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2026年江苏无锡宜兴市九年级数学中考一模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.若正方形的边长为3，则它的对角线长为（ ）
A. B. C. D.
3.下列图形中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
4.已知，，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 8
5.下列事件中，确定事件为（）
A. 在北半球看，太阳从西边升起 B. 未来三天会下雨
C. 打开电视，正在播放广告 D. 任意两个等腰三角形是相似三角形
6.如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. 磁悬浮试验线的全长为公里 B. 磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟
C. 传统高铁线路的运行时间为分钟 D. 测试列车实际运行时间为分钟
8.某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图：
根据以上数据，下列推断错误的是（ ）
A. 周岁人群理财人数最多 B. 周岁人群理财总费用最少
C. 理财产品更受理财人青睐 D. 年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
9.菱形的三个顶点，，在双曲线上，其中，在第一象限，在的左侧，且经过原点．若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.无锡市锡惠公园有一座龙光塔，具有悠久的历史底蕴．数学兴趣小组在清明假期进行社会实践，利用激光测距仪和手机（能测量长度和角度）测量塔高．如图所示，因路段原因，小组无法到达塔底进行测高，于是选择在离塔一定距离的公路上测距．如图所示，将塔简化为线段，他们在这条路上选取了两个点和，设的长为，根据下列数据，能测出塔高的有（ ）
①，，， ②，，，
③，，， ④，，，
A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ②④
二、填空题：本题共8小题，共27分。
11.表现无锡市近几年人均变化趋势应选用 统计图．
12.2026年春节，无锡地铁客运量达932.8万人次．用科学记数法表示数据932.8万为 ．
13.因式分解x3－9x= ．
14.使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为 ．
15.已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为 ．
16.二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为 ．
17.如图，是圆的内接三角形，且，是圆直径．在圆外，且．，．
(1) 的长为 ；
(2) 的长为 ．
18.在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点．
(1) 求的取值范围；
(2) 若，求这两个交点纵坐标之差的绝对值．
20.(本小题6分)
已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长度．
21.(本小题6分)
2026米兰冬奥会吉祥物是两只雪貂，名字分别叫“蒂娜”和“米洛”．某商店出售这两种吉祥物的毛绒玩具，每种玩具的售价相同．现有2个蒂娜和2个米洛混放在一个展示箱中，这些玩具除造型外都相同．
(1) 从箱中任意摸出1个玩具，摸到米洛的概率是 ．
(2) 从箱中任意摸出1个玩具，记录造型后不放回，再从中任意摸出1个玩具，记录造型，求两次摸到的玩具是同一造型的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22.(本小题6分)
某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况．
(1) 根据表中数据，补全条形统计图；
(2) 扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为 （保留位有效数字）：各组中极差最大的组是 ；前三组中视力标准差最大的组为 ；
(3) 某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说．
23.(本小题6分)
无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克．
时间/天
售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格
销量/千克
储存和损耗费用/元
(1) 因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为 ．
(2) 求销售利润随的函数表达式；
(3) 这14天中日销售利润不低于930元的有 天．
24.(本小题6分)
如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，，，求面积的最大值．
25.(本小题6分)
综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为．
(1) 当时，证明：，并据此完成填空；
(2) 证明：．
26.(本小题7分)
如图为三条平行线，在上，在上，．
(1) 若，为等腰直角三角形，则直线与所成锐角的余弦值为 ；
(2) 若为等边三角形，请用无刻度的直尺与圆规在图中作出；
(3) 若为等边三角形，直线与所成锐角为，求关于的函数表达式．
27.(本小题7分)
已知函数交轴于点．
(1) 若该函数的图象与轴只有一个交点，求；
(2) 若当且仅当，求该函数在时的最小值；
(3) 若该函数的图象交轴于，，通过计算说明是否存在正数，使得．
28.(本小题7分)
按要求完成下面各题．
(1) 如图1，在锐角中，是边上的中线，是边上的高．
①若，，，则_________；
②若，证明：．
(2) 如图2，在中，，，是，边上的动点，且，在，运动的过程中，始终满足．若，求的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】折线
12.【答案】
13.【答案】x（x+3）（x-3）
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】

【小题2】

18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：联立解析式得，
整理得，，
∴，
解得，
根据反比例函数得，，
∴的取值范围为且；
【小题2】
解：当时，
联立解析式得，，
解得，
当时，，
当时，，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：证明：∵，是圆的切线，
∴，，，
又∵，
∴，
【小题2】
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：记2个蒂娜为、，2个米洛为，
列表如下：
——
——
——
——
∴共有12种可能结果，其中两次摸到的玩具是同一造型的有4种，
∴两次摸到的玩具是同一造型的概率．

22.【答案】【小题1】
解：统计各视力段的人数： ，共人；
，共人；
根据人数补全条形统计图：：对应高度格；
：对应高度格；如图：
【小题2】
第组和第组
第组
【小题3】
同学，从统计结果能看出来，咱们班九成同学视力都不到，大多和不良用眼习惯有关．长期熬夜打游戏非常损伤视力，一旦视力下降变成近视，日常运动、生活都会很不方便，戴眼镜也会带来很多额外的不便，还会影响未来的升学和职业选择；所以一定要控制打游戏的时间，早睡作息规律，好好保护自己的视力呀！

23.【答案】【小题1】
10%
【小题2】
解：结合（1）得，第一次降价后的价格为（元），
当时，
，
当时，
，
综上可知：，
【小题3】
6

24.【答案】【小题1】
证明：过点作与的延长线交于点，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴
∴
∴
∴
∴；
【小题2】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴当最大时，面积最大，
∵，是边上的中线，
∴
∴点在以为直径的圆上运动，
过点作于点，
∴，
∴的面积最大值为，
∴面积的最大值为．

25.【答案】【小题1】
解：记左边点F为，右边点F为，则，
过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为，
则四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
∴，
∴在两倍焦距处成倒立等大的实像；
【小题2】
证明：由（1）得，
∴，
∴两边取倒数得：，
∴两边同时除以得：，即．

26.【答案】【小题1】

【小题2】
解：作等边，，
作直线，交于点C，交于点，
相当于把直线逆时针旋转，
连接，
以为边作等边，
则即为所求；
【小题3】
解：设交于点M，过点A作于点E，过点B作于点G，过点C作于点F，
，
，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
直线与所成锐角是，
∵，
∴
∴．

27.【答案】【小题1】
解：当时，原函数为，此时与轴有一个交点为，故符合题意；
当时，
∵函数的图象与轴只有一个交点，
∴，
解得，
综上，a的值为0或；
【小题2】
解：∵当且仅当，
∴当时，，
代入，得，
解得，
∴，
∴对称轴为直线，
∵抛物线的开口向上，
∴当，即时，y随x的增大而减小，
又，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当，即时，函数在处取最小值，最小值为；
当时，y随x的增大而增大，
又，
∴当时，y有最小值，最小值为；
综上，当时，最小值为；当时最小值为；当时，最小值为；
【小题3】
解：令，则，
∴，
设，，
∴，，
令，则，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
令，
当时，；当时，，
∴在之间，存在正数a，使，
∴存在正数a，使得．

28.【答案】【小题1】
解：①∵，，是中线，
∴，，
∴，
由，
得，
解得，
在中，；
②过点作于，
∵，
∴，
∴，
又∵是中点，
∴，
∴ ，
和，，，
两式相减得，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：在中，，，设，，
∴．
∵，，
设
∵，
∴
∴
即
由
设，则
解得：（取较小的解），则，即
又∵，，
∴
∴是方程的两个根，
设为较小根，则
又∵，
∴
解得：，
∴，
∵即，
∴，
∴当为较小边时，取得最大值，
∴当时，，，，
当重合时，，
∴．

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