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2025-2026学年北京市海淀区中关村中学知春分校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A. B. C. D.
2.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射.长征二号F（代号：CZ-2F，简称：长二F，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是8500千克.将8500用科学记数法表示应为（　　）
A. 85×102 B. 8.5×102 C. 8.5×103 D. 0.85×104
3.下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，直线a∥b,直线l与a,b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1=55°，则∠2的大小为（　　）
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 125°
5.已知m+3＜0，则下列结论正确的是（　　）
A. -3＜m＜-m＜3 B. m＜-3＜-m＜3 C. -3＜m＜3＜-m D. m＜-3＜3＜-m
6.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.不透明的袋子中装有两个黄球和一个红球，除颜色外三个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到黄球的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，∠ABC=90°，BA=BC，BM是∠ABC内部的射线且∠CBM＜45°，过点A作AD⊥BM于点D，过点C作CE⊥BM于点E，在DA上取点F，使得DF=DE，连接EF.设CE=a,BE=b,EF=c,给出下面三个结论：①；②；③.上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：xy2-4x= ．
11.如图，在 ABCD中，点E在BC上且EB=2EC，AE与BD交于点F.若BD=5，则BF的长为 .
12.方程的解为 .
13.在平面直角坐标系xOy中，若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1 y2（填“＞”“=”或“＜”）.
14.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．
15.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C.若∠P=40°，则∠A= °.
16.某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤.某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 9 7 6 4
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解不等式组：.
19.(本小题5分)
已知x2-3x-6=0，求代数式的值.
20.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE.
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）连接BD交AE于点F.若∠BCD=90°，cos∠DBC=，BD=2，求EC的长.
21.(本小题6分)
为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如表：
北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）
供水类型 阶梯 户年用水量（立方米） 水价 其中
水费 水资源费 污水处理费
自来水 第一阶梯 0-180（含） 5 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 181-260（含） 7 4.07
第三阶梯 260以上 9 6.07
某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象过点A（0，3）和B（-2，1），与过点（0，5）且平行于x轴的直线交于点C.
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值小于y=kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.
23.(本小题5分)
为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式.该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.18名学生的身高：
170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186
b.18名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
178 m n
（1）写出表中m,n的值；
（2）该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：
甲组学生的身高 175 177 177 178 178 181
乙组学生的身高 170 174 174 176 177 179
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好.
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
（3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178.在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______.
24.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且，连接AF.
（1）求证：AF=CD；
（2）连接BF，BD.若AE=2，BF=6，求BD的长.
25.(本小题5分)
某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律.记果树的生长时间为x（单位：年），甲种果树的平均高度为y1（单位：米），乙种果树的平均高度为y2（单位：米）.记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
y1 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00
y2 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
对以上数据进行分析，补充完成以下内容.
（1）可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象；
（2）当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为______年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为______米（结果保留小数点后两位）；
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为______年（结果保留小数点后一位）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-（2+m）x+2m的对称轴为直线x=t.
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点A（-t,y1），B（t,y2），C（t+1，y3）在该抛物线上.若抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.
27.(本小题7分)
在△ABC中，AB=AC，0°＜∠BAC＜60°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD.将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE.
（1）如图1，求证：EA∥BC；
（2）延长BC到点F，使得CF=CB，连接DF交AC于点M，依题意补全图2.若点M是AC的中点，用等式表示线段MF，MD，DE之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧上存在三个点A，B，C，使得△ABC是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”.例如，图1中的点P是线段MN的一个“关联点”.特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联点”.
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0）.
（1）如图2，在点C1（1，-3），C2（1，0），，C4（2，1）中，是线段OA的“关联点”的是______；
（2）点B在直线上.存在点P，是线段OA的“关联点”，也是线段OB的“强关联点”.
①直接写出点B的坐标；
②动点D在第四象限且AD=2，记∠OAD=α.若存在点Q，使得点Q是线段AD的“关联点”，也是OB的“关联点”，直接写出α及线段AQ的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x≥2
10.【答案】x（y+2）（y-2）
11.【答案】2
12.【答案】x=1
13.【答案】＞
14.【答案】1
15.【答案】25
16.【答案】26
16

17.【答案】解：原式=2-+2-2×+5
=2-+2-+5
=7．
18.【答案】解：，
由①得x＞-3，
由②得x＞1，
所以，不等式组的解集为x＞1．
19.【答案】解：∵x2-3x-6=0，
∴x2-3x=6，
∴
=
=
=
=
=
=3．
20.【答案】（1）证明：连接BD，
∵AB=AD，AE平分∠BAD，
∴AE垂直平分BD，
∴EB=ED，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=EB，
∴AB=AD=EB=ED，
∴四边形ABED是菱形．
（2）解：∵∠BCD=90°，cos∠DBC=，BD=2，
∴=cos∠DBC=，
∴BC=BD=×2=4，
∴ED=EB=4-EC，CD==2，
∵CD2+EC2=ED2，
∴（2）2+EC2=（4-EC）2，
解得EC=1，
∴EC的长为1．
21.【答案】解：设该用户共用水x立方米
∵180×5+7×（260-181）＞1040
∴该用户用水小于260立方米
∴180×5+7×（x-180）=1040
解得：x=200
即这户居民2023年的用水量为200立方米．
22.【答案】解：（1）∵函数y=kx+b（k≠0）的图象过点A（0，3）和B（-2，1），
∴，
解得：，
∴直线解析式为：y=x+3，
当y=5时，x=2，
∴C（2，5）．
（2）如图所示，直线y=mx过点C时，m=，
∵当x＜2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值小于y=kx+b（k≠0）的值，
mx＜x+3，整理得（m-1）x＜3，当m＞1时，得x＜=2，当m＜1时，不满足x＜2条件，
∴2m≤5，即m≤，
当直线y=mx与直线y=x+3平行时，m=1，此时，满足条件．
当m＜1，不能满足条件，
即1≤m，

23.【答案】甲 176 177
24.【答案】（1）证明：∵CD⊥AB于点E，
∴=，
∵，
∴=，
∴AF=CD；
（2）解：连接OC，
∵，
∴OC⊥AF，
∴AH=FH，
∵OA=OB，
∴OH是△ABF的中位线，
∴OH=BF=×6=3，
∵OE⊥CD，CD=AF，
∴OH=OE=3，
∴OA=AE+OE=2+3=5，
∴BE=AB-AE=10-2=8，
∵CE==4，
∴DE=CE=4，
∴BD==4．
25.【答案】图象见解答；
3.4；5.97；
2.2．
26.【答案】解：（1）由题意，抛物线为x=-=．
∴t=．
（2）∵抛物线为y=x2-（2+m）x+2m=（x-m）（x-2），
∴令y=0，可得x=m或x=2．
又抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，
∴0＜m=x0＜2．
又t=，
∴m=2t-2．
∴0＜2t-2＜2．
∴1＜t＜2．
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数的值就越小．
又t-（-t）=2t,t-t=0，t+1-t=1，而2＜2t＜4，
∴对于A（-t,y1），B（t,y2），C（t+1，y3），则y2＜y3＜y1．
27.【答案】（1）证明：延长AD交BC于点G，连接CD，如图1．
∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC是等边三角形．
∴DC=DB=BC，∠DCB=60°．
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∴AG⊥BC．
∴∠AGC=∠GAE=90°．
∴EA∥BC．
（2）依题意补全图2，如图．数量关系：．
证明：延长FD交AE的延长线于点N，连接CD，如图2．
∵DC=BC，CF=BC，
∴CF=CD．
∴．
∵EA∥BC，
∴∠N=∠F=30°．
又∵∠AMN=∠CMF，AM=CM，
∴△AMN≌△CMF．
∴MF=MN．
在Rt△EAD中，AE=AD，
可得．
在Rt△NAD中，∠N=30°，
可得 DN=2AD．
∴．
∵，
∴．
方法二：延长FM交AE延长线于N，则得全等设AD=x,则AN=x=CF=CB，延长AD交BC于H，
∴．
2．（一互2=DM+MF，
28.【答案】C1，C3
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