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2025年第33届WMO世界奥林匹克数学竞赛中国赛区省测（复测）九年级试题
一、选择题（每小题5分，共80分）
1．（2025·竞赛）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·竞赛）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的外接圆的面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．64π
3．（2025·竞赛）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为16m，宽为10m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（　　）
A．14m2 B．28m2 C．36m2 D．56m2
4．（2025·竞赛）如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，不能判定DE//BC的是（　　）
A．AD·AC=AE·AB B．AD·BC=DE·AB
C．∠B=∠ADE D．BD·AC=EC·AB
5．（2025·竞赛）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点，已知图中阴影部分的面积等于36，则这个反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·竞赛）如图，在三角形ABC中，∠ACB=2∠ABC，已知AB=1.5，AC=1，则BC=（　　）
A．1.25 B．1.5 C．2 D．1
7．（2025·竞赛）记m=2x+2y，其中x，y满足x2+y2=18，则m最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2025·竞赛）如图，在△ABC中，作∠BAC的角平分线，交BC于D，E为AD中点，若AD=6，AC=2，tan∠BED=2，则BE=（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
9．（2025·竞赛）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为10，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）
A．10 B．10 C．5 D．5
10．（2025·竞赛）规定f（x）=|x-3|，g（y）=|y+4|，例如f（-4）=|-4-3|=7，g（-4）=|-4+4|=0，下列结论中，正确的个数为（　　）
①若f（x）+g（y）=0，则2x-3y=18；②若x<-4，则f（x）+g（x）=-1-2x：
③能使f（x）=g（X）成立的x的值不存在；④式子f（x-1）+g（x+1）的最小值是7.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·竞赛）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
12．（2025·竞赛）如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=12，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC=60°，则△DBC面积的最大值是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
13．（2025·竞赛）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，且有一个内角为，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'。当五边形AB'BCD为正五边形时，的长为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025·竞赛）如图，在三角形ABC中，，DB为的角平分线，过A作，垂足为D，连接DC，若，则DC的最小值是（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·竞赛）如图，在直角三角形ABC中，AB=8，BC=6，D为AC中点，点P在AB上运动，连接PD、PC，当∠DPC最大时，AP的长度是（　　）
A．2 B．2 C．5 D．5
16．（2025·竞赛）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P、F分别是CD、AB的中点.若AB=4，则下列结论错误的是（　　）
A．PA+PB的最小值为2 B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为4
二、综合题（40分）
17．（2025·竞赛）（1）已知，且，求的值.
（2）已知，求的值.
18．（2025·竞赛）武汉是一座英雄的城市，特此发行了甲乙两种纪念品，某商店准备采购300件纪念品。已知购进40件甲种纪念品和30件乙种纪念品需要4700元，购进30件甲种纪念品和40件乙种纪念品需要4400元；其中甲种纪念品的售价为120元/件，乙种纪念品的售价为70元/件。
（1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的3倍，且利润不低于7460元，请通过计算说明商店有几种采购方案：
（3）若甲种纪念品每件售价降低5a（419．（2025·竞赛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形AB=8，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点
（1）如图1，求DP的长：
（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度：
（3）如图2，若点M是BC边上一动点，t=0时点M从B出发以每秒2个单位的速度向C点移动，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，连接AN，在020．（2025·竞赛）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（-1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD.
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点O，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标：
（3）如图2，过点C作CF//x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，A不符合题意；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，B符合题意；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，C不符合题意；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先判断出各个立体图形的主视图，再根据中心对称图形的定义判断其主视图是否符合题意.在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴点O即为内心，也是外心，且∠ABC=60°，
设切点为D，连接OD，OB，
∴∠ODB=90°，∠OBD=30°，
∴OB=2OD=4，
∴ △ABC的外接圆的面积为，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的三线合一得到点O即为内心，也是外心，然后连接OD，OB，根据30°角的直角三角形的性质得到OB=2OD=4，然后根据圆的面积公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于0.35，
所以小球落在不规则图案上的概率约为0.35，
则估计不规则图案的面积大约是16×10×0.35=56
故答案为：D.
【分析】根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估计概率求解即可.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ AD·AC=AE·AB，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故A不符合题意；
∵ AD·BC=DE·AB，
∴，但∠A=∠A不是夹角，不能得到△ADE∽△ABC，故B符合题意；
∵ ∠B=∠ADE ，
∴DE∥BC，故C不符合题意；
∵ BD·AC=EC·AB ，
∴，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定和性质逐项判断解答即可；
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
如图，∵正方形ABCD的中心在原点O，且 轴，
∴四边形AEOF为正方形.
∵点P (3a， a)，
∴点A的坐标为(3a， 3a).
∵正方形AEOF的面积=阴影部分的面积
解得 或 (舍去)，
∴这个反比例函数的解析式为
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质得四边形AEOF为正方形，则由点P(3a，a)可得点A的坐标为(3a，3a)，根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得正方形AEOF的面积=阴影部分的面积，得 然后根据反比例函数图象的坐标特征可求出k的值.
6．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长BC到点D，使得DC=AC=1，连接AD，则∠CAD=∠D，
∴∠ACB=2∠D=2∠CAD，
又∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠B=∠D=∠CAD，
∴AD=AB=1.5，
又∵∠D=∠D，
∴△DAC∽△DBA，
∴，即，
解得BD=2.25，
∴BC=BD-CD=2.25-1=1.25，
故答案为：A.
【分析】延长BC到点D，使得DC=AC=1，连接AD，即可得到∠B=∠D=∠CAD，进而得到AD=AB=1.5，然后证明△DAC∽△DBA，根据对应边成比例求出DB长解答即可.
7．【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵m=2x+2y，
∴y=，
代入x2+y2=18得，
整理得，
∵方程有实数根，
∴，
解得-12≤m≤12，
∴m的最大值为12，
故答案为：D.
【分析】根据题意得到y=，然后代入x2+y2=18得，然后根据方程有实数根得到，求出m的取值范围解答即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点 C作 交BA 的延长线于F， 延长BE交CF 于G， 连接AG，
则
又
，
又AE=ED，
∴FG=CG，
∴AG⊥CF， ∠4=∠5，
∴AD⊥AG.
由 得
由 得
解得
故答案为：D.
【分析】过点 C作 交BA 的延长线于F， 延长BE交CF 于G， 连接AG，即可得到AF=AC，然后根据平行线得到即可根据对应边成比例求出FG=CG， 进而得到AG⊥CF， ∠4=∠5， 然后根据正切的定义求出AG=6，再根据勾股定理求出FG和EG的长，根据对应边成比例解答即可.
9．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OC， OM、CM， 如图，
∵M为PQ的中点，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点 M 运动的轨迹为 的中位线，
∴点 M 所经过的路线长
故答案为：D.
【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到 则OM=CM，于是可判断点 M在 OC的垂直平分线上，则点 M 运动的轨迹为 的中位线，然后根据三角形中位线性质求解.
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：①∵f(x)=|x﹣3|， g(y)=|y+4|， f(x)+g(y)=0，
∴|x-3|+|y+4|=0，
∴x-3=0，y+4=0，
∴x=3， y=-4，
∴2x-3y=2×3-3×(-4)=6-(-12)=6+12=18，
∴①的结论正确；
②∵f(x)=|x-3|， g(x)=|x+4|，
∴f(x)+g(x)=|x-3|+|x+4|，
∵x<-4，
∴x+4<0，
∴x-3<0，
∴f(x)+g(x)=-x+3-x-4=1-2x.∴②的结论正确；
③∵f(x)=|x-3|， g(x)=|x+4|，
∴当-4≤x≤3时， 由于|x-3| = 3-x， |x+4|=-x-4，
∴当f(x)=g(x)时， 3-x=-x﹣4，
∴③的结论不正确；
④∵f(x+1)=|x+1-3|=|x-2|， g(x-1)=|x-1+4|=|x+3|，
∴f(x+1)+g(x﹣1)=|x﹣2|+|x+3|，
当x<-3时， f(x+1)+g(x-1)=2-x-x-3 = - 2x-1， 没有最小值；
当-3≤x<2时， f(x+1)+g(x-1)=2-x+x+3=5；
当x≥2时， f(x+1)+g(x-1)=x-2+x+3=2x+1， 最小值为5，
∴④的结论不正确.
综上，结论正确的有：①②.
故答案为：B.
【分析】利用新定义的规定，列出算式，再利用非负数的意义，绝对值的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论.
11．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线l： 与x轴、y轴分别交于A、B，
在 中，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则
设P(x， 0)，
∴⊙P的半径
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0， 2， 4， 6， 8， 10， 6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6.
故答案是：D.
【分析】根据直线的解析式求得 进而求得OA=12，根据切线的性质求得 根据 求得 然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数.
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆-动点问题；定角定弦辅助圆模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，作 于H，
，
，
以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长HA交⊙A于点D，
∴点D在⊙O上运动，当D运动到如图的位置时，△DBC面积的最大值，最大值为：
故答案为：D.
【分析】因为 可得 以A为圆心，AB为半径作⊙A，与HA的延长线相交于点D，因为 所以点D在⊙A上运动，当D运动到如图的位置时， 面积最大，根据三角形面积公式即可得出 面积的最大值.
13．【答案】C
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；正多边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接BC'，AC'.
∵五边形A'B'BCD为正五边形，
∴∠CDA'=108°，
.∵菱形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转得到菱形，
∠ADA'=∠ADC'=36°，
∴点C'在对角线BD上，∠ABC'=36°.
由旋转的性质知AD=AB=DC'=6，
∴∠DC'A=∠DAC'=72°，
∴∠C'AB=36°，
∴AC'=BC'.
设AC'=BC'=x，则 BD=x+6.
∵∠BDA=∠BAC=36°，∠C'BA=∠ABD，
∴△BDA∽△BAC'，
∴DA： AC'=BD： BA，
即6：x=(x+6)：6，
整理得
解得x= ((负值舍去).
∵，
=
故答案为：C.
【分析】先计算得出∠CDC’=∠ADA'=∠ADC’=36°，得到点C在对角线BD上， 再证明△BDA∽△BAC，求得BP=CA=CB= ，进一步计算即可求解.
14．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆-动点问题；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，作△ACB的外接圆⊙O，延长BD交⊙O于点E，连接AE，CE.
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=
∠ACE=∠ABE=30°，
∴∠CAE=∠ACE.
∴AE=CE.
过点E作EH⊥AC于点H，取AE的中点P，AH的中点F，连接PD，PC，PF，
.
∴AF=FH=
在Rt△AEH中，AE=2EH，由勾股定理可得
解得EH=2(舍负).
∴AE=4.
∵P，F分别为AE，AH的中点，
∴PF∥EH，PF=.
∴∠PFC=∠EHC=90°.
在Rt△PFC中，由勾股定理可得
在中，DP=.
即2.
∴CD的最小值为
故答案为：A.
【分析】作△ACB的外接圆⊙O，延长BD交⊙O于E，连接AE，CE.利用同弧所对的圆周角相等，结合角平分线，证明∠CAE=∠ACE，得AE=CE；作EH⊥AC，取AE的中点P，AH的中点F，连接PD，PC，PF，根据AC的长求出AH，CH，AF，FH，CF的长，再利用勾股定理求出EH的长，得AE，PF的长，再利用勾股定理求出PC的长；在中求出DP的长，结合三角形的三边关系求出BC的最小值.
15．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；切割线定理模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ AB=8，BC=6，
∴，
∵ D为AC中点，
∴AD=DC=5，
以BC为弦作圆O与AB相切于点P，然后在AB上取点P'，连接CP'交圆O于点E，
则∠CP'D≤∠CED=∠CPD，即∠CPD最大，
根据切割线定理得到，
∴，
故答案为：C.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，然后根据中点的定义得到AD长，然后以BC为弦作圆O与AB相切于点P，则∠CPD最大，根据切割线定理解答即可.
16．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线如图：
和是等边三角形，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB=4知等边三角形ABM的高为
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值故选项A正确，不符合题意；
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF为等边三角形ABM的高，
'的最小值为，故选项B正确，不符合题意；
过D作于K，过C作于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE=2m，则BE=4-2m，
∴AK=KE=m，BT=ET=2-m，DKm，
∴当m=1时，四边形ABCD面积的最小值为，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值判断选项A错误；由PM=PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT=KE+TE=有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE=2m，可得即知四边形ABCD面积的最小值为，判断选项D正确.
17．【答案】（1）解：
又
（2）解：
当时，原式=.

【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形解答即可；
（2）先同分化简二次根式，然后代入x的值解答即可。
18．【答案】（1）解：设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，由题意得：
解得：
答：甲纪念品每件的进价为80元，乙纪念品每件的进价为50元；
（2）解：设甲种纪念品数量为m，则乙种纪念品的数量为(300-m)，
∴根据题意可得，
∴解得73≤m≤75.
∵m为正整数，
∴m=73，74，75，
①甲种纪念品73件，乙种纪念品227件
②甲种纪念品74件，乙种纪念品226件
③甲种纪念品75件，乙种纪念品225件；
（3）解：若甲种纪念品每件售价降低5a(4∴w=(120-80-5a)m+(70-50)(300-m)
=(20-5a)m+6000，
∵4∴-20<20-5a<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=73时，w=5635，
∴(20-5a)×73+6000=5635，
∴解得a=5.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
(2)设甲种纪念品数量为m，则乙种纪念品的数量为(300-m)，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；
(3)设该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为w，得到w=(20-5a)m+6000，然后根据419．【答案】（1）解：如图1，连接OD，OC，
∵PC、PD是O的两条切线，C.D为切点，
∵四边形ABCD是O的内接正方形，
∴四边形DOCP是正方形，
；

（2）解：如图1，连接EO，OP，
∵点E是BC的中点，
则
（3）解：如图2，在AB上截取BF=BM，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°
∴∠FAM=∠NMC，
∴∠FAM+∠AMB=∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠AMN=90°，
∵由(1)得：PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=135°，
∵∠AFM=180°-∠BFM=135°，
在△AFM和△CMN中
∴△AFM≌△CMN(ASA)，
∴AM=MN.
∴，
∴当t=3s时，AM最大，三角形AMN面积有最大值，最大值为：50.
【知识点】正方形的判定与性质；切线的判定；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出O的半径即可；
(2)利用垂径定理得出进而利用勾股定理得出即可；
(3)在AB上截取BF=BM，利用(1)中所求，得出，再利用全等三角形的判定与性质得出△AMN是等腰直角三角形，然后根据勾股定理表示面积并求出最大值即可.
20．【答案】（1）解：把A(3，0)，D(-1，0)代入+c得到
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图1中，
∴E(1，4)，
∵A(3，0)，B(0，1)，
∴直线BE的解析式为y=3x+1，直线AB的解析式为
作交EM于Q，
满足条件，此时Q(1，1).
当点Q在AB的下方时，设Q(1，m)，AB交EM于K.易知
解得
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(1，1)或
（3）解：如图，
由题意可知当点N的纵坐标为：±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，
当y=2时，解得，可得
当y=-2时，解得可得.当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，此时N5(1，4)，
综上所述，满足条件的点N的坐标为或或或或(1，4).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)首先证明，分两种情形求解①作M交EM于Q，由推出满足条件，此时Q(1，1).
②当点Q在AB的下方时，设Q(1，m)，AB交EM于K.易知由可得Q列出方程即可解决问题；
(3)由题意可知当点N的纵坐标为：±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，由此即可解决问题；
1 / 12025年第33届WMO世界奥林匹克数学竞赛中国赛区省测（复测）九年级试题
一、选择题（每小题5分，共80分）
1．（2025·竞赛）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，A不符合题意；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，B符合题意；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，C不符合题意；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先判断出各个立体图形的主视图，再根据中心对称图形的定义判断其主视图是否符合题意.在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2025·竞赛）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的外接圆的面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．64π
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴点O即为内心，也是外心，且∠ABC=60°，
设切点为D，连接OD，OB，
∴∠ODB=90°，∠OBD=30°，
∴OB=2OD=4，
∴ △ABC的外接圆的面积为，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的三线合一得到点O即为内心，也是外心，然后连接OD，OB，根据30°角的直角三角形的性质得到OB=2OD=4，然后根据圆的面积公式计算即可.
3．（2025·竞赛）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为16m，宽为10m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（　　）
A．14m2 B．28m2 C．36m2 D．56m2
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于0.35，
所以小球落在不规则图案上的概率约为0.35，
则估计不规则图案的面积大约是16×10×0.35=56
故答案为：D.
【分析】根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估计概率求解即可.
4．（2025·竞赛）如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，不能判定DE//BC的是（　　）
A．AD·AC=AE·AB B．AD·BC=DE·AB
C．∠B=∠ADE D．BD·AC=EC·AB
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ AD·AC=AE·AB，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故A不符合题意；
∵ AD·BC=DE·AB，
∴，但∠A=∠A不是夹角，不能得到△ADE∽△ABC，故B符合题意；
∵ ∠B=∠ADE ，
∴DE∥BC，故C不符合题意；
∵ BD·AC=EC·AB ，
∴，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定和性质逐项判断解答即可；
5．（2025·竞赛）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点，已知图中阴影部分的面积等于36，则这个反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
如图，∵正方形ABCD的中心在原点O，且 轴，
∴四边形AEOF为正方形.
∵点P (3a， a)，
∴点A的坐标为(3a， 3a).
∵正方形AEOF的面积=阴影部分的面积
解得 或 (舍去)，
∴这个反比例函数的解析式为
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质得四边形AEOF为正方形，则由点P(3a，a)可得点A的坐标为(3a，3a)，根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得正方形AEOF的面积=阴影部分的面积，得 然后根据反比例函数图象的坐标特征可求出k的值.
6．（2025·竞赛）如图，在三角形ABC中，∠ACB=2∠ABC，已知AB=1.5，AC=1，则BC=（　　）
A．1.25 B．1.5 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长BC到点D，使得DC=AC=1，连接AD，则∠CAD=∠D，
∴∠ACB=2∠D=2∠CAD，
又∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠B=∠D=∠CAD，
∴AD=AB=1.5，
又∵∠D=∠D，
∴△DAC∽△DBA，
∴，即，
解得BD=2.25，
∴BC=BD-CD=2.25-1=1.25，
故答案为：A.
【分析】延长BC到点D，使得DC=AC=1，连接AD，即可得到∠B=∠D=∠CAD，进而得到AD=AB=1.5，然后证明△DAC∽△DBA，根据对应边成比例求出DB长解答即可.
7．（2025·竞赛）记m=2x+2y，其中x，y满足x2+y2=18，则m最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵m=2x+2y，
∴y=，
代入x2+y2=18得，
整理得，
∵方程有实数根，
∴，
解得-12≤m≤12，
∴m的最大值为12，
故答案为：D.
【分析】根据题意得到y=，然后代入x2+y2=18得，然后根据方程有实数根得到，求出m的取值范围解答即可.
8．（2025·竞赛）如图，在△ABC中，作∠BAC的角平分线，交BC于D，E为AD中点，若AD=6，AC=2，tan∠BED=2，则BE=（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点 C作 交BA 的延长线于F， 延长BE交CF 于G， 连接AG，
则
又
，
又AE=ED，
∴FG=CG，
∴AG⊥CF， ∠4=∠5，
∴AD⊥AG.
由 得
由 得
解得
故答案为：D.
【分析】过点 C作 交BA 的延长线于F， 延长BE交CF 于G， 连接AG，即可得到AF=AC，然后根据平行线得到即可根据对应边成比例求出FG=CG， 进而得到AG⊥CF， ∠4=∠5， 然后根据正切的定义求出AG=6，再根据勾股定理求出FG和EG的长，根据对应边成比例解答即可.
9．（2025·竞赛）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为10，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OC， OM、CM， 如图，
∵M为PQ的中点，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点 M 运动的轨迹为 的中位线，
∴点 M 所经过的路线长
故答案为：D.
【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到 则OM=CM，于是可判断点 M在 OC的垂直平分线上，则点 M 运动的轨迹为 的中位线，然后根据三角形中位线性质求解.
10．（2025·竞赛）规定f（x）=|x-3|，g（y）=|y+4|，例如f（-4）=|-4-3|=7，g（-4）=|-4+4|=0，下列结论中，正确的个数为（　　）
①若f（x）+g（y）=0，则2x-3y=18；②若x<-4，则f（x）+g（x）=-1-2x：
③能使f（x）=g（X）成立的x的值不存在；④式子f（x-1）+g（x+1）的最小值是7.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：①∵f(x)=|x﹣3|， g(y)=|y+4|， f(x)+g(y)=0，
∴|x-3|+|y+4|=0，
∴x-3=0，y+4=0，
∴x=3， y=-4，
∴2x-3y=2×3-3×(-4)=6-(-12)=6+12=18，
∴①的结论正确；
②∵f(x)=|x-3|， g(x)=|x+4|，
∴f(x)+g(x)=|x-3|+|x+4|，
∵x<-4，
∴x+4<0，
∴x-3<0，
∴f(x)+g(x)=-x+3-x-4=1-2x.∴②的结论正确；
③∵f(x)=|x-3|， g(x)=|x+4|，
∴当-4≤x≤3时， 由于|x-3| = 3-x， |x+4|=-x-4，
∴当f(x)=g(x)时， 3-x=-x﹣4，
∴③的结论不正确；
④∵f(x+1)=|x+1-3|=|x-2|， g(x-1)=|x-1+4|=|x+3|，
∴f(x+1)+g(x﹣1)=|x﹣2|+|x+3|，
当x<-3时， f(x+1)+g(x-1)=2-x-x-3 = - 2x-1， 没有最小值；
当-3≤x<2时， f(x+1)+g(x-1)=2-x+x+3=5；
当x≥2时， f(x+1)+g(x-1)=x-2+x+3=2x+1， 最小值为5，
∴④的结论不正确.
综上，结论正确的有：①②.
故答案为：B.
【分析】利用新定义的规定，列出算式，再利用非负数的意义，绝对值的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论.
11．（2025·竞赛）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线l： 与x轴、y轴分别交于A、B，
在 中，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则
设P(x， 0)，
∴⊙P的半径
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0， 2， 4， 6， 8， 10， 6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6.
故答案是：D.
【分析】根据直线的解析式求得 进而求得OA=12，根据切线的性质求得 根据 求得 然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数.
12．（2025·竞赛）如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=12，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC=60°，则△DBC面积的最大值是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆-动点问题；定角定弦辅助圆模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，作 于H，
，
，
以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长HA交⊙A于点D，
∴点D在⊙O上运动，当D运动到如图的位置时，△DBC面积的最大值，最大值为：
故答案为：D.
【分析】因为 可得 以A为圆心，AB为半径作⊙A，与HA的延长线相交于点D，因为 所以点D在⊙A上运动，当D运动到如图的位置时， 面积最大，根据三角形面积公式即可得出 面积的最大值.
13．（2025·竞赛）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，且有一个内角为，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'。当五边形AB'BCD为正五边形时，的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；正多边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接BC'，AC'.
∵五边形A'B'BCD为正五边形，
∴∠CDA'=108°，
.∵菱形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转得到菱形，
∠ADA'=∠ADC'=36°，
∴点C'在对角线BD上，∠ABC'=36°.
由旋转的性质知AD=AB=DC'=6，
∴∠DC'A=∠DAC'=72°，
∴∠C'AB=36°，
∴AC'=BC'.
设AC'=BC'=x，则 BD=x+6.
∵∠BDA=∠BAC=36°，∠C'BA=∠ABD，
∴△BDA∽△BAC'，
∴DA： AC'=BD： BA，
即6：x=(x+6)：6，
整理得
解得x= ((负值舍去).
∵，
=
故答案为：C.
【分析】先计算得出∠CDC’=∠ADA'=∠ADC’=36°，得到点C在对角线BD上， 再证明△BDA∽△BAC，求得BP=CA=CB= ，进一步计算即可求解.
14．（2025·竞赛）如图，在三角形ABC中，，DB为的角平分线，过A作，垂足为D，连接DC，若，则DC的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆-动点问题；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，作△ACB的外接圆⊙O，延长BD交⊙O于点E，连接AE，CE.
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=
∠ACE=∠ABE=30°，
∴∠CAE=∠ACE.
∴AE=CE.
过点E作EH⊥AC于点H，取AE的中点P，AH的中点F，连接PD，PC，PF，
.
∴AF=FH=
在Rt△AEH中，AE=2EH，由勾股定理可得
解得EH=2(舍负).
∴AE=4.
∵P，F分别为AE，AH的中点，
∴PF∥EH，PF=.
∴∠PFC=∠EHC=90°.
在Rt△PFC中，由勾股定理可得
在中，DP=.
即2.
∴CD的最小值为
故答案为：A.
【分析】作△ACB的外接圆⊙O，延长BD交⊙O于E，连接AE，CE.利用同弧所对的圆周角相等，结合角平分线，证明∠CAE=∠ACE，得AE=CE；作EH⊥AC，取AE的中点P，AH的中点F，连接PD，PC，PF，根据AC的长求出AH，CH，AF，FH，CF的长，再利用勾股定理求出EH的长，得AE，PF的长，再利用勾股定理求出PC的长；在中求出DP的长，结合三角形的三边关系求出BC的最小值.
15．（2025·竞赛）如图，在直角三角形ABC中，AB=8，BC=6，D为AC中点，点P在AB上运动，连接PD、PC，当∠DPC最大时，AP的长度是（　　）
A．2 B．2 C．5 D．5
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；切割线定理模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ AB=8，BC=6，
∴，
∵ D为AC中点，
∴AD=DC=5，
以BC为弦作圆O与AB相切于点P，然后在AB上取点P'，连接CP'交圆O于点E，
则∠CP'D≤∠CED=∠CPD，即∠CPD最大，
根据切割线定理得到，
∴，
故答案为：C.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，然后根据中点的定义得到AD长，然后以BC为弦作圆O与AB相切于点P，则∠CPD最大，根据切割线定理解答即可.
16．（2025·竞赛）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P、F分别是CD、AB的中点.若AB=4，则下列结论错误的是（　　）
A．PA+PB的最小值为2 B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线如图：
和是等边三角形，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB=4知等边三角形ABM的高为
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值故选项A正确，不符合题意；
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF为等边三角形ABM的高，
'的最小值为，故选项B正确，不符合题意；
过D作于K，过C作于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE=2m，则BE=4-2m，
∴AK=KE=m，BT=ET=2-m，DKm，
∴当m=1时，四边形ABCD面积的最小值为，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值判断选项A错误；由PM=PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT=KE+TE=有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE=2m，可得即知四边形ABCD面积的最小值为，判断选项D正确.
二、综合题（40分）
17．（2025·竞赛）（1）已知，且，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：
又
（2）解：
当时，原式=.

【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形解答即可；
（2）先同分化简二次根式，然后代入x的值解答即可。
18．（2025·竞赛）武汉是一座英雄的城市，特此发行了甲乙两种纪念品，某商店准备采购300件纪念品。已知购进40件甲种纪念品和30件乙种纪念品需要4700元，购进30件甲种纪念品和40件乙种纪念品需要4400元；其中甲种纪念品的售价为120元/件，乙种纪念品的售价为70元/件。
（1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的3倍，且利润不低于7460元，请通过计算说明商店有几种采购方案：
（3）若甲种纪念品每件售价降低5a（4【答案】（1）解：设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，由题意得：
解得：
答：甲纪念品每件的进价为80元，乙纪念品每件的进价为50元；
（2）解：设甲种纪念品数量为m，则乙种纪念品的数量为(300-m)，
∴根据题意可得，
∴解得73≤m≤75.
∵m为正整数，
∴m=73，74，75，
①甲种纪念品73件，乙种纪念品227件
②甲种纪念品74件，乙种纪念品226件
③甲种纪念品75件，乙种纪念品225件；
（3）解：若甲种纪念品每件售价降低5a(4∴w=(120-80-5a)m+(70-50)(300-m)
=(20-5a)m+6000，
∵4∴-20<20-5a<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=73时，w=5635，
∴(20-5a)×73+6000=5635，
∴解得a=5.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
(2)设甲种纪念品数量为m，则乙种纪念品的数量为(300-m)，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；
(3)设该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为w，得到w=(20-5a)m+6000，然后根据419．（2025·竞赛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形AB=8，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点
（1）如图1，求DP的长：
（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度：
（3）如图2，若点M是BC边上一动点，t=0时点M从B出发以每秒2个单位的速度向C点移动，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，连接AN，在0【答案】（1）解：如图1，连接OD，OC，
∵PC、PD是O的两条切线，C.D为切点，
∵四边形ABCD是O的内接正方形，
∴四边形DOCP是正方形，
；

（2）解：如图1，连接EO，OP，
∵点E是BC的中点，
则
（3）解：如图2，在AB上截取BF=BM，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°
∴∠FAM=∠NMC，
∴∠FAM+∠AMB=∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠AMN=90°，
∵由(1)得：PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=135°，
∵∠AFM=180°-∠BFM=135°，
在△AFM和△CMN中
∴△AFM≌△CMN(ASA)，
∴AM=MN.
∴，
∴当t=3s时，AM最大，三角形AMN面积有最大值，最大值为：50.
【知识点】正方形的判定与性质；切线的判定；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出O的半径即可；
(2)利用垂径定理得出进而利用勾股定理得出即可；
(3)在AB上截取BF=BM，利用(1)中所求，得出，再利用全等三角形的判定与性质得出△AMN是等腰直角三角形，然后根据勾股定理表示面积并求出最大值即可.
20．（2025·竞赛）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（-1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD.
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点O，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标：
（3）如图2，过点C作CF//x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A(3，0)，D(-1，0)代入+c得到
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图1中，
∴E(1，4)，
∵A(3，0)，B(0，1)，
∴直线BE的解析式为y=3x+1，直线AB的解析式为
作交EM于Q，
满足条件，此时Q(1，1).
当点Q在AB的下方时，设Q(1，m)，AB交EM于K.易知
解得
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(1，1)或
（3）解：如图，
由题意可知当点N的纵坐标为：±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，
当y=2时，解得，可得
当y=-2时，解得可得.当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，此时N5(1，4)，
综上所述，满足条件的点N的坐标为或或或或(1，4).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)首先证明，分两种情形求解①作M交EM于Q，由推出满足条件，此时Q(1，1).
②当点Q在AB的下方时，设Q(1，m)，AB交EM于K.易知由可得Q列出方程即可解决问题；
(3)由题意可知当点N的纵坐标为：±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，由此即可解决问题；
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