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江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高一下·鼓楼期中）复数对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数对应的点在第一象限.
故答案为：A
【分析】 复数的实部对应复平面内点的横坐标，虚部对应纵坐标，根据横、纵坐标的正负判断所在象限。
2．（2025高一下·鼓楼期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，得：，即，
即：，解得：
故答案为：B．
【分析】 已知三角形的两个角和其中一个角的对边，可直接运用正弦定理建立边角关系，代入数值计算求出另一边的长度。
3．（2025高一下·鼓楼期中）（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】先利用诱导公式将转化为，再套用两角差的余弦公式进行化简，最后代入特殊角的三角函数值得到结果。
4．（2025高一下·鼓楼期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意得，，，，，，
则由二分法可得近似解所在的区间为.
故答案为：C.
【分析】 二分法的核心是利用零点存在定理：若函数在区间端点处函数值异号，则区间内存在零点。通过逐步缩小区间范围，找到函数值异号的最小区间，即为近似解所在区间。
5．（2025高一下·鼓楼期中）已知是单位向量，满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量是单位向量，且，
则，可得，
则，又因为，所以，即与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直，数量积为零求得，再根据向量的夹角公式求解即可.
6．（2025高一下·鼓楼期中）已知，其中的夹角为，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，其中 的夹角为，可得，
则 在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】先根据向量数量积公式求出，再代入投影向量公式，计算在上的投影向量。
7．（2025高一下·鼓楼期中）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由可得，
即，也即，
故.
故答案为：D.
【分析】展开和差角正弦公式，整理化简得到与的关系，代入两角和的正切公式计算.
8．（2025高一下·鼓楼期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
又由，
则，
所以，
令，可得，则，
因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立，
则，所以，所以，
即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先利用向量数量积和余弦定理得到角B与边a的关系，再通过余弦定理、同角三角函数关系表示tanC，最后利用换元法结合基本不等式求最大值。
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分）
9．（2025高一下·鼓楼期中）下列关于向量的说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．在边长为1的正方形中，
D．，能作为平面内的一组基底
【答案】B,D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，根据向量的定义，表示向量的模，而表示向量，故A错误；
B，由，可得，故B正确；
C，在边长为1的正方形中，可得，所以，故C错误；
D，由向量，，因为，所以向量与不共线，所以与能作为平面内的一组基底，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量的基本概念、相反向量性质、向量模长公式、基底判定条件，逐一分析每个选项的正误。
10．（2025高一下·鼓楼期中）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（小时）的变化规律可近似表述为：，其中为初始血药浓度，为代谢速率常数，图象如图所示，则（　　）
A．
B．每小时血药浓度降低的数值相等
C．服药后6小时，血药浓度降至初始值的
D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A：将点代入中得，，得，故A正确；
B：因，则当时，，
不是定值，故B错误；
C：因，则，故C正确；
D：由图象可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】将已知点代入函数解析式求出k，再根据函数表达式和单调性逐一分析各选项，判断其正确性。
11．（2025高一下·鼓楼期中）在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，因为，又，
所以，得到，
又三角形为锐角三角形，所以，，
则，得到，故A正确，
B，由，得到，
整理得到，故B正确，
C，因为，又由选项A知，
所以，得到，所以，
又，所以，
则，故C错误，
D，由选项C知，，
又
则，
设，令，
则，易知在上单调递增，
所以，即，
则，所以的取值范围是，故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】A：核心是利用展开，结合锐角三角形范围消去的情况，直接得到。
B：通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再代入余弦定理整理得到。
C：先确定的范围，再将化为辅助角公式，根据正弦函数单调性判断取值范围。
D：利用三倍角公式化简，将表达式转化为关于的函数，结合的范围求函数值域。
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·鼓楼期中）已知向量，与平行，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，
因为与，可得，解得.
故答案为：.
【分析】先通过向量的数乘和加法运算求出的坐标，再利用两向量平行的坐标关系（交叉相乘相等）列方程，解出的值。
13．（2025高一下·鼓楼期中）若，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由可得，
又，所以，因此可得；
又，所以，
因此，易知，
即.
故答案为：
【分析】先利用二倍角正弦公式化简等式，结合的范围求出，再用半角余弦公式，根据的范围确定的符号并计算结果。
14．（2025高一下·鼓楼期中）除特许外，外轮不得进入离我国海岸线mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距mile的两个观测站，测得某外轮在点位置，，，则此时离海岸线的距离为　 　mile．
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：
如图，作于点，由正弦定理，，
因，，故，
而，
故，
在中，.
故答案为：.
【分析】过点作于，先在中由内角和求出，再用正弦定理求，最后在中求，即到海岸线的距离。
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·鼓楼期中）已知复数．
（1）求和；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求的值．
【答案】（1）解：因复数，
则，.
（2）解：因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得：，
即，
故有，解得：，．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】 (1) 先对复数进行除法运算化简，再计算其模长。
(2) 将复数根代入实系数二次方程，根据复数相等的条件列方程组求解。
（1）因复数，
则，.
（2）因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得：，
即，
故有，解得：，．
16．（2025高一下·鼓楼期中）已知向量，与的夹角为．
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）解：由向量，可得，
因为，与的夹角为，所以；
（2）解：将，两边同时平方可得，即，解得或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量模的坐标表示求，再根据向量数量积公式求解即可；
（2）将两边同时平方得关于的方程，解一元二次方程求实数的值即可．
（1）解：由向量，所以，
因为，与的夹角为，可得.
（2）解：由，
因为，所以，即，
所以或.
17．（2025高一下·鼓楼期中）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：，
所以函数的最小正周期为；
当且仅当，即时，函数的最大值为4．
（2）解：因为，所以，即，
所以
．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先利用三角恒等变换将函数化简为 的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和最大值。
(2) 由已知条件求出 ，再通过三角恒等变换将目标式转化为关于 的表达式，代入计算。
（1），
所以函数的最小正周期为；
当且仅当，即时，函数的最大值为4．
（2）因为，所以，即，
所以
．
18．（2025高一下·鼓楼期中）如图，已知在平面四边形中，，，．
（1）若平分，求的长；
（2）设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
【答案】（1）解：因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）解：①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 由BD平分∠ABC得两角余弦相等，在△ABD和△CBD中分别用余弦定理表示BD2，列方程求解BD。
(2) ① 先在△ABD中用余弦定理求BD，再在△CBD中求角β，最后将两个三角形面积相加得四边形面积；② 分别在两个三角形中用余弦定理和面积公式，结合三角恒等变换推导面积最大时α+β=180°。
（1）因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
19．（2025高一下·鼓楼期中）如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心．
（1）求的值；
（2）点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围；
②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．
【答案】（1）解：已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形，
因为为的外心，即为的中心，
又因为，可得，且，因为，所以，
所以.

（2）解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，
可得，因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则，，
所以，
令，则，
所以，则，
所以；
②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
由，，
又由，
所以
，
因为，
所以，且，
所以，代入，
可得，
整理得，
显然，两边同时除以，可得，
令，，可得，
即，（☆）
所以，即，
解得，所以（即m）的最大值为．
此时，式子（☆）有两个相等的根，所以，
所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 利用菱形性质和 角确定 为等边三角形，求出外接圆半径及 ，通过向量数量积定义或坐标法计算。
(2) ① 设 的参数坐标，利用模长公式表示 ，通过三角函数换元求值域；
② 利用向量线性关系得出 的比例，将 转化为三角函数最值问题，再求解 。
（1）解：方法一、已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形，
因为为的外心，即为的中心，
又因为，可得，且，因为，所以，
所以.
方法二、以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为四边形为菱形，且，可得为等边三角形，
则，，，，
所以；
（2）解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则，，
所以，
令，则，
所以，则，
所以；
方法二：当共线时，取得最小值8，
在中，，
在中，，
所以，所以，
因为，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以；
②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
由，，
又由，
所以
，
因为，
所以，且，
所以，代入，
可得，
整理得，
显然，两边同时除以，可得，
令，，可得，
即，（☆）
所以，即，
解得，所以（即m）的最大值为．
此时，式子（☆）有两个相等的根，所以，
所以．
1 / 1江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高一下·鼓楼期中）复数对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高一下·鼓楼期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（　　）
A．4 B． C． D．
3．（2025高一下·鼓楼期中）（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·鼓楼期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·鼓楼期中）已知是单位向量，满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·鼓楼期中）已知，其中的夹角为，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·鼓楼期中）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·鼓楼期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分）
9．（2025高一下·鼓楼期中）下列关于向量的说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．在边长为1的正方形中，
D．，能作为平面内的一组基底
10．（2025高一下·鼓楼期中）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（小时）的变化规律可近似表述为：，其中为初始血药浓度，为代谢速率常数，图象如图所示，则（　　）
A．
B．每小时血药浓度降低的数值相等
C．服药后6小时，血药浓度降至初始值的
D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
11．（2025高一下·鼓楼期中）在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·鼓楼期中）已知向量，与平行，则的值为　 　．
13．（2025高一下·鼓楼期中）若，，则的值是　 　．
14．（2025高一下·鼓楼期中）除特许外，外轮不得进入离我国海岸线mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距mile的两个观测站，测得某外轮在点位置，，，则此时离海岸线的距离为　 　mile．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·鼓楼期中）已知复数．
（1）求和；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求的值．
16．（2025高一下·鼓楼期中）已知向量，与的夹角为．
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
17．（2025高一下·鼓楼期中）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）若，求的值．
18．（2025高一下·鼓楼期中）如图，已知在平面四边形中，，，．
（1）若平分，求的长；
（2）设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
19．（2025高一下·鼓楼期中）如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心．
（1）求的值；
（2）点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围；
②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数对应的点在第一象限.
故答案为：A
【分析】 复数的实部对应复平面内点的横坐标，虚部对应纵坐标，根据横、纵坐标的正负判断所在象限。
2．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，得：，即，
即：，解得：
故答案为：B．
【分析】 已知三角形的两个角和其中一个角的对边，可直接运用正弦定理建立边角关系，代入数值计算求出另一边的长度。
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】先利用诱导公式将转化为，再套用两角差的余弦公式进行化简，最后代入特殊角的三角函数值得到结果。
4．【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意得，，，，，，
则由二分法可得近似解所在的区间为.
故答案为：C.
【分析】 二分法的核心是利用零点存在定理：若函数在区间端点处函数值异号，则区间内存在零点。通过逐步缩小区间范围，找到函数值异号的最小区间，即为近似解所在区间。
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量是单位向量，且，
则，可得，
则，又因为，所以，即与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直，数量积为零求得，再根据向量的夹角公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，其中 的夹角为，可得，
则 在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】先根据向量数量积公式求出，再代入投影向量公式，计算在上的投影向量。
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由可得，
即，也即，
故.
故答案为：D.
【分析】展开和差角正弦公式，整理化简得到与的关系，代入两角和的正切公式计算.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
又由，
则，
所以，
令，可得，则，
因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立，
则，所以，所以，
即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先利用向量数量积和余弦定理得到角B与边a的关系，再通过余弦定理、同角三角函数关系表示tanC，最后利用换元法结合基本不等式求最大值。
9．【答案】B,D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，根据向量的定义，表示向量的模，而表示向量，故A错误；
B，由，可得，故B正确；
C，在边长为1的正方形中，可得，所以，故C错误；
D，由向量，，因为，所以向量与不共线，所以与能作为平面内的一组基底，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量的基本概念、相反向量性质、向量模长公式、基底判定条件，逐一分析每个选项的正误。
10．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A：将点代入中得，，得，故A正确；
B：因，则当时，，
不是定值，故B错误；
C：因，则，故C正确；
D：由图象可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】将已知点代入函数解析式求出k，再根据函数表达式和单调性逐一分析各选项，判断其正确性。
11．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，因为，又，
所以，得到，
又三角形为锐角三角形，所以，，
则，得到，故A正确，
B，由，得到，
整理得到，故B正确，
C，因为，又由选项A知，
所以，得到，所以，
又，所以，
则，故C错误，
D，由选项C知，，
又
则，
设，令，
则，易知在上单调递增，
所以，即，
则，所以的取值范围是，故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】A：核心是利用展开，结合锐角三角形范围消去的情况，直接得到。
B：通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再代入余弦定理整理得到。
C：先确定的范围，再将化为辅助角公式，根据正弦函数单调性判断取值范围。
D：利用三倍角公式化简，将表达式转化为关于的函数，结合的范围求函数值域。
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，
因为与，可得，解得.
故答案为：.
【分析】先通过向量的数乘和加法运算求出的坐标，再利用两向量平行的坐标关系（交叉相乘相等）列方程，解出的值。
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由可得，
又，所以，因此可得；
又，所以，
因此，易知，
即.
故答案为：
【分析】先利用二倍角正弦公式化简等式，结合的范围求出，再用半角余弦公式，根据的范围确定的符号并计算结果。
14．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：
如图，作于点，由正弦定理，，
因，，故，
而，
故，
在中，.
故答案为：.
【分析】过点作于，先在中由内角和求出，再用正弦定理求，最后在中求，即到海岸线的距离。
15．【答案】（1）解：因复数，
则，.
（2）解：因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得：，
即，
故有，解得：，．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【分析】 (1) 先对复数进行除法运算化简，再计算其模长。
(2) 将复数根代入实系数二次方程，根据复数相等的条件列方程组求解。
（1）因复数，
则，.
（2）因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得：，
即，
故有，解得：，．
16．【答案】（1）解：由向量，可得，
因为，与的夹角为，所以；
（2）解：将，两边同时平方可得，即，解得或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量模的坐标表示求，再根据向量数量积公式求解即可；
（2）将两边同时平方得关于的方程，解一元二次方程求实数的值即可．
（1）解：由向量，所以，
因为，与的夹角为，可得.
（2）解：由，
因为，所以，即，
所以或.
17．【答案】（1）解：，
所以函数的最小正周期为；
当且仅当，即时，函数的最大值为4．
（2）解：因为，所以，即，
所以
．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先利用三角恒等变换将函数化简为 的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和最大值。
(2) 由已知条件求出 ，再通过三角恒等变换将目标式转化为关于 的表达式，代入计算。
（1），
所以函数的最小正周期为；
当且仅当，即时，函数的最大值为4．
（2）因为，所以，即，
所以
．
18．【答案】（1）解：因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）解：①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 由BD平分∠ABC得两角余弦相等，在△ABD和△CBD中分别用余弦定理表示BD2，列方程求解BD。
(2) ① 先在△ABD中用余弦定理求BD，再在△CBD中求角β，最后将两个三角形面积相加得四边形面积；② 分别在两个三角形中用余弦定理和面积公式，结合三角恒等变换推导面积最大时α+β=180°。
（1）因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
19．【答案】（1）解：已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形，
因为为的外心，即为的中心，
又因为，可得，且，因为，所以，
所以.

（2）解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，
可得，因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则，，
所以，
令，则，
所以，则，
所以；
②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
由，，
又由，
所以
，
因为，
所以，且，
所以，代入，
可得，
整理得，
显然，两边同时除以，可得，
令，，可得，
即，（☆）
所以，即，
解得，所以（即m）的最大值为．
此时，式子（☆）有两个相等的根，所以，
所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 利用菱形性质和 角确定 为等边三角形，求出外接圆半径及 ，通过向量数量积定义或坐标法计算。
(2) ① 设 的参数坐标，利用模长公式表示 ，通过三角函数换元求值域；
② 利用向量线性关系得出 的比例，将 转化为三角函数最值问题，再求解 。
（1）解：方法一、已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形，
因为为的外心，即为的中心，
又因为，可得，且，因为，所以，
所以.
方法二、以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为四边形为菱形，且，可得为等边三角形，
则，，，，
所以；
（2）解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则，，
所以，
令，则，
所以，则，
所以；
方法二：当共线时，取得最小值8，
在中，，
在中，，
所以，所以，
因为，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以；
②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得，
由，，
又由，
所以
，
因为，
所以，且，
所以，代入，
可得，
整理得，
显然，两边同时除以，可得，
令，，可得，
即，（☆）
所以，即，
解得，所以（即m）的最大值为．
此时，式子（☆）有两个相等的根，所以，
所以．
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