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广西钦州市第十三中学2026年春季学期高一年级第五周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
4．当时，函数与图象的交点个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若在上恰有三个零点，则B．若在上恰有三个零点，则
C．若在单调递增，则
D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增
D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为
11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称
C．在上单调递减 D．当在上有3个零点时，m的最小值是
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，若存在，，使得，则正数的最小值为________．
13．已知，则的最小值为________．
14．函数的最大值与最小值之差为_______.
四、解答题（共5小题，共77分）
15．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)求在上的值域；
(3)求不等式的解集．
16．盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律：
，
，
，
据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：
(1)证明：；
(2)解关于的方程：，其中；
(3)求的值，其中，且．
17．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.
(1)求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
18．定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”．
(1)试判断是否为“根域同函数”并说明理由；
(2)若“根域同函数”为偶函数，求：的值域；
(3)已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方．
19．已知函数的定义域为．若存在常数．使得对任意给定的，当时，总有，则称函数具有性质．
(1)设，函数具有性质．若，求函数的表达式；
(2)设．若函数具有性质，求的所有可能值；
(3)设，已知是定义在上的严格增函数．若，且是非空有限集，试问：是否存在常数，使得函数具有性质？说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A B D A ABD ABD
题号 11
答案 ACD
12．/ 13．/ 14．4
15．（1）由 ，
解得：
所以的单调递减区间为.
（2）当时，，
所以 ，
所以 ，即.
所以的值域为.
（3）不等式，即 ，整理得，
所以 ， 整理得.
所以不等式的解集为.
16．（1）因为，，
所以
，
即；
（2）由（1）知，
即，
又，
所以
，
所以，
所以
或，
当时，解得，
又，所以；
当时，无解，
综上，方程的解为；
（3）设，
则
，
由积化和差公式得，
，
，，，
将上面个式子相加得
，
所以.
又，且，所以，所以，所以，
即.
17．（1）由图可知，还可知，故可得最小正周期，
因为，所以，
因为，，则，
综上可得，
由，可得，此即为函数图像的对称轴方程；
（2）当时，，
当，即时，取得最大值为；
当，即时，取得最小值为；
故在区间上的最大值是，最小值是.
18．（1）当时，，则，
所以为“根域同函数”.
（2）由为偶函数，则，
即，则，即，
所以，又为“根域同函数”，
则在上的值域为，且，
而函数在上单调递增，
则方程在上有两个不相等的实数根，
即方程在上有两个不相等的实数根，设，
则，解得，又，则，
所以函数在上单调递减，
又时，，，
则函数的值域为.
（3）因为对任意均为“根域同函数”，
所以对任意，函数在上的值域为，且，
则函数为单调函数，又为奇函数，则.
因为为幂函数，设，而为“根域同函数”的充要条件为点在上，
若点在上，则；
若为“根域同函数”，
则在上的值域为，且，，
当时，函数在上单调递增，
则在上有两个不相等的实数根，
即在上有两个不相等的实数根，即，
此时，不满足题意；
当时，函数在上单调递减，
则，则，即，
此时，满足题意，则.
设，，
因为函数在和上均为增函数，
所以函数在和上为增函数，
因为，，
则时，，即，
此时的图象在下方．
19.（1）由题意，函数具有性质，即对任意给定的，
当时，总有.
因为，根据性质可得，即.
又因为，再根据性质可得，
即.
同理，由可得，即.
以此类推，对于任意的，都有.
因为函数的定义域为，且对于任意的，都有，
所以函数的表达式为，.
（2）已知函数具有性质，即对任意给定的，
当时，总有.
因为，所以或.
当时，，恒成立.
当时，.
根据正弦函数的性质，
可得恒成立时，.
又因为，所以的所有可能值为，.
（3）不存在，理由如下：
设为非空有限集，设中最大元素为，
因是定义在上严格增函数，从而的值域为无限集，
且对任意，存在唯一使.
若存在使具有性质，
即当任意给定，当时，有，
当时，由时，
由的单调性知，不合题意；
不妨设，令，
若所有满足的均在中，则仅在有限集中取到，与的值域是值域（无限集）的子集矛盾，
故存在使；
故，从而（）
存在，使得
则，则，，
由严格递增得，即，矛盾；
综上，不存在满足条件的常数，使具有性质.

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