连接，求的长．
【答案】（1）证明：点为边中点，，
，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形；
（2）解：如图所示，过点作于点，得出矩形，
，，，，
四边形是菱形，，，，
，是的中点，．的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形。解题关键在于掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要性质。（1）通过分析四边形的对角线关系，可以证明四边形满足对角线互相平分且垂直的条件，因此该四边形是菱形。
（2）解题步骤：过点作于点，此时四边形构成矩形；根据已知条件且，可推导出，；运用勾股定理求出边长的具体数值；最后根据直角三角形斜边上的中线性质，得出的长度等于斜边的一半。
（1）证明：点为边中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，得矩形，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，是的中点，
．
的长为．
22．（2025·衢州模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
（2）若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的图象经过点，
，
，
，
直线与抛物线相交所得的线段长为，
，
，
设两个交点为和，线段长为，
，，
，
，
或者，经检验，符合题意；
答：或；
（2）解：抛物线与轴有两个交点，
当时，△，
或，
①当时，
抛物线恒经过点和，
，
恒成立，
②当时，
抛物线与轴交于，和两点，
，，
，
，
当时，，
，
答：的取值范围为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把代入代入解析式得到b=-2a，设两个交点为和，根据根于系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形解题即可；
（2）抛物线与轴有两个交点，根据根的判别式求出的范围，然后分为或时，利用根与系数的关系求出a的取值范围即可．
23．（2025·衢州模拟）如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当是的角平分线时，
①求证：；
②直接写出_______°．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①证明：∵在中，，，
∴，
∵是边上的高，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
∵，．
∴．
∴．
②过点C作于点C，交的延长线于点M．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：依题意补全图形．数量关系：．
证明：过点C作于点C，交的延长线于点M．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角得到，利用角平分线即可得到．从而得到，最后利用等角对等边证明结论；
②过点C作于点C，交的延长线于点M．即可得到，进而求出，然后推理证明得到．即可得到结论．
（2）过点C作于点C，交的延长线于点M．即可得到．然后根据AAS证明，即可得到，证明结论即可．
24．（2025·衢州模拟）如图，内接于，连接，记，．
（1）证明：；
（2）设与交于点D，半径为2，
①若，求由线段，弧围成的图形面积S；
②若，设，用含k的代数式表示线段的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）①∵，∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
过点D作，如图
则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
②∵，
∴
延长，交于点G，连接
∵
∴
∵
∴
∴
过点O作，则，
∵
∴
∴
设，则
∵
∴
∴
∴，解得：
∴；
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（2）①利用（1）的结论得到，即可得到为等腰直角三角形，然后根据正弦的定义求出，过点D作，求出线段的长，再根据解答即可；
②延长，交于点G，连接，即可得到，根据，得到，过点O作，根据正弦的定义求出CF长，然后得到，根据对应边成比例解题即可．
1 / 1浙江省衢州市2025年中考预测三模数学试卷
一、选择题（有10个小题，每小题3分，共30分），每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2025·衢州模拟）2025的倒数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．（2025·衢州模拟）下列几何体中，其侧面展开图是扇形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·衢州模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·衢州模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衢州模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》“中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.设长为x步，则可列方程为（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（2x-12）=864
6．（2025·衢州模拟）如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·衢州模拟）骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·衢州模拟）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·衢州模拟）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则s的值可能是（　　）
A．3 B．2 C．0 D．1
10．（2025·衢州模拟）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·衢州模拟）若a，b，c是的三边长，则代数式的值　 　0(填“”“”或“”)．
12．（2025·衢州模拟）一个等腰三角形的两边长x、y恰是二元一次方程组的解，则此等腰三角形的周长为　 　．
13．（2025·衢州模拟）如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是　 　．
14．（2025·衢州模拟）如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面　 　．（结果保留根号）
15．（2025·衢州模拟）如图，过外一点作圆的切线，，点，为切点，为直径，设，，则m，n的等量关系为　 　
16．（2025·衢州模拟）数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在，上取点，，连，，使，则的值为　 　．
三、解答题（有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（2025·衢州模拟）（1）计算：
（2）化简：．
18．（2025·衢州模拟）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求⊙O的半径．
19．（2025·衢州模拟）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG＝　 　米．
（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若，则点G的上升高度为　 　米．
20．（2025·衢州模拟）中华文化源远流长，在文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某学校为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽样调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（2）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
（3）若该校共有3200名学生，请你估计该校读完“4部”的学生有多少人？
21．（2025·衢州模拟）如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若连接，求的长．
22．（2025·衢州模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
（2）若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围．
23．（2025·衢州模拟）如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当是的角平分线时，
①求证：；
②直接写出_______°．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
24．（2025·衢州模拟）如图，内接于，连接，记，．
（1）证明：；
（2）设与交于点D，半径为2，
①若，求由线段，弧围成的图形面积S；
②若，设，用含k的代数式表示线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义可直接得出答案。
2．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：在圆柱体，圆锥，三棱锥，长方体中，只有圆锥的侧面展开图是扇形；
故答案为：B．
【分析】根据简单几何体的展开图特征即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方，合并同类项运算法则逐项判断解题．
4．【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设长为x步，则宽为（x-12）步，
根据题意可得： x（x-12）=864 ，
故答案为：A.
【分析】设长为x步，则宽为（x-12）步，根据“ 矩形面积864平方步 ， 宽比长少12 步”列出方程x（x-12）=864 即可.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过作于，
四边形是正方形，
，
平分交于点，
，
正方形的边长为1，
，
，
∵，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】过作于，根据勾股定理求出对角线AC长，即可得到CO长，然后再根据勾股定理求出DE长即可．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵
∴∠DEC=67°，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可知，再根据计算即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，，
，，
，，
．
故答案为：B．
【分析】根据条件，利用解直角三角形得到，，代入化简解题．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如下图，
根据题意可知，该二次函数图象开口向下，其对称轴为直线，
∵，
∴，
∴与点相比，点更靠近对称轴，
∴，整理得，
∴当时，有，
解得；
当时，有，
解得，
综上所述，或，
∴选项D，B，C不符合题意，选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据离对称轴近的函数值小，求出s的取值范围解题．
10．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
如图， 连接AC， CD， DE.
∵ED=EB，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD=α，
(对着同一个圆周角)，
∴AC=CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC =∠EDB+∠EBD=2α，
∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°.
∴4α=90°，
∴α=22.5°，
故答案为： B.
【分析】连接AC， CD， DE.证明∠CAB=3α， 利用三角形内角和定理求出α，可得结论.
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题可知：，且a，b，c是的三边，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平方差公式和三角形三边关系的应用。首先通过平方差公式对给定的表达式进行因式分解，然后结合三角形三边关系的性质进行分析和判断。
12．【答案】12
【知识点】解二元一次方程组；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：解二元一次方程组，
可得：，
由于等腰三角形两边长分别为x和y，且满足三角形三边关系，
因为，
所以等腰三角形的三边分别为5、5、2，
所以它的周长为．
故答案为：12.
【分析】先求出二元一次方程组的解，再根据三角形的三边的关系确定等腰三角形的三边的长，即可得出三角形的周长．
13．【答案】＝
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：过AB间任意一点作AD的平行线，被小路①截得的线段长都是2米，平移后可发现小路①的面积相当于一个底为2米，高为b米的平行四边形的面积，
∴（平方米），
同理可得：（平方米），
，
故答案为：.
【分析】根据平移的方法可知小路①、②的面积等于长为米、 宽为2米的长方形的面积，即可得出结论.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在梯形中，斜坡，坡度为，
，
设，，则在中，，解得，
，
在中，，解得，则，
故答案为：．
【分析】设，，在中，根据勾股定理求出，再在中，得到然后根据勾股定理计算解题．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，
，是的切线，，
，，
，，
，，，．
故答案为：．
【分析】本题重点考查切线的性质、四边形内角和定理（360°）以及圆周角定理的应用，解题关键在于灵活运用这些几何知识。首先，连接线段OB。根据切线的性质，可以得出：。
由于四边形PAOB的内角和为，因此可得：。再根据圆周角定理，圆心角∠AOB与圆周角∠C的关系为：。将上述关系代入前式，即可推导出最终结论。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图2，连接，交于点，设与交于点，
由题意，，，
垂直平分，
在中，，
，
，
解得：，
，
，，
，，，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，交于点，根据勾股定理求出长，然后根据面积求出的长，利用两角相等的两个三角形相似得到，再根据对应边成比例解题即可．
17．【答案】解：（1）原式=-1+1+2×1-
=-1+1+2-
=2-；
（2）原式=÷
=÷
=·
=.
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先算、tan45°、（π-2）0、，然后计算加减法即可；
（2）先算括号，再算乘除即可.
18．【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵AB是⊙O的之直径，OC是⊙O的半径，且为⊙O切线，
∴OC⊥PC，∠ACB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠PCA=∠BCO，
∵CD⊥AB，
∴∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠DCA=∠B，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B，
∴∠PCA=∠DCA，
∴AC平分∠PCD.
（2）解：由（1）得：OC⊥PC，∠PCA=∠DCA=∠B，
又∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴，
即AP·CB=AC·CP，
设⊙O的半径为r，则，AB=2r，
在中，，
∴，
又∵PA=3，
∴PO=3+r，
同理可得：PC=，
∴ 3·=·，
解得：r=或r=-1（不合题意舍去），
∴⊙O的半径为.
【知识点】勾股定理；切线的性质；角平分线的判定；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据AB是⊙O的之直径，且为⊙O切线，可得OC⊥PC，∠ACB=90°，易得∠PCA+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∠B+∠CAD=90°，再根据CD⊥AB，进而即可得出∠PCA=∠BCO=∠DCA=∠B，即可得出结论；
（2）由（1）易得，得出，变形为AP·CB=AC·CP，再结合勾股定理可得出3·=·，求解即可得出结论.
19．【答案】4；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：如图，连接AB，过A点作AF⊥BC于F，
∵AD=AC=3米，CD=3.6米，
CF=DF=1.8米，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AG的长为4米，
故答案为：4．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△AEF中，，
，
∴，
∴，
故点G上升的高度为，
故答案为：．
【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三线合一”和勾股定理求出AF长，然后证明，即可求出BF长，再根据勾股定理解题即可；
（2）根据比例先出CE的长，根据勾股定理求出AE长，然后利用正弦的定义解题即可．
20．【答案】（1）补全统计图如下
72
（2）1；2
（3）解：由部分估计总体可知：读完“4部”的学生有人，
∴估计该校读完“4部”的学生有640人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可知：调查中读完1部的人数为14人，占比为35%，
∴一共调查了：人，
∴读完“2部”的人数为：人，
因此，补全统计图如下
∴读完“4部”的学生的圆心角为：，
∴扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为72度；
（2）根据条形统计图和扇形统计图可知读完“1部”的人数最多，因此众数为1部，
将40名学生读完的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，因此，中位数为2部，
故答案为：1；2；
【分析】（1）根据图表可以得出读完1部的人数和其所占百分比，进而可以得出参与调查的总人数，即可求出读完2部的人数补全条形统计图，再根据读完4部的人数求出它占比在乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（2）根据图表运用众数和中位数的定义即可求解；
（3）根据样本和总体的关系即可得到答案．
21．【答案】（1）证明：点为边中点，，
，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形；
（2）解：如图所示，过点作于点，得出矩形，
，，，，
四边形是菱形，，，，
，是的中点，．的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形。解题关键在于掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要性质。（1）通过分析四边形的对角线关系，可以证明四边形满足对角线互相平分且垂直的条件，因此该四边形是菱形。
（2）解题步骤：过点作于点，此时四边形构成矩形；根据已知条件且，可推导出，；运用勾股定理求出边长的具体数值；最后根据直角三角形斜边上的中线性质，得出的长度等于斜边的一半。
（1）证明：点为边中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，得矩形，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，是的中点，
．
的长为．
22．【答案】（1）解：抛物线的图象经过点，
，
，
，
直线与抛物线相交所得的线段长为，
，
，
设两个交点为和，线段长为，
，，
，
，
或者，经检验，符合题意；
答：或；
（2）解：抛物线与轴有两个交点，
当时，△，
或，
①当时，
抛物线恒经过点和，
，
恒成立，
②当时，
抛物线与轴交于，和两点，
，，
，
，
当时，，
，
答：的取值范围为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把代入代入解析式得到b=-2a，设两个交点为和，根据根于系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形解题即可；
（2）抛物线与轴有两个交点，根据根的判别式求出的范围，然后分为或时，利用根与系数的关系求出a的取值范围即可．
23．【答案】（1）①证明：∵在中，，，
∴，
∵是边上的高，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
∵，．
∴．
∴．
②过点C作于点C，交的延长线于点M．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：依题意补全图形．数量关系：．
证明：过点C作于点C，交的延长线于点M．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角得到，利用角平分线即可得到．从而得到，最后利用等角对等边证明结论；
②过点C作于点C，交的延长线于点M．即可得到，进而求出，然后推理证明得到．即可得到结论．
（2）过点C作于点C，交的延长线于点M．即可得到．然后根据AAS证明，即可得到，证明结论即可．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）①∵，∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
过点D作，如图
则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
②∵，
∴
延长，交于点G，连接
∵
∴
∵
∴
∴
过点O作，则，
∵
∴
∴
设，则
∵
∴
∴
∴，解得：
∴；
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（2）①利用（1）的结论得到，即可得到为等腰直角三角形，然后根据正弦的定义求出，过点D作，求出线段的长，再根据解答即可；
②延长，交于点G，连接，即可得到，根据，得到，过点O作，根据正弦的定义求出CF长，然后得到，根据对应边成比例解题即可．
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